质心和重心的区别

质心和重心的区别

-墨西哥合众国

内蒙古科技大学

本科毕业论文

二〇一二年四月

题目：质心在力学中的地位和作用

学号：

学生姓名：xxxxx

学院：物理科学与技术学院

专业：物理学

摘要

简述质心的基本概念，质心运动定理以及定理的应用，并且引出

了质心参考系中的动力学特征及规律，表明质心系的特殊地位及利

用质心系研究动力学问题的优越性。研究质心系中的角动量定理以

及动能定理。

关健词：质心质心运动定理质心参照系角动量动能定理

Abstract

Thecenterofmassofthebasicconceptsandapplicationsofthetheorem

theoremofmotionofcenterofmassandleadstothereferenceframeof

dynamicfeaturesandtherulethatthecenterofmasssystemspecialstatus

andutilizationofcenter-of-massframetostudythekineticsofsuperiority

chCenterofmasssystemofangularmomentumtheorem

andthetheoremofkineticenergy.

Keyword：CenterofmassTheoremofmotionofcenterofmass

CenterofmassframeofreferenceAngularmomentumTheorem

ofkineticenergy

目录

摘要

引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1

1.质心„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2

1.1.质心的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2

1.2.质心运动定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2

2.质心参照系„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3

2.1质心参考系中的动力学特征及规律„„„„„„„„„„„„3

2.2质点系对质心的角动量定理和守恒定律„„„„„„„„„„3

2.2.1质心系中的角动量定理„„„„„„„„„„„„„„„„3

2.2.2质点系对质心的角动量守恒„„„„„„„„„„„„„„4

3.质心的动能定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4

4．质心运动定理以及参照系的应用„„„„„„„„„„„„„.6

结束语„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9

参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„.10

1

引言

我们对质点组运用动力学基本定理时，我们能找到一个特殊点———质

心，此后以这个特殊点作为参考点，我们又能简化动力学中许多问题，不仅如

此我们还能找到一种叫质心参考系的参考系从而简化了力学中的三个基本定

理。质心是质点组中以质量为权的质量分布的加权平均位置，是质点组中的一

个特殊点.由于质心的运动反映了质点组整体运动的特征，而质心系中的动力学

现象和规律又具有一系列特殊而重要的性质，使得质心参考系在研究动力学问

题中占有特殊的地位，一般来说，质点组内各质点动量的大小和方向是各不相

同的，难以详尽研究.然而，无论质点组的动量多么复杂，均可由质心动量来代

表.这就是为什么质心运动能代表质点组整体运动特征的实质.质点组对质心系

的自旋角动量与坐标系选择无关，属质点组内部运动。质点组对定点的角动量

可分解为质点组对质心系的角量(自旋角动量)与质心对定点的角动量(轨道角动

量)之和.质点组的动能为诸质点相对于质心系的动能与质心动能之和(科尼希

定理).前者来源于自旋运动，而质心动能来源于质心在轨道上的运动.将质点组

的物理量划分为质心物理量与诸质点相对于质心系的物理量两部分，给分析质

点组的运动特征带来很大的方便.

2

1.质心

1.1质心的定义

质心也称质量中心，是表征质点系质量分布的一个几何点。它同作用于质

点系上的力系无关。设n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为

1

m

，

2

m，„

i

m。若用

1

r，

2

r，„

i

r分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，

c

r表示质心的矢径，则有

c

r=

m

rm

i

ii

，式中m=

i

i

m

为质点系的总质量，



i

ii

rm称为质点系的质量对于坐标原点O的静矩，它们描述了质点系中质量分

布。质心C的位置决定于质点系的质量以及质点系的质量分布，而同作用于质

点系上的力系无关。当物体具有连续分布的质量时，质心C由积分公式决定

c

r=









d

rd

。式中ρ为密度，它可以是体密度、面密度或线密度；dτ为相当于

ρ的体元、面元或线元；积分在具有分布密度ρ的整个物质体、物质面或物质

线上进行。质心具有许多重要的力学性质，质心的概念在质点系动力学，特别

在刚体动力学中具有特别重要的应用。

1.2质心运动定理

我们在讨论若干个有相互联系的物体的运动时，往往可将这些物体看成是

一个整体统，在系统内部，物体和物体之间的作用里内力可以相抵消，而不影

响整个系统运动状态的变化.人们将这种方法称作整体分析法，或系统分析法，

应用这种方法，我们需要找出系统的质量中心，质心和重心是不同的概念，但

是地面物体的质心和重心的位置是重合的，因此我们可以用寻找重心的方法来

寻求物体或物体系统的质心。

设一个质点系由N个质点组成，以m、表示各质点的质量，以r;表示各质

点对某一坐标原点的位矢，则质量中心(简称质心)的位矢

c

r为

c

r=

m

rm

i

ii

，一

个大的连续物体，可以认为是由许多质点组成的.此物体的质心位矢可以用积分

法求得

c

r=









d

rd

。可以证明质心的位置相对质点系本身是固定不变的.力学中

常应用重心的概念，对尺寸不十分大的物体，它的质心和重心是重合的.

将位

c

r矢对时间求导:

t

c

d

dr

=

m

d

dr

m

i

t

i

i

=

m

um

ii

，即m

c

m=

i

ii

um

质点系的总动量:P=m

i

u

3

质点系所受合外力:F=

dt

dp

=m

dt

du

c=m

c

a这一公式叫做质心运动定理。

“质心的运动与一个质点的运动相同.该质点的质量等于物体系统的总质

量，作用于该点的力等于作用于整个系统所有外力的总和.”这就是质心运动定

理，这个定理告诉我们.若整个系统所受之合力为零，则不管系统内各物体运动

状态如何改变.质心的运动状态始终不变.若系统在某一个方向所受合力为零，

那么质心在这个方向的运动状态不变.

2.质心参照系

2.1质心参考系中的动力学特征及规律

质点组对质心参考系的动量恒为零.质点组对质心系的动量



c

p=0为,



c

p=

ici

um=

























M

um

M

dt

dici

其中

























M

um

ici

为质心系中质心位置矢量，显

然为零，故



c

p=0，因此，质心系又称零动量系，由此可见质心的特殊性和重要

性.

质点组对基本参考系的动量等于质心动最.质点组对基本参考系的动量为诸

质点动量的矢量和，它分解为质点组对质心系的动量



c

p

与质心对基本参考系的

动量



c

uM之和，即



ici

um=



c

p+



c

uM



c

p=0，



ici

um

=



c

uM

一般来说，质点组内各质点动量的大小和方向是各不相同的，难以详尽研

究.然而，无论质点组的动量多么复杂，均可由质心动量来代表.这就是为什么

质心运动能代表质点组整体运动特征的实质.

2.2质点系对质心的角动量定理和守恒定律

2.2.1质心系中的角动量定理

4

角动量定理和角动量守恒定律只在惯

性系中成立。以质心C为参考点，建质心

坐标系，各坐标轴与基本参考系平行。由

于质心具有加速度，所以要记入相应的惯

性力力矩。

dt

d







L

MM

惯

外

L式质点系相对质心的角动量。



外

M

是诸外力对质心的力矩。



惯

M

是惯性力对质心的力矩。

而惯性力的力矩

惯

M

=0





































ccciicii

amrarmamr

因而

外

M

=

dt

d



L

————质点系对质心的角动量定理

质心系对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质心的力矩的矢量和。

2.2.2质点系对质心的角动量守恒

当

外

M

=0时，



L=恒矢量

如跳水运动员等在空中翻筋斗。

当z外i

M=0，

Z

L=常量

3.质心的动能定理

质点组相对质心平动参考系的动能变化定理就称为对质心的动能定理。质

心平动参考系一般说不是惯性系，但是可以证明相对质心的动能定理在形式上

和惯性系中的动能定理一样。现在我们先来找出质点组对质心的动能和相对定

点的动能之间的关系，这个两者之间的关心就是柯尼希定理。

1.柯尼希定理：如图所示0-x.y是固定坐标系即惯性系，c-',','zyx是质

心平动坐标系（他不一定是惯性系若作加速运动就是非惯性系）质点组内任一

质点

i

m相对两个不同的坐标系的未矢的关系是：





ici

rrr

5

将此关系式两边对t求一次导数，然后代入指点组对定点0的动能表达式

中去，则有：









































i

i

icii

i

c

i

i

ci

i

ii

i

ci

i

ici

rmrrmrm

rrmrmrmrrmT

.

2

1

2

1

.

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

00







i

i

ic

rmr

2

2

2

1

2

1



ii

i

c

rmrmT

左式右边中的第一项是质点组随质心一起平动时的动能，也就是质点组全

部质量集中在质心而运动时的动能，随意就称它是质心动能，第二项是质点组

中各个质点相对质心运动时的动能，对刚体来说只能是相对质心的转动动能，

这个等式表明，质点组对惯性系的动能T就等于它的质心的动能加上相对质心

的动能，这个关系就是著名的柯尼希定理。

质点组对定点的动能定理：dT=

1..................

i

e

ii

I

i

rdFrdF和柯尼

希定理：质点组对定点0的动能T=

2

2

2

1

2

1



ii

i

c

rmrm

。并考虑到质点相对固定

点的位矢与相对质心的位矢之间的关系





ici

rrr我们将这两个关系式代

到（1）式中就可以得到：

















































































i

i

ic

e

i

ii

i

i

ic

i

i

i

ic

e

i

iic

i

i

i

i

ic

rdFrdFrdFrdF

rrdFrrdFrmdrmd

...

..

2

1

2

1

3

22

0i

i

F这等式右边的第一项应等于零，又根据质心运动定理知

c

e

i

i

amF













2

2

1

....

ccc

c

cccc

e

i

ic

e

i

i

rmdrdrm

dt

rd

rmdamrdrdFrdF

所以等式右边的第三项和等式左边的第一项就可以抵消，于是上面的等式就可

以写成：











































i

e

i

ii

i

i

i

i

ii

rdFrdFrmd..

2

12

6

















2

2

1

i

ii

rm就是质点组相对质心的动能，如果令它为的话：

T



=

















2

2

1

i

ii

rm

则上式就可以简单的写成：

dT



=







rdFrdFe

i

ii

i

i

i

..

此等式表明了质点相对质心的动能的微分就等于质点组相对质心位移时内力和

外力所作的元功之和。因此它就是质点组对质心的动能定理，在形式上它与相

对固定的动能定理完全相同，但是我们要注意：只有在质心这个特殊的非惯性

系中。质点组的动能与功的关系在形式上才和惯性系中的一样，对于一般的非

惯性系是不会有这样的结论。对质心动能定理它的适用范围就是质心平动参考

系，对一般的动点是不适用的。

4．质心运动定理以及参照系的应用

1.把盛有水的容器放在测力计的托盘上，用一条细线把木块系在容器下部

的某位置如图.当线断开，木块上浮时(尚未到达水面)，测力计的读数比原来大

还是小?容器上部吊一铁块，悬线断开，铁块在水中下沉时(尚未触及器底)，测

力计读数比原来大还是小?不计水对木块、铁块的阻力

解:在阻力可忽略不计的情况下，木块向上匀加速运动，铁块向下匀加速

运动.用牛顿运动定律思考，将研究对象分为三部分:木块质量

1

m，等体积的水

质量

2

m，

1

m

2

m.其余的水和水杯质量共为M.静止时，托盘的读数为

GMmm

21

。当绳断开时，木块加速上升，水

2

m加速下降，两者加速度的

大小相同.M静止，画出三者的受力图如下

ammF

111

（1）

7

amFgm

222



（2）

解得gmgmammgmgmFF

21212121



根据牛顿第三定律





11

FF

22

FF





N=



1

F+F



+Mg

Mggmgm

21

用质心运动定理思考:木块向上加速运动的时候，等体积的水向下加速运动.

水的密度小于木块的密度.这使得由水、木块和容器组成的系统质心下降，而且

是加速下降.系统质心加速下降，测力计向上的支持力必然小于重力.所以测力

计的读数小于原来的读数.两种方法对比可以看出巧用质心运动定理解题会简便

许多.同理铁块向下加速运动时，也是由水、铁块和容器组成的系统的质心加速

下降.所以测力计的读数，小于原来的读数。

2．下面我们用质心坐标系来讨论两个质点的弹性碰撞。用质量为

1

m

的粒子撞

击质量为

2

m的静止粒子（他们作弹性碰撞），分析

1

m

和

2

m的散射角。

取地球为惯性参考系，在该系中，设碰撞前

1

m的速度为

1

v散射角为，

2

m

在碰撞前后速度分别为零和

2

v，偏转角为



，如图

两粒子所组成的质点系的质心作等速直线运动，速度为

21

11

mm

um

V



在质心坐标

系中，质心的速度为零，故质心系的动量为零。设在质心系中两质点碰撞前的

速度分别为



21

uu和，碰撞后分别为



21

vv和,

21

m与m

在质心系中的偏转角为



，则有：

0

2211





umum，0

2211









vmvm

8

由上式可得：k

u

v

u

v













2

2

1

1其中k为常数。

由于碰撞是完全弹性的，即0T而

0

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

22

2

1

2

11

2

22

2

11

2

22

2

11



















































































vumvum

vmvmumumT

由此可得k=1，于是可得如下结论：











2211

,vuvu

即质点

21

mm和在质心系中碰撞前后的速度是相等的。

9

结束语

本文通过了解有关质心的定义，以及质心参照系的重要地位来知道质心在

力学中的重要意义。质心就是一个质点系的质量中心，质心参照系就是物体系

的质心在其中静止的平动参考系。相对于质心参照系，物体系统的总动量为

零，所以质心参照系，又叫做零动量参照系。一个质点系内各个质点由于内力

和外力作用，他们的运动情况可能很复杂，但相对于此质点系有一个特点，即

质心，他的运动可能很简单，只有质点系所受合力所决定。所以引入质心这个

概念可以简化问题，而引入质心参考系，用动量守恒解决问题更方便。

10

参考文献

1．沈元华,陆申龙.基础物理实验[M].北京：高等教育出版社，2003，12

2．贾玉润等.大学物理实验[M].上海：复旦大学出版社，1988，1：142～146

3．贾起民、郑永令、方小敏.力学第二版[M].北京：高等教育出版社，2002

4.梁南胜,葛建平,任勇生.质心运动守恒问题的一般解[J].华北工学院学报.

1995(03)

5.袁金.质点系质心运动定理的应用[J].九江师专学报.1983(04)

6.赵强,李普选.应用质心运动定理一例[J].物理与工程.2002(06)