中位数的计算方法
-差异性分析
2023年2月15日发(作者：期中考试如何复习)确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探
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确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探
如果资料已经分组，形成分组数列或组距数列，那么，确定中位数的位置，就是确定中位数所在的组，
即确定中位数组。在确定了中位数组之后，才能依据分组数列推算中位数的值，或者依据组距数列，通过
中位数计算公式，计算中位数。
一、根据分组数列确定中位数组并推算中位数。
根据分组数列，在确定中位数组时，可以采用公式
E
w
=∑f/2[公式1]
和公式
E
w
=（∑f+1）/2[公式2]
哪一个公式推算出来的中位数组是正确的？下面通过举例说明。
【举例1—1】
某工厂某车间工人某日生产某种零件的有关资料如下表1—1：
表1—1某工厂某车间工人某日生产某种零件的分配数列
序号日产量（件）工人人数（人）
158
2615
3739
4833
5922
6108
根据上述资料，确定中位数的位置，并且计算中位数。
1、计算累计次数，计算结果见表1—2。
2、推算中位数组并推算中位数。
（1）根据公式1推算中位数组
E
w
=∑f/2=125/2=62.5（位）。
中位数的位置在第62位工人和第63位工人的中间。
按照向上累计，第62个工人在“日产量7件”组中，中位数组是“日产量7件”，而第63个工人在
“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”，中位数组有两个，那么，中位数是需要将两个中位数
组的标志值进行简单平均后计算得到。即
表1—2某工厂某车间工人某日生产某种零件累计次数计算表
日产量（件）工人人数（人）向上累计向下累计
xf∑f（↑）∑f（↓）
588125
61523117
73962102
8339563
92211730
1081258
合计125——
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Me=(7+8)/2=7.5（件）。
按照向下累计，第62位工人和第63位工人都在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”。
那么，中位数
Me=8（件）。
这时，采用向上累计和向下累计计算的中位数的结果是不一致的，因此，确定中位数位置的公式1是
不正确的。
（2）根据公式2推算中位数组
E
w
=（∑f+1）/2=（125+1）/2=63（位）
中位数在第63位工人所在的的位置上。
不论是向上累计还是向下累计，第63位工人都在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”，
那么，中位数
Me=8（件）。
采用向上累计和向下累计计算的中位数的结果是一致的，因此，确定中位数位置的公式2是正确的。
【举例1—2】
某工厂某车间工人某日生产某种零件的有关资料如下表1—3所示。
表1—3某工厂某车间工人某日生产某种零件的分配数列
序号日产量（件）工人人数（人）
159
2615
3739
4833
5922
6108
根据上述资料，确定中位数的位置，并且计算中位数。
1、计算累计次数，计算结果见表1—4。
2、推算中位数组并推算中位数。
（1）根据公式1推算中位数组，
E
w
=∑f/2=126/2=63（位）。
中位数在第63位工人的位置上。
按照向上累计，第63位工人在“日产量7件”组中，中位数组是“日产量7件”。那么，中位数是：
表1—4某工厂某车间工人某日生产某种零件累计次数计算表
日产量（件）工人人数（人）向上累计向下累计
xf∑f（↑）∑f（↓）
599126
61524117
73963102
8339663
92211830
1081268
合计126——
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Me=7（件）。
按照向下累计，第63位工人在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”。那么，中位数是：
Me=8（件）。
这时，采用向上累计和向下累计计算的中位数的结果是不一致的，因此，确定中位数位置的公式1是
不正确的。
（2）根据公式2推算中位数组，
E
w
=（∑f+1）/2=（126+1）/2=63.5（位）。
中位数的位置在第63位工人和第64位工人的中间位置上。
按照向上累计，第63位工人在“日产量7件”组中，中位数组是“日产量7件”，第64位工人在“日
产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”.那么，计算中位数是需要将两个中位数组的标志值进行简
单平均后计算得到,即
Me=（7+8）/2=7.5（件）。
按照向下累计，第63位工人在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”，第64位工人在“日
产量7件”组中,中位数组是“日产量7件”。那么，计算中位数是需要将两个中位数组的标志值进行简
单平均后计算得到,即
Me=（7+8）/2=7.5（件）。
这时，采用向上累计或向下累计计算的中位数的结果是一致的，因此，确定中位数位置的公式2应该
是正确的。
通过以上两个举例，可以看出，根据分组资料确定中位数，采用公式2能够正确确定中位数组并能够
正确的计算中位数。
二、根据组距数列确定中位数组并推算中位数。
根据组距数列，在确定中位数组时可以分别采用公式1和公式2，哪一个公式推算出来的中位数组是
正确的？
下面举例说明中位数组的确定和中位数的计算。
【举例2—1】
某县农户按照人均纯收入分组的资料见表2—1。
表2—1某县农户按照人均纯收入分组的资料
序号按照人均纯收入分组（元）农户数（户）
11000以下45
21000—200079
32000—3000136
43000—4000240
54000—5000323
65000以上177
根据上述的资料，确定中位数的位置并计算中位数。
1、计算累计次数。
编制某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表，见表2—2。
表2—2某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表
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按照人均纯收入分组（元）农户数（户）向上累计（户）向下累计（户）
xff（↓）f（↑）
1000以下45451000
1000—2
2000—3
3000—4
4000—5
5000以上1771000177
合计1000——
2、推算中位数组。
（1）通过公式2计算的中位数的位置
E
w
=（∑f+1）/2=（1000+1）/2=500.5（位）
中位数的位置在第500位农户和第501位农户的中间位置上。如果采用向上累计，中位数组有两个，
分别是第500位农户所在的“人均纯收入3000—4000”组和第501位农户所在的“人均纯收入
4000—5000”组；如果采用向下累计，中位数也有两个，分别是在第500位农户所在的“人均纯收入
4000—5000”组和第501位农户所在的“人均纯收入3000—4000”组。采用向上累计和向下累计计算的中
位数组是一致的。
可见，采用公式2计算并确定的中位数组是正确的。
（2）通过公式1计算中位数的位置
E
w
=∑f/2=1000/2=500（位）
中位数的位置在第500位农户的位置上。如果采用向上累计，第500位农户在“人均纯收入
3000—4000”组中，中位数组是“人均纯收入3000—4000”；如果采用向下累计，第500位农户在“人均
纯收入4000—5000”组中，中位数组是“人均纯收入4000—5000”组中。采用向上累计和向下累计计算
的中位数组是不一致的。确定的中位数不是同一个组，而是归属于两个不同的组，这是不正常的。
3、计算或推定中位数。
（1）通过公式2确定了中位数组之后，就可以推定中位数了。
在本例中，中位数组有两个，所以，使用现行教材中下限公式和上限公式计算中位数都不合适，那么，
计算中位数时，只能采用推定的方法。在向上累计中，第500位农户在“人均纯收入3000—4000”组中的
最后一位，第501位农户在“人均纯收入4000—5000”组中第一位，那么，中位数就是4000元。在向下
累计中，第500位农户在“人均纯收入4000—5000”组中的第一位，第501位农户在“人均纯收入
3000—4000”组中最后一位。那么，中位数就是4000元。
（2）通过公式1确定了中位数组之后，就可以计算中位数了。
通过向上累计确定中位数位置，那么，使用下限公式
Me=L+[（∑f/2-Sm
-1
）×i]/fm[公式3]
计算中位数，中位数
Me=3000+[（1000/2-260）×1000]/240=4000（元）。
通过向下累计确定中位数位置，那么，使用上限公式
Me=U-[（∑f/2-Sm
+1
）×i]/fm[公式4]
确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探
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计算中位数，中位数
Me=5000-[（1000/2-177）×1000]/323=4000（元）。
两种确定中位数位置的公式，有一个不正确的，但是，不论是通过哪一个公式确定中位数的位置，得
到的中位数的结果却都是一样的，这可能是一种巧合，下面再举例说明。
【举例2—2】
某县农户按照人均纯收入分组的资料见表2—1。
表2—1某县农户按照人均纯收入分组的资料
序号按照人均纯收入分组（元）农户数（户）
11000以下46
21000—200079
32000—3000136
43000—4000240
54000—5000323
65000以上177
根据上述的资料，确定中位数的位置并计算中位数。
1、计算累计次数。
编制某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表，见表2—2。
表2—2某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表
按照人均纯收入分组（元）农户数（户）向上累计（户）向下累计（户）
xff（↓）f（↑）
1000以下46461001
1000—2
2000—3
3000—4
4000—5
5000以上1771001177
合计1001——
2、推算中位数组。
（1）通过公式2计算的中位数的位置
E
w
=（∑f+1）/2=（1001+1）/2=501（位）
中位数的位置在第501位农户的位置上。不论采用向上累计还是向下累计，中位数组都在第501位农
户所在的“人均纯收入3000—4000”组中，采用向上累计和向下累计计算的中位数组是一致的。可见，采
用公式2计算并确定的中位数组是正确的。
（2）通过公式1计算中位数的位置
E
w
=∑f/2=1001/2=500.5（位）
中位数的位置在第500位农户和第501户农户的中间的位置上。如果采用向上累计，第500位农户和
第501位农户都在“人均纯收入3000—4000”组中，所以，中位数组是“人均纯收入3000—4000”；如果
采用向下累计，第500位农户在“人均纯收入4000—5000”组中，中位数组是“人均纯收入4000—5000”
组中，第501位农户在“人均纯收入3000—4000”组中，中位数组是“人均纯收入3000—4000”组。采
用向上累计和向下累计计算的中位数组是不一致的。而采用向下累计确定的中位数也不是同在同一个组，
确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探
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而是归属于两个不同的组，这是不正常的，也是不正确的。
3、计算或推定中位数。
（1）通过公式2确定了中位数组之后，就可以推定中位数了。
公式3和公式4中确定中位数的位置计算还是使用公式1，如果采用公式2的计算，需要将公式1式
调整为公式2式即得到公式5和公式6。
通过向上累计确定中位数位置，那么，使用下限公式
Me=L+[（∑f+1/2）-Sm
-1
]×i÷fm[公式5]
通过向下累计确定中位数位置，那么，使用上限公式
Me=U-[（∑f+1/2）-Sm
+1
]×i÷fm[公式6]
该例子中，使用下限公式5计算中位数，结果如下：
Me=3000+[（1001+1/2）-261]×1000/240=4000（元）。
使用上限公式6计算中位数，结果如下：
Me=4000-[（1001+1）/2-177]×1000/240≈4000-4.1667=3995.9333（元）。
因为计算得到的中位数是不一样的，所以，使用公式2是不正确的。但是，上限公式4和下限公式3
计算得到的中位数是一样的，下面是运算过程。
使用下限公式3计算中位数，中位数
Me=3000+[（1001/2-261）×1000]/240=≈3000+997.9167=3997.9167（元）。
使用上限公式4计算中位数，中位数
Me=4000-[（1001/2-500）×1000]/240≈4000-2.0833=3997.9167（元）。
通过上面的例子，可以看出，在确定中位数的位置时，使用公式2是正确定，如果将这个公式嵌入到
上限公式4和下限公式3中得到的公式5和公式6，计算出来的中位数是不正确的；但是，使用公式1确
定中位数的位置时是不正确的，按这个公式所得到的上限公式4和下限公式3计算出来的中位数是正确的。
（2）通过公式1确定中位数组是不一致的，所以，无法计算中位数。
【举例2—3】
某县农户按照人均纯收入分组的资料见表2—1。
表2—1某县农户按照人均纯收入分组的资料
序号按照人均纯收入分组（元）农户数（户）
11000以下45
21000—200079
32000—3000136
43000—4000240
54000—5000323
65000以上178
根据上述的资料，确定中位数的位置并计算中位数。
1、计算累计次数。
编制某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表，见表2—2。
表2—2某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表
按照人均纯收入分组（元）农户数（户）向上累计（户）向下累计（户）
确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探
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xff（↓）f（↑）
1000以下45451001
1000—2
2000—3
3000—4
4000—5
5000以上1781001178
合计1001——
2、推算中位数组。
（1）通过公式2计算中位数的位置
E
w
=（∑f+1）/2=（1001+1）/2=501（位）
中位数的位置在第501位农户的位置上。不论是采用向上累计还是向下累计，中位数组都在第501位
农户所在的“人均纯收入4000—5000”组中，采用向上累计和向下累计计算的中位数组是一致的。可见，
采用公式2计算并确定的中位数组是正确的。
（2）通过公式1计算中位数的位置
E
w
=∑f/2=1001/2=500.5（位）
中位数的位置在第500位农户和第501位农户的中间的位置上。如果采用向上累计，出现了两个中位
数组，即第500位农户所在的“人均纯收入3000—4000”组和第501位农户所在的“人均纯收入
4000—5000”组中；如果采用向下累计，第500位农户和第501位农户都在“人均纯收入4000—5000”组
中。采用向上累计和向下累计计算的中位数组是不一致的。而采用向上累计确定的中位数也不是同在同一
个组，而是归属于两个不同的组，这是不正常的，也是不正确的。
3、计算或推定中位数。
（1）通过公式2确定了中位数组之后，就可以推定中位数了。
使用下限公式5计算中位数，结果如下：
Me=4000+[（1001+1/2）-500]×1000/323≈4003.0960（元）。
使用上限公式6计算中位数，结果如下：
Me=5000-[（1001+1）/2-178]×1000/323=4000（元）。
使用上限公式和使用下限公式计算得到的中位数是不一样的，所以，使用公式2是不正确的。但是，
使用现行教材中的上限公式和下限公式计算得到的中位数是一样的，下面是运算过程。
使用下限公式3计算中位数，中位数
Me=4000+[（1001/2-500）×1000]/323=≈4000+1.5480=4001.5480（元）。
使用上限公式4计算中位数，中位数
Me=5000-[（1001/2-178）×1000]/323≈5000-998.452=4001.5480（元）。
通过上面的例子，可以看出，在确定中位数的位置时，使用公式2是正确定，如果将这个公式嵌入到
上限公式4和下限公式3中得到的公式5和公式6，计算出来的中位数是不正确的；但是，使用公式1确
定中位数的位置时是不正确的，按这个公式所得到的上限公式4和下限公式3计算出来的中位数是正确的。
（2）通过公式1确定中位数组是不一致的，所以，无法计算中位数。
确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探
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【举例2—4】
某县农户按照人均纯收入分组的资料见表2—1。
表2—1某县农户按照人均纯收入分组的资料
序号按照人均纯收入分组（元）农户数（户）
11000以下44
21000—200079
32000—3000136
43000—4000240
54000—5000323
65000以上177
根据上述的资料，确定中位数的位置并计算中位数。
1、计算累计次数。
编制某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表，见表2—2。
表2—2某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表
按照人均纯收入分组（元）农户数（户）向上累计（户）向下累计（户）
xff（↓）f（↑）
1000以下4444999
1000—2
2000—3
3000—4
4000—5
5000以上177999177
合计999——
2、推算中位数组。
（1）通过公式2计算的中位数的位置
E
w
=（∑f+1）/2=（999+1）/2=500（位）
中位数的位置在第500位农户的位置上。不论是采用向上累计还是采用向下累计，中位数都组在第500
位农户所在的“人均纯收入4000—5000”组中，采用向上累计和向下累计计算的中位数组是一致的。可见，
采用公式2计算并确定的中位数组是正确的。
（2）通过公式1计算中位数的位置
E
w
=∑f/2=999/2=499.5（位）
中位数的位置在第499位农户和第500位农户的中间的位置上。如果采用向上累计，第499位农户在
“人均纯收入3000—4000”组中，而第500位农户在“人均纯收入4000—5000”组中，所以，中位数组
是“人均纯收入3000—4000”和“人均纯收入4000—5000”组两个组；如果采用向下累计，第499位农
户和第500位农户都在“人均纯收入4000—5000”组中，中位数组是“人均纯收入4000—5000”组。采
用向上累计和向下累计计算的中位数组是不一致的。而采用向上累计确定的中位数也不是同在同一个组，
而是归属于两个不同的组，这是不正常的，也是不正确的。
3、计算或推定中位数。
（1）通过公式2确定了中位数组之后，就可以推定中位数了。
使用下限公式5计算中位数，结果如下：
确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探
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Me=4000+[（999+1/2）-499]×1000/323≈4000+3.0960=4003.0960（元）。
使用上限公式6计算中位数，结果如下：
Me=5000-[（999+1）/2-177]×1000/323=4000（元）。
使用上限公式和使用下限公式计算得到的中位数是不一样的，所以，使用公式2是不正确的。但是，
使用现行教材中的上限公式和下限公式计算得到的中位数是一样的，下面是运算过程。
使用下限公式3计算中位数，中位数
Me=4000+[（999/2-499）×1000]/323≈4000+1.5480=4001.5480（元）。
使用上限公式4计算中位数，中位数
Me=5000-[（999/2-177）×1000]/323≈5000-998.4520=4001.5480（元）。
通过上面的例子，可以看出，在确定中位数的位置时，使用公式2是正确定，如果将这个公式嵌入到
上限公式4和下限公式3中得到的公式5和公式6，计算出来的中位数是不正确的；但是，使用公式1确
定中位数的位置时是不正确的，按这个公式所得到的上限公式4和下限公式3计算出来的中位数是正确的。
（2）通过公式1确定中位数组是不一致的，所以，无法计算中位数。
【举例2—5】
某县农户按照人均纯收入分组的资料见表2—1。
表2—1某县农户按照人均纯收入分组的资料
序号按照人均纯收入分组（元）农户数（户）
11000以下45
21000—200079
32000—3000136
43000—4000240
54000—5000323
65000以上176
根据上述的资料，确定中位数的位置并计算中位数。
1、计算累计次数。
编制某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表，见表2—2。
表2—2某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表
按照人均纯收入分组（元）农户数（户）向上累计（户）向下累计（户）
xff（↓）f（↑）
1000以下4545999
1000—2
2000—3
3000—4
4000—5
5000以上176999176
合计999——
2、推算中位数组。
（1）通过公式2计算的中位数的位置
E
w
=（∑f+1）/2=（999+1）/2=500（位）
中位数的位置在第500位农户的位置上。不论是采用向上累计还是采用向下累计，中位数都组在第500
确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探
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位农户所在的“人均纯收入3000—4000”组中；如果，采用向上累计和向下累计计算的中位数组是一致的。
可见，采用公式2计算并确定的中位数组是正确的。
（2）通过公式1计算中位数的位置
E
w
=∑f/2=999/2=499.5（位）
中位数的位置在第499位农户和第500位农户的中间的位置上。如果采用向上累计，第499位农户和
第500位农户都在“人均纯收入3000—4000”组中，中位数组是“人均纯收入3000—4000”组；如果采
用向下累计，第499位农户在“人均纯收入4000—5000”组中，而第500位农户在“人均纯收入
3000—4000”组中，所以，中位数组是“人均纯收入3000—4000”和“人均纯收入4000—5000”组两个
组。采用向上累计和向下累计计算的中位数组是不一致的。而采用向下累计确定的中位数也不是同在同一
个组，而是归属于两个不同的组，这是不正常的，也是不正确的。
3、计算或推定中位数。
（1）通过公式2确定了中位数组之后，就可以推定中位数了。
使用下限公式5计算中位数，结果如下：
Me=3000+[（999+1/2）-260]×1000/240=4000（元）。
使用上限公式6计算中位数，结果如下：
Me=4000-[（999+1）/2-499]×1000/240≈4000+4.1667=4004.1667（元）。
使用上限公式和使用下限公式计算得到的中位数是不一样的，所以，使用公式2是不正确的。但是，
使用现行教材中的上限公式和下限公式计算得到的中位数是一样的，下面是运算过程。
使用下限公式3计算中位数，中位数
Me=4000+[（999/2-260）×1000]/240≈4000+997.9167=4997.9167（元）。
使用上限公式4计算中位数，中位数
Me=5000-[（999/2-499）×1000]/240≈5000-2.0833=4997.9167（元）。
通过上面的例子，可以看出，在确定中位数的位置时，使用公式2是正确定，如果将这个公式嵌入到
上限公式4和下限公式3中得到的公式5和公式6，计算出来的中位数是不正确的；但是，使用公式1确
定中位数的位置时是不正确的，按这个公式所得到的上限公式4和下限公式3计算出来的中位数是正确的。
（2）通过公式1确定中位数组是不一致的，所以，无法计算中位数。
通过以上的五个例题，可以看出，根据组距数列确定中位数组，采用公式2是合理的，但是，使用公
式计算中位数，不能使用公式2的方法嵌入到上限公式和下限公式中，只能使用现行教材中的计算中位数
的上限公式和下限公式进行计算。