导数求切线方程

导数求切线方程

-铃木章

令狐采学创作

令狐采学创作

导数的几何意义及切线方程的求法

令狐采学

内容：1.导数的几何意义

2.切线方程的求法

1.导数的几何意义

函数()yfx在

0

xx处的导数等于在该点

00

(,)()fxx处的切线的斜

率，即

00

0

0

()()

()lim

x

xfxfx

xfk

x











.

例1.

设fx为可导函数，且满足



0

(112

lim

)

1

2x

ffx

x

－－

＝－，则过曲线()yfx

上点(1,)(1)f处的切线斜率为().

A．2B．1C．1D．2

解析：



00

112121

limlim1

)

22

(()

xx

ffxfxf

xx





－－－－

＝－

即1f－1，

则()yfx在点(1,)1f处的切线斜率为－1，故选B.

例2.

曲线32fxxx＝＋－在P点处的切线平行于直线41yx＝－，则P点的

坐标为().

A．(1,0)或(1,4)－－B(0,1)C．()1,0－D(1,4)

解析：∵32fxxx＝＋－，设

0P

xx＝，

令狐采学创作

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∴223

00

3?3?()()yxxxxxx＝＋＋＋，

∴22

00

313()()

y

xxxx

x







＝＋＋＋，

∴2

00

0

lim31

x

y

fxx

x







＝＋，又平行于直线41yx＝－，

∴4k＝，

∴2

0

314x＋，即2

0

1x=.∴

0

1x＝，

故P1,0或1,4－－，故应选A.

2.求切线方程的基本步骤:

（1）求出P点的坐标；

（2）求出函数在点

0

x处的变化率00

0

0

()()

()lim

x

xfxfx

xfk

x











，

得到曲线在点

00

(,)()fxx的切线的斜率；

（3）利用点斜式求切线方程：

000

()()()yfxxfxx.

例3.

求曲线21yfxx在点(1,2)P处的切线方程.

解析：

例4.

如果曲线()yfx在点

00

(,)()fxx处的切线方程为230xy＋－＝，那么().

A．

0

0fx＞B．

0

0fxC．

0

0fxD．

0

fx不存在

解析：切线230xy＋－＝的斜率1

2

k＝－，即

0

1

0

2

fx－＜.故应选B.

例5.

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已知函数32()32fxxxax，曲线()yfx在点(0,2)处的切线与x

轴交点的横坐标为2.求a.

解析：

例6.曲线21xyxex在点(0,1)处的切线方程.

解析：'()2xxfxxee，所以'(0)0123f，

即3k，所以13(0)yx，即31yx.

例7.

已知函数ln

()

1

axb

fx

xx





，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为

230xy．

求a，b的值。

解析：

例8.

设函数()

b

fxax

x

，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为

74120xy，

求()yfx的解析式.

解析：