向量公式大全
东莞中考-60001
2023年2月15日发(作者：护理风险)向量公式汇总
平面向量
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向
量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”
a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ
∣?∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示
向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反
方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反
方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②
如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a
和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。
若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-
∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算律
a?b=b?a（交换律）；
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：
(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c(a≠0)，推不出
b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作
a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，
b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构
成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时，左边取等号；
②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
6.定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向
线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a空间向量
令a=(a1,a2,a3),),,(
321
bbbb，则
共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
a∥)(,,
332211
Rbababab
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
如果三个向量
．．．．
cba,,不共面
．．．
：那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，
使czbyaxp.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、
y、z使OCzOByOAxOP(这里隐含x+y+z≠1).
向量垂直0
332211
babababa。
空间两个向量的夹角公式
（a＝
123
(,,)aaa，b＝
123
(,,)bbb）。
空间两点的距离公式：
2
12
2
12
2
12
)()()(zzyyxxd
.
利用法向量求点到面的距离：
如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A
，则点B到平面
的距离为
||
||
n
nAB
.
.异面直线间的距离
||
||
CDn
d
n
(
12
,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是
12
,ll上任一点，d为
12
,ll间的距离).
B到平面的距离
||
||
ABn
d
n
（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.
直线AB与平面所成角
sin
||||
ABm
arc
ABm
(m为平面的法向量).
利用法向量求二面角的平面角：
cos
||||
mn
arc
mn
或cos
||||
mn
arc
mn
（m，n为平面，的法向量）