行列式运算法则

发布时间：2023-06-04 作者：admin 来源：文学

行列式运算法则

-金星轮船

2023年2月15日发(作者：南非高原)

行列式的计算方法

摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按

照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对

行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去

法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径．

关键词：行列式计算方法

行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程,以后

逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法.

这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法.

1.对角线法则

对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶

行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法．

2.定义法

根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n2个)，可以直

接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶)．如果对于一些行列式

的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下)三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义

法求解．

例1计算行列式

0004

0030

0200

1000

这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数

就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是

4321

4321jjjj

aaaa．

显然，如果4

j，那么



，从而这个项就等于零．因此只须考虑4

j的那些项；同理，

只需考虑3

j，2

j，1

j这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有

41322314

aaaa

这一项，而6)4321(，这一项前面的符号应该是正的．

所以

原式=

244321

0004

0030

0200

1000



3.化为三角形计算法

例2计算行列式

10782

5513

3152

71391





解：

101700

81600

1725130

71391

2439260

2634260

1725130

71391

10782

5513

3152

71391















312

24000

2100

1725130

71391

101700

2100

1725130

71391

















这个例子尽管简单,但化三角形这一方法,在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角

形的方法又有很多种,下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段,当然它们除

化为三角形外,还有其它的作用．

3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数

适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形

例3计算行列式

nnnn

yxyxyx





111

22212

12111







解：当3n时，各列减去第一列

得：

)()(1

1121

1212212

1112111







yyxyyxyx

nnnn







之所以等于零，是因为有两列成比例．

另外，当2n时，

))((

1212

2212

2111yyxx

yxyx





这个例子还附带说明,有时题目并没有指定级数,而行列式之值与级数有关时,还需进行讨论说

明．

3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去

适用于各列(行)诸元素之和相等的情况.

例4计算行列式

abbb

bbab

bbba









解：把所有各列都加到第一列上去，

得：

1)]()1([

000

])1([

)1(











nbabna

bbb

bna

abb

bba

bbb

bna

abbbna

bbabna

bbbbna















3.3逐行(或列)相加减

有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多.

例5计算行列式

110000010

011000001

231000000

023100000

000002310

000000231











n

解：从第一列开始，每列乘以2加到后一列，

得：

3212222210

62321222221

01100000

00110000

00001100

00000110

00000011

1232

11232















nnnn







再将最后一行乘以（-2），加到倒数第二行，其余行都不变，得：

3212222210

01100001

01100000

00110000

00001100

00000110

00000011

1232











nnnn







按最后一列展开，得

)32(3

32111111

01000000

00100000

00000100

00000010

00000001

)32(











3.4行(列)归一法

先把某一行(列)全部化为1，再利用该行(列)以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式，

从而求出行列式的值．

例6计算n阶行列式

xaa

axa

aax









解：它的特点是各列元素之和为xan)1(，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出

xan)1(，得

xaa

axa

xanD







111

])1[(

将第一行乘a分别加到其余各行，化为三角形行列式，则

1)]()1[(

111

])1[(



naxxan

xanD







4.特殊行列式

4.1爪型行列式

形如：

012

210

2222

012

210

,,,

accc

bbba

abbb

bbba

















的行列式，称为爪型行列式．这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消去“横线”或“竖线”，

化为三角形行列式再计算．

例7计算行列式

)),2,1(0(

210

nia

bbba









解当

),,2,1(0nia

时，将第i+1列乘以),2,1)((ni

i后都加到第1列，得三角型行

列式：















bba

)(

000







例8计算行列式











2222

分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例

6结论计算其值．

解

)()(]}

)(

2[)2{(

002

)1(

yxyyx

xxxx





















4.2三对角线型行列式

形如：

abc

132

221





的n阶行列式，是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一

条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式，称为三对角线型行列式．这类行列式的计

算可以直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推，或利用第二数学归纳法证明．

例9计算n阶行列式

)(

abba











解按第一行展开得

)(

)1()(













nnnn

abDDba

abba

abDbaD





变形

),(

211



nnnn

aDDbaDD由于

222

)(,babaabbaDbaD，

从而利用上述递推公式得

nnnnnn

baDDbaDDbaDDbaDD



)()()(

32211

2

故有

nnnnnnnn

babbaababbaDa

babDabbaDabaDD











11122



)(

例10证明

cos

cos21

1cos21

1cos





解按第n行展开得

)1(

cos2

0cos21

cos21

1cos

)1(cos2









DaD

aDD





采用第二数学归纳法证明

1n时，aDcos

，结论成立．设kn时，结论成立．则当1kn时，有

,)1cos()1cos(coscos2cos2

akakkaaDaDD

kkk





故有归纳假设知

naD

cos

4.3Hessenberg型行列式

形如：

ccca

accc

ccca











210

2222

012

2222

210

,,,

的行列式，即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外,其余元素全为零

的三线型行列式，称为Hessenberg型行列式．这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用

行列式性质化简并降阶．

例11计算n阶行列式

121

axaaa













解按第一列展开得

nnn

axDaxD

axDD













1

)1()1(

)1(



于是

nnn

nnnnnnnnn

axaxaxaxaxaDx

axaDxaaxDaxDD











121

)(



例12计算n阶行列式

)1(1

)2(2

1321







n



解将第1,,2,1n列加到第n列，得

)2(

)1(

)2(2

1321

)1(

























)!1(

)1(1





4.4两线形行列式

例13计算行列式







000





解：

按第1列展开得

bbbaaa

aD











)1(











结论对于形如：

000

























等的“两线形的行列式”可以直接展开降阶．

4.5利用范德蒙行列式计算

范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必

须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德

蒙行列式，然后再利用公式计算出结果．

例14设n

xcxccxf

)(.用线性方程组的理论证明，若是)(xf有1n个不同的根，

那么)(xf为零多项式.

证明：设

121

n

aaa

为)(xf的根，且

)(jiaa

.

则将根代入多项式得到如下线性方程组：















12110

22210

12110

nnnn

acacacc



以

cccc,,,,

210

为未知量，则线性方程组的系数矩阵为：

0)(







nij

nnn

aaa







因为齐次线性方程组的系数矩阵不为0，故系数矩阵只有零解，即：



ccc

所以)(xf为零多项式.

5.降阶法

5.1一般降阶法

根据行列式理论中的拉普拉斯定理,行列式的计算可转化为k阶子式及其相应的代数余子式

的乘积之和.但此方法计算量偏大,仅适用于行列式中元素为0较多的情形.同时,涉及一些比较复

杂的、元素含文字或未知量的行列式,仅用此方法是不够的.

例15计算四阶行列式

2014

3651

0310

7223





解：观察行列式，可以选择第二行展开，但是第二行有两个非零元素，先用性质将3也化为

零，即

234

391

783

)1()1(

2314

3951

0010

7823

2014

3651

0310

7223























358

1439

1619

)1(

14390

391

16190

12









5.2利用公式降阶

公式1设A，B都是n阶方阵，则有

BABA



证明：由于





























































BBA

两边去行列式，得

BBA









BABA



例16计算行列式

aba

aab

baa

aba

解利用公式1

222)4(

bab

aba

aab

baa

aba







公式2设A，B，

均为n阶方阵，则

n2)1(

证明：把拉普拉斯定理用于上式的后r行，在它的所有n阶子式中，除

外，其余至少包含

一列零向量，从而值为零．而

的余子式为

，且C位于整个矩阵的第nnnn,,2,1行，

第n,,2,1列，因此

s)1(

其中

偶数



22)21(2

)21()()2()1(

nnn

nnnnns





即有

n2)1(

例17计算行列式

00000

0000

333231

232221

131211

aaaa

baaaa

解直接利用行列式的性质或行列式展开进行计算是相当繁杂的，而由公式2

原式=333

)1(2ab



5.3利用拉普拉斯定理

定理1：设在行列式D中任意取定了)11(nkk个行．由这k行元素所组成的一切k级子式

与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D．

证明：设D中取定k行后得到的子式为,,,,

21t

MMM它们的代数余子式分别为,,,,

21t

AAA

定理要求证明

AMAMAMD

2211

根据行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中每一项都是行列式D展开式中的一

项，而且符号也一致，所以

中每一项都是D中一项而且符号相同，而且

AM和)(jiAM



无公共项．因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等就可以了．显然等式左边共有

项，为

了计算右边的项数，首先来求出t．根据子式的取法知道

)!(!

knk

tCk

n

．

因为

M中共有!k项，

A中共有)!(kn项．所以右边共有

!)!(!nknkt

项．定理得证．

例18求行列式

1310

3101

1210

4121



D

解：在行列式D中取定第一、二行．得到六个子式：

654

321

















MMM

它们对应的代数余子式为

.)1(,)1(

,)1(,)1(

)43()21(

655

)42()21(

)32()21(

433

)41()21(

)31()21(

211

)21()21(

MMAMMA



















































根据拉普拉斯定理

.77185168

1)7(3615)1(1)3(2)8()1(

662211





















AMAMAMD

从例子来看，用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的．这个定理主要是理论方面的应用．

6.析因子法

如果行列式有一些元素是变量x的多项式，那么可以将此行列式看作一个多项式)(xf，然后利

用多项式理论，求出)(xf的互素的一次因式，进而求出行列式值的方法，称为“析因子法”．

例19计算行列式：

9132

5132

3221

3211



解：可以把原式看成关于变量x的4次多项式)(xf．由

8132

5132

3211

)1(f

及0

5132

3221

3211

)2(



f

知，)(xf有因式1x、2x，且)(xf关于x的最高次数为4，故

)2)(2)(1)(1()(xxxxkxf

又由原式知，)(xf中含4x的项为)9()2(22xx及)9()2(422xx，故4x的系

数为3．因此，3k，从而原式

)4()1(322xx．

例20计算行列式：

nax









321

解：可以把原式看成关于变量x的1n次多项式)(xf，由于

0)()3()2(anfafaf

故)(xf有因式

)2(ax

、)3(ax、…、)(anx，且)(xf关于x的最高次数为1n，从而，

)()3)(2()(naxaxaxkxf，由原式知，原行列式关于x的最高次项的系数为1，故

1k．因此，原式)()3)(2(naxaxax．

7.加边法

加边法是把原行列式添加一行一列,且其值不变,所得的新行列式反而容易求出其值．该方法

主适用于除主对角线上元素外,各行(列)对应的元素分别相同的题型．添加行与列的方式一般有五种:

(1)首行首列(2)首行末列(3)末行首列(4)末行末列以及(5)一般行列的位置．

(1)添加在末行末列

例21计算行列式







1111







解:

11111

1000

10000

11111









































aaaa

1111

01000

00100

00010

00001

11000

10100

10010

10001

121











)









（2）添加在一般位置

例22计算行列式

xxx







111





解：通过添加行列得：

yxxx







111

222

1111







易见

1n

D是范德蒙行列式，则









nkj

xxxyD

11

)()(

而行列式

D的值为

1n

D按最后一列展开式1ny项的系数乘以12)1(n.

8.拆分法

本法主要依行列式的性质,将给定的行列式表为几个行列式的和,使新得的行列式便于计

算．如果一个行列式的每一列的所有元素都可以写成这样的两项之和，使得其中某列的每个元素的

第1项（或第2项）与另一列对应元素的某一项相同或成比例，则一般可考虑用“拆分法”．

例23计算当3n时

nnnnn

cbacbacba











1211

2222121

1212111

解按第一列之和分解为

nnnnn

nnnn

cbacbab

cbacba



















22222

12121

2222

1212

222

121



nnn

aab

cbcb











把某1行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成2个行列式

的和,使问题简化以利于计算.

例24计算行列式

bbb

abb

aab

aaa











解：

nnnn

nnnnnn

abbb

bbb

abbb

abb

aab

aaa

aabbb

abb

aab

aaa





































对上面的第一个行列，将第n列乘)(b加到其余各列上，对第二个行列式按第n列展开，最后可得

)1()1(

)(

1000

100















nnnn

aDba

bbb

aab

aaa

bab

babab











这样，我们获得一个递推公式：

1)(





aDbaD

如果将

D按下面方式拆项，又可得到

nnnnnn

aaab

bbb

abb

aab

aaab

bbb

abb

aab

aaabb























类似于前面的方法可得另一个递推公式：

1)(





bDabD

联立上述两个递推关系式















)(

bDabD

aDbaD

当ba时，解得

abbabbaaabD

nnnnnn

n









123321)1()()1(

当ba时，解得

nnnnnnn

aaaaaaD1222221)1()()1(

9.递推与归纳

这种方法是根据行列式性质,把一个n阶行列式表示为一个或若干个具有相同形状但阶数较低

的行列式的关系式,再利用关系式推出这个n阶行列式的值.

一般情况下,主要方法有:

递推法1)递推公式法就是先将行列式表示两个(或几个)低阶同型的行列式的线性关系式,再用递推

关系及某些低阶(2阶,1阶)行列式的值求出D的值.该方法适用于行(列)中0较多的或主对角线上、

下方元素相同的题型．

归纳法2)当行列式已告诉其值,且值与自然数有关时,一般用数学归纳法证明结果的正确性.如果

未告诉结果,也可由递推关系式和前面几个低阶行列式的值,通过观察猜想原行列式的值.然后用

数学归纳法证明猜想的正确性.

1）利用已给的行列式的特点，建立起n阶行列式与1n阶行列式（或更低阶）行列式之间递推

关系式，利用此关系式求行列式的值．降阶递推法，常见的有两类：

（1）

1



lDD型，此时根据递推关系有：

1DlDn



（2）

)0,2(





qnqDpDD

nnn

型，此时我们不妨设，是方程

02qpxx的根，则

由根与系数的关系，得

qp,

，将其带入

21



nnn

qDpDD中，有：

)2()()()(

)1()()()(

211

DDDDDDDD

nnnnnn

















下面分两种情况进行讨论：

)(:21,:2

)()(

:21,:1

DDDDCase

DDDD

DCase





















）得）和（由（

)()1()(2

2DDnDDDDnnn







（1）利用

nn

进行递推

例25计算行列式

xaaa

aaaa

aaxa

aaax







321





解:

axaaa

aaa

axa

aax

aaaa

aaxa

aaax

axaaaa

aaaa

aaxa

aaax



























321

)(

nnnnnn

Dax

aaax

aaaaax

aDax

aaa

axa

aax

a)(

1000

)(

322

32211

321



















Daxaxa)()(





而xD

))(()()(

111112

axaxxaxaxaD

))(()(

))()(())(()())((

2121

axaxaax

axaxaxaxaxaDaxaxaxaD





根据递推关系式可得

)())()((

2121nnn

axaxaxaaaxD

（2）利用

nnn

DDD进行递推

例26求行列式

21000

12000

00210

00121

00012









解：由于





nnn

DDD；则不妨设，是方程0122xx的根，则：

1

于是：

2112

1)1()2()1(1)1(1DnDnDDnDDnn



其中：

314

,22

DD

所以：

1324)1()2(

nnnDnDnD

即

原行列式=1

21000

12000

00210

00121

00012

n







2)归纳法

例27计算行列式

)(

1000

0010

001

000

















解：按一行展开得

11-n

100

000

001

100

001



























）（

后一行列式按第一列展开，得递推公式

)1()3()(





nDDD

nnn



易于算出











代入递推公式得

















553344

)(D

于是自然猜想







11nn

证实这个结论，可以利用第二归纳法．此处从略

10.作辅助行列式

例28设)(,),(),(

xfxfxf

为次数不超过2n的函数，设

,,,

为任意数，证明:

)()()(

22212

12111



nnnn

fff









解法一设

)(





inin

axaxaxaxf

那么，由

)()()(

22212

12111

nnnn

fff









000

111

333

1221

12222221

11211211

nnn

nnnnnn

aaaa















马上得证．

解法二刚才是作两个辅助行列式，现在作一个新行列式

)()()(

)(

2222

1211

nnn

ffxf











由题设不难得知

D是x的不超过2n次的一个多项式，然而它有1n个根

,,

所以：

0)(xD

．特别有

)()()(

)(

22212

12111



nnnn

fff











证毕．

11.滚动消去法

当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法

叫作滚动消去法．一般利用此方法后，最好在化简后行列式的第一行或者列能产生较多的零，以便

利用降级法来做．

例29计算行列式

1221

23123

12212

1321













nnn

解：从第二行开始每行减去上一行，有

11111

1321

1221

23123

12212

1321



























nn

nnn

2122)1()1(

01000

00010

00001

1321

11111

20022

20002

1321









nnnn

nnnn











12.特征值法

设

,,,



是n级矩阵A的全部特征值，则有公式

A



．故只要能求出矩阵A的全

部特征值，那么就可计算出A的行列式．

例30若

,,,



是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全部为零．

证明：因为

A



，

则A是可逆的),,1(000

niA



13.微积分法

例31计算行列式

0002

2000

0000

0020

0002





解：易知

D的结果是一个关于未知参数x的多项式，根据n阶行列式求导公式：





nnnn

inii

nnnn

inii

xfxfxf

11211

)()()(



















下面对它求导：

0002

01000

0020

0002

002

000

020

002









n

xnx

















设

)(xfD

，则1)(

nnxxf，所以：

cxdxxfxfn



)()(

又当0x时，nnf2)1()0(1，所以

nnc2)1(1

故原行列式的值为nnn

xD2)1(1.

14.换元法

这种方法应用于当以同一个数改变行列式的所有元素时,其各元素的代数余子式容易计算的情

形．它基于下面的性质，设

xaxaxa

aaa

nnnn















22221

11211

22221

11211

则





AxDD

，其中

A是元素

的代数余子式．

例32计算行列式

axxx

xaxx

xxax

xxxa









解：把

D的所有元素都加上x得：











D的非主对角线元素的代数余子式等于零,而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其

余元素的积．所以,





























xaxax

xaxaxax

xaxaxaxaxxaxaD

inn

111

)())((

)()()()()()(

111





例33求证

)()())(()(,

)()(

baxxxxxxxf

abfbaf

xbbb

axbb

aaxb

aaax













证明作行列式

)(x

xxxbxbxb

xaxxxbxb

xaxaxxxb

xaxaxaxx











)(

可见)()(afaD，)()(bfbD．根据行列式的性质可知

)(x

是x的一次多项式，所

以可令dcxD



)(

，又因为DdD

)(0

，所以

)()();()(bfDcbbDafDcaaD

所以：

abfbaf





)()(

注释：以上几种方法已将n阶行列式的计算方法大部分囊括在内，虽然方法很多，但不难掌握．我

们解答问题时，要重视方法分析，着重培养解决问题的能力和技巧，形成良好的数学思维，在今后

的数学学习中应该多多注意．

参考文献：

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[2]钱吉林.高等代数解题精粹（修订版）【M】.北京：中英民族大学出版社，2002:189.

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[13]段向阳.浅谈行列式的几种计算方法［J］.湖南冶金职业技术学院学报，2008（12）：42-45.

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