指数的运算

指数的运算

-哦香雪

2023年2月15日发(作者：紫阳富硒茶)

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指数运算和指数函数

一、知识点

1.根式的性质

（1）当n为奇数时，有aan

n（2）当n为偶数时，有













)0(,

)0(,

aa

aa

aan

n

（3）负数没有偶次方根（4）零的任何正次方根都是零

2.幂的有关概念

(1)正整数指数幂：)(.............Nnaaaaa

n

n



(2)零指数幂)0(10aa(3)负整数指数幂).0(

1

Npa

a

a

p

p

(4)正分数指数幂)1,,,0(nNnmaaan

m

n

m

且

(5)负分数指数幂

n

m

n

m

a

a

1

)1,,,0(nNnma且

(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义

3.有理指数幂的运算性质

(1)),,0(,Qsraaaasrsr(2)),,0(,)(Qsraaarssr

(3)),0,0(,)(Qrbaaaabsrr

4．指数函数定义：函数)10(aaayx且叫做指数函数。

5.指数函数的图象和性质

xay01

图象

性

质

定义域R

值域(0,+∞)

定点

过定点（0，1），即x=0时，y=1

（1）a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，0

（2）00时，0

单调性在R上是减函数在R上是增函数

对称性xya和xya关于y轴对称

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二、指数函数底数变化与图像分布规律

（1）

①xya②xyb③xyc④xyd

则：0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：x∈(0,+∞)时，xxxxbadc

（底大幂大）

x∈(－∞,0)时，xxxxbadc

（2）特殊函数

11

2,3,(),()

23

xxxxyyyy的图像：

三、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

(2)中间量法

(3)分类讨论法

(4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若

0ABAB

；

0ABAB

；

0ABAB

；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断

1

A

B

，或1

A

B

即可．

四、典型例题

类型一、指数函数的概念

例1．函数2(33)xyaaa是指数函数，求a的值．

【答案】2

【解析】由2(33)xyaaa是指数函数，

可得

2331,

0,1,

aa

aa











且

解得

12,

01,

aa

aa











或

且

，所以

2a

．

举一反三：

【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？

（1）4xy；（2）4yx；（3）4xy；（4）(4)xy；

（5）

1

(21)(1)

2

xyaaa且；（6）4xy．

【答案】（1）（5）（6）

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【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4xy=

1

4

x





，符合指数函数的定

义，而（2）中底数x不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x的乘积；（4）中

底数

40

，所以不是指数函数．

类型二、函数的定义域、值域

例2．求下列函数的定义域、值域.

(1)

3

13

x

x

y



；(2)y=4x-2x+1；(3)21

1

3

9

x；(4)

2

1

1

x

xya



(a为大于1的常数)

【答案】（1）R，(0，1)；（2）R[

,

4

3

)；

（3）

1

,

2











0,；（4）[1，a)∪(a，+∞)

【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切xR，3x≠-1).

∵

(13)11

1

1313

x

xx

y







，又∵3x>0，1+3x>1，

∴

1

01

13x





，∴

1

10

13x





，

∴

1

011

13x





，∴值域为(0，1).

(2)定义域为R，

4

3

)

2

1

2(12)2(22xxxy，∵2x>0，∴

2

1

2x即x=-1

时，y取最小值

4

3

，同时y可以取一切大于

4

3

的实数，∴值域为[

,

4

3

).

(3)要使函数有意义可得到不等式21

1

30

9

x，即21233x，又函数3xy是增函数，

所以

212x

，即

1

2

x，即

1

,

2











，值域是0,.

(4)∵

0

1

1

1

1

2









x

x

x

x

∴定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，

又∵1

1

1

0

1

1













x

x

x

x

且，∴aayayx

x

x

x











1

1

2

1

1

2

1且，∴值域为[1，

a)∪(a，+∞).

【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的

条件，第(4)小题中1

1

2

1

1

1











xx

x

不能遗漏.

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举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)2-12xy(2)3-3xy

(3)2-1xy(4)1-(0,1)xyaaa

【答案】（1）R；（2）-3，；（3）0,+；（4）a>1时，-0，；0

【解析】(1)R

(2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即

3x

，即-3，．

(3)为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即0,+

(4)为使得原函数有意义，需满足10xa，即1xa，所以a>1时，-0，；0

时，0+，.

【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂

的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.

类型三、指数函数的单调性及其应用

例3．讨论函数

221

()

3

xx

fx









的单调性，并求其值域．

【思路点拨】对于x∈R，

221

0

3

xx







恒成立，因此可以通过作商讨论函数()fx的单

调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，

综合得到结果．

【答案】函数()fx在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数（0，

3]

【解析】

解法一：∵函数()fx的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，

∴

2

22

2

2

1

()

3

xx

fx









，

2

11

2

1

1

()

3

xx

fx









，

2

22

22

21212121

2

11

2

2()()(2)

2

2

1

1

()

11

3

()33

1

3

xx

xxxxxxxx

xx

fx

fx



























．

（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．

又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知

2121

()(2)1

1

3

xxxx







．

又对于x∈R，()0fx恒成立，∴

21

()()fxfx．

∴函数()fx在（－∞，1）上单调递增．

（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．

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又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知

2121

()(2)1

01

3

xxxx







．∴

21

()()fxfx．

∴函数()fx在[1，+∞）上单调递减．

综上，函数()fx在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．

∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，

1

01

3

，

22111

03

33

xx







．

∴函数()fx的值域为（0，3]．

解法二：∵函数()fx的下义域为R，令u=x2－2x，则

1

()

3

u

fu









．

∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，

1

()

3

u

fu









在其定义域内是减函

数，∴函数()fx在（－∞，1]内为增函数．

又

1

()

3

u

fu









在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函

数，∴函数()fx在[1，+∞）上是减函数．

值域的求法同解法一．

【总结升华】由本例可知，研究()fxya型的复合函数的单调性用复合法，比用定义

法要简便些，一般地有：即当a＞1时，()fxya的单调性与()yfx的单调性相同；当0

＜a＜1时，()fxya的单调与()yfx的单调性相反．

举一反三：

【变式1】求函数2323xxy的单调区间及值域.

【答案】

3

(,]

2

x上单增，在

3

[,)

2

x上单减.

1

4(0,3]

【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x2+3x-2，y=3u；

[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间；[3]求值域.

设u=-x2+3x-2，y=3u，

其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在

3

(,]

2

x上单增，

u=-x2+3x-2在

3

[,)

2

x上单减，

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则2323xxy在

3

(,]

2

x上单增，在

3

[,)

2

x上单减.

又u=-x2+3x-22

311

()

244

x，2323xxy的值域为

1

4(0,3].

【变式2】求函数2-2()(01)xxfxaaa其中，且的单调区间.

【解析】当a>1时，外层函数y=au在()，上为增函数，内函数u=x2-2x在区间

(1)，上为减函数，在区间1+，上为增函数，故函数2-2()(-1)xxfxa在区间，上为减

函数，在区间1+，上为增函数；

当0

为减函数，在区间1+，上为增函数，故函数2-2()xxfxa在区间(1)，上为增函数，在

区间1,+上为减函数.

例4．证明函数

1

()(1)

1

x

x

a

fxa

a







在定义域上为增函数.

【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。

【解析】定义域为xR，任取x1

121212

1212

12

11(1)(1)(1)(1)

()()

11(1)(1)

xxxxxx

xxxx

aaaaaa

fxfx

aaaa







12

12

2()

(1)(1)

xx

xx

aa

aa







.

∵1210,10xxaa，∴12(1)(1)0xxaa，

又a>1，x1

xxaa，∴120xxaa，∴f(x1)

则

1

()(1)

1

x

x

a

fxa

a







在定义域上为增函数.

另：12121(1)xxxxxaaaa，∵10xa，a>1且x2-x1>0，

∴211xxa，∴2110xxa.

【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在

学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.

例5．判断下列各数的大小关系：

(1)1.8a与1.8a+1；(2)

2

4-2

3

1

(),3,()

33



(3)22.5，(2.5)0，2.5

1

()

2

(4)23(0,1)aaaa与

【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。

【答案】（1）1.8a<1.8a+1（2）

2

-24

3

11

()<()<3

33

（3）2.502.5

1

()<(2.5)<2

2

（4）当a>1时，23aa，当0

【解析】

(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，

又因为a

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(2)因为

4

4

1

3

3









，又

1

3

x

y









是减函数，所以

-4

2

-2

3

111

()<()<

333







，即

2

-24

3

11

()<()<3

33

．

(3)因为2.521，

2.51

1

2









，所以2.502.5

1

()<(2.5)<2

2

(4)当a>1时，23aa，当0

【总结升华】

(1)注意利用单调性解题的规范书写；

(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；

(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).

举一反三：

【变式1】比较大小：

(1)22.1与22.3(2)3.53与3.23(3)0.9-0.3与1.1-0.1

(4)0.90.3与0.70.4(5)

11

0.2

33

24

1.5,(),()

33

.

【解析】

(1)22.1＜22.3

(2)3.53＞3.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x3，

它为增函数.

(3)由0.9-0.3，0<0.9<1，-0.31，

1.1>1，-0.1<00<1.1-0.11.1-0.1；

(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.90.3>0.70.4.

(5)∵0.20.2

2

1.5()

3

，又函数

2

()

3

xy为减函数，

001xy，∴

1

0.2

3

22

1()()0

33

，

∵

4

()

3

xy为增函数，

1

0

3

x时，y>1，

11

0.2

33

422

()()()

333

.

另解：幂函数

1

3yx为增函数，则有

11

33

42

()1()

33

，(下略).

【高清课堂：指数函数369066例1】

【变式2】利用函数的性质比较

1

22，

1

33，

1

66

【答案】

1

33

1

22

1

66

【解析】

1

22

=

311

3

6662(2)8

1211

2

366633(3)9

作出8,9,6xxxyyy的图象知

986xxxyyy

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所以

1

33

1

22

1

66

【变式3】比较1.5-0.2，1.30.7，

1

3

2

()

3

的大小.

【答案】7.02.0

3

1

3.15.1)

3

2

(

【解析】先比较3

1

5

1

2.02.0)

3

2

()

3

2

()

2

3

(5.1与的大小.由于底数

3

2

(0，1)，∴

xy)

3

2

(在R上是减函数，∵0

5

1

3

1

，∴1)

3

2

()

3

2

()

3

2

(00

5

1

3

1

，再考虑指数

函数y=1.3x，由于1.3>1，所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30=1，∴

7.02.0

3

1

3.15.1)

3

2

(.

【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，

若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成

同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽

量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.

例6.(分类讨论指数函数的单调性)化简：

42

33-2aaa

【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对a进行分类讨论，去掉绝

对值。

【解析】

21

2

422121

33

333333

12

33

-,1

-2--

-,01

aaa

aaaaaaa

aaa























举一反三：

【变式1】如果215xxaa（

0a

，且

1a

），求x的取值范围．

【答案】当

01a

时，

6x

；当

1a

时，

6x

【解析】（1）当

01a

时，由于215xxaa，

215xx

，解得

6x

．

（2）当

1a

时，由于215xxaa，

215xx

，解得

6x

．

综上所述，x的取值范围是：当

01a

时，

6x

；当

1a

时，

6x

．

类型四、判断函数的奇偶性

例7．判断下列函数的奇偶性：

)()

2

1

12

1

()(xxf

x





(()x为奇函数)

【答案】偶函数

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【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是

()x定义域除掉0这个元素)，令

2

1

12

1

)(





x

xg，则

2

1

12

2

2

1

21

2

2

1

12

1

)(















x

x

x

x

x

xg

)()

2

1

12

1

(

2

1

12

1

1

2

1

12

1)12(

xg

xxx

x

















∴g(x)为奇函数，又∵()x为奇函数，∴f(x)为偶函数.

【总结升华】求()()()fxgxx的奇偶性，可以先判断()gx与()x的奇偶性，然

后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出()fx的奇偶性．

举一反三：

【变式1】判断函数的奇偶性：

()

2

21x

xx

fx



.

【答案】偶函数

【解析】定义域{x|xR且x≠0}，

又

112121

()()()()

222

211221

xx

xxx

fxxxx







21111111

()(1)()()

222

212121

x

xxx

xxxfx







，

∴f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.

类型五、指数函数的图象问题

例8．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数xya的图象，而

12

,,3,

22

a













，

则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．

【答案】

2

2

1

2

3

【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数＜C1的底数＜C4

的底数＜C3的底数．

【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关

问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，

这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”．

举一反三：

【变式1】设()|31|xfx，c＜b＜a且()()()fcfafb，则下列关系式中一定

成立的是（）

A．33cbB．33cbC．332caD．332ca

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【答案】D

【变式2】为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象()

A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

【答案】C

【解析】注意先将函数935xy转化为235xy，再利用图象的平移规律进行

判断．

∵293535xxy，∴把函数3xy的图象向左平移2个单位长度，再向上平

移5个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选C．

【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，

所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

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指数函数测试题1

1．函数2

1

0)2()5(xxy（）

A．}2,5|{xxxB．}2|{xx

C．}5|{xxD．}552|{xxx或

2．若指数函数xay在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（）

A．

2

51

B．

2

51

C．

2

51

D．

2

15

3．函数



















0,

0,12

)(

2

1

xx

x

xf

x

，满足1)(xf的x的取值范围（）

A．)1,1(B．),1(

C．}20|{xxx或D．}11|{xxx或

4．函数22)

2

1

(xxy得单调递增区间是（）

A．

]

2

1

,1[B．]1,(C．),2[D．]2,

2

1

[

5．已知

2

)(

xxee

xf



，则下列正确的是（）

A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数

C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数

二、填空题

6．已知函数f(x)的定义域是（1，2），则函数)2(xf的定义域是.

7．当a＞0且a≠1时，函数f(x)=ax－2－3必过定点.

8．已知－1

3

1

,,3aaa由小到大的顺序是.

三、解答题

9．（12分）求函数的定义域.

10．（12分）已知函数)1(122aaayxx在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.

11．（12分）（1）已知

mxf

x







13

2

)(是奇函数，求常数m的值；

（2）画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k

无

解？有一解？有两解？

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指数函数测试题1答案

一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)；13．

3

2

a；14．

aaa33

3

1

；

15．解：要使函数有意义必须：

x

x

x

x

x





























10

1

0

1

0

∴定义域为：

16．解：

rr

r

rr

c

b

c

a

c

ba































，其中10,10

c

b

c

a

.

当r＞1时，

1



























c

b

c

a

c

b

c

arr，所以ar+br＜cr；

当r＜1时，

1



























c

b

c

a

c

b

c

arr，所以ar+br＞cr.

17．解：)1(122aaayxx

，换元为)

1

(122at

a

tty，对称轴为1t.

当1a，at，即x=1时取最大值，略

解得a=3(a=－5舍去)

18．解：（1）常数m=1

（2）当k<0时，直线y=k与函数|13|xy的图象无

交点,即方程无解;

当k=0或k



1时,直线y=k与函数

|13|xy

的图象有唯一的交点，所以方程有一解;

当0

19．解：（1）设

21

0tt，

因为)(tg为常数，)()(

21

tgtg，即0]][)0([21t

v

r

t

v

r

ee

r

p

g，则

r

p

g)0(；

（2）设

21

0tt，)()(

21

tgtg

]][)0([21

t

v

r

t

v

r

ee

r

p

g

=

21

12

])0([

tt

v

r

t

v

r

t

v

r

e

ee

r

p

g







因为0)0(

r

p

g，

21

0tt，)()(

21

tgtg.污染越来越严重.

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指数和指数函数练习2

一、选择题

1．（3

6

9a）4（6

3

9a）4等于（）

（A）a16（B）a8（C）a4（D）a2

2.若a>1,b<0,且ab+a-b=22,则ab-a-b的值等于（）

（A）6（B）2（C）-2（D）2

3．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（）

（A）1a（B）2a（C）a<2（D）1<2a

4.下列函数式中，满足f(x+1)=

2

1

f(x)的是()

(A)

2

1

(x+1)(B)x+

4

1

(C)2x(D)2-x

5.下列f(x)=(1+ax)2xa是（）

（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇且偶函

数

6．已知a>b,ab

0

下列不等式（1）a2>b2,(2)2a>2b,(3)

ba

11

,(4)a3

1

>b3

1

,(5)(

3

1

)a<(

3

1

)b

中恒成立的有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

7．函数y=

12

12





x

x

是（）

（A）奇函数（B）偶函数（C）既奇又偶函数（D）非奇非

偶函数

8．函数y=

12

1

x

的值域是（）

（A）（-1,）（B）（-

,

0）（0，+



）

（C）（-1，+）（D）（-，-1）（0，+）

9．下列函数中，值域为R+的是（）

（A）y=5x2

1

（B）y=(

3

1

)1-x（C）y=1)

2

1

(x（D）y=x21

10.函数y=

2

xxee

的反函数是（）

（A）奇函数且在R+上是减函数（B）偶函数且在R+上是减函数

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（C）奇函数且在R+上是增函数（D）偶函数且在R+上是增函数

11．下列关系中正确的是（）

（A）（

2

1

）3

2

<（

5

1

）3

2

<（

2

1

）3

1

（B）（

2

1

）3

1

<（

2

1

）3

2

<（

5

1

）3

2

（C）（

5

1

）3

2

<（

2

1

）3

1

<（

2

1

）3

2

（D）（

5

1

）3

2

<（

2

1

）3

2

<（

2

1

）3

1

12．若函数y=3+2x-1的反函数的图像经过P点，则P点坐标是（）

（A）（2，5）（B）（1，3）（C）（5，2）（D）（3，1）

13．函数f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是（）

（A）（０，＋）（B）（５，＋）

（C）（６，＋）（D）（－，＋）

14.若方程ax-x-a=0有两个根，则a的取值范围是（）

（A）（1，+）（B）（0，1）（C）（0，+）（D）

15．已知函数f(x)=ax+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则

函数f(x)的表达式是（）

(A)f(x)=2x+5(B)f(x)=5x+3(C)f(x)=3x+4(D)f(x)=4x+3

16.已知三个实数a,b=aa,c=aaa,其中0.9

（A）a17．已知0

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

二、填空题

1．若a2

3

2．若10x=3,10y=4,则10x-y=。

3．化简

5

3

x

x

3

5x

x

×2

3

5

x

x

=。

4．函数y=

1

1

5

1



x

x

的定义域是。

5．直线x=a(a>0)与函数y=(

3

1

)x,y=(

2

1

)x,y=2x,y=10x的图像依次交于A、B、C、D四点，则

这四点从上到下的排列次序是。

6．函数y=3232x的单调递减区间是。

7．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=.

8．已知f(x)=2x,g(x)是一次函数，记F（x）=f[g(x)],并且点（2，

4

1

）既在函数F（x）

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的图像上，又在F-1（x）的图像上，则F（x）的解析式为.

三、解答题

1．设0a522xx。

2．设f(x)=2x,g(x)=4x,g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)]，求x的取值范围。

3．已知x[-3,2]，求f(x)=

1

2

1

4

1



xx

的最小值与最大值。

4．设aR,f(x)=)(

12

22

Rx

aa

x

x







，试确定a的值，使f(x)为奇函数。

5．已知函数y=(

3

1

)522xx，求其单调区间及值域。

6．若函数y=4x-3·2x+3的值域为[1，7]，试确定x的取值范围。

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7.已知函数f(x)=)1(

1

1







a

a

a

x

x

,(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)

证明f(x)是R上的增函数。

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指数与指数函数练习2

一、选择题

题号

答案ACDDDBCADB

题号617181920

答案CDCBADAAAD

二、填空题

1．0

4

3

3.1

4.(-,0)(0,1)(1,+)















015

01

1x

x

x

,联立解得x0,且x1。

5．[（

3

1

）9，39]令U=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9,∵-399,1Ux,又∵y=(

3

1

)U

为减函数，∴（

3

1

）9y39。6。D、C、B、A。

7．（0，+）

令y=3U,U=2-3x2,∵y=3U为增函数，∴y=32323x的单调递减区间为[0，+）。

8．0f(125)=f(53)=f(52×2-1)=2-2=0。

9．

3

1

或3。

Y=m2x+2mx-1=(mx+1)2-2,∵它在区间[-1，1]上的最大值是14，∴（m-1+1）2-2=14或（m+1）

2-2=14,解得m=

3

1

或3。

10．27

10

7

12

x

11．∵g(x)是一次函数，∴可设g(x)=kx+b(k0),∵F(x)=f[g(x)]=2kx+b。由已知有F（2）

=

4

1

，F（

4

1

）=2，∴

































1

4

1

22

22

4

1

2

4

1

2

bk

bk

bk

bk

即，∴k=-

7

12

,b=

7

10

,∴f(x)=2-7

10

7

12

x

三、解答题

1．∵0a522xx,∴2x2-3x+1

解得2

2.g[g(x)]=4x4=4

x2

2=2

12

2

x

,f[g(x)]=4x2=2x22,∵g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)],∴

2122x>212x>2x22,∴22x+1>2x+1>22x,∴2x+1>x+1>2x,解得0

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3.f(x)=

4

3

)

2

1

2(121241

2

1

4

1

2xxxx

xx

,∵x[-3,2],∴

82

4

1

x.则当2-x=

2

1

,即x=1时,f(x)有最小值

4

3

；当2-x=8,即x=-3时，f(x)有最大值

57。

4．要使f(x)为奇函数，∵xR,∴需f(x)+f(-x)=0,∴

f(x)=a-

12

2

)(,

12

2





xx

axf=a-

12

21





x

x

,由a-

12

2

12

21









x

x

x

a=0,得

2a-

12

)12(2





x

x

=0,得2a-1,0

12

)12(2







a

x

x

。

5．令y=(

3

1

)U,U=x2+2x+5,则y是关于U的减函数，而U是(-,-1)上的减函数，[-1，+]

上的增函数，∴y=(

3

1

)522xx在（-，-1）上是增函数，而在[-1，+]上是减函数，又

∵U=x2+2x+5=(x+1)2+44,∴y=(

3

1

)522xx的值域为（0，（

3

1

）4）]。

6．Y=4x-33232322xxx，依题意有















1323)2(

7323)2(

2

2

xx

xx

即















1222

421

xx

x

或

，∴2,12042xx或

由函数y=2x的单调性可得x]2,1[]0,(。

7．（2x）2+a(2x)+a+1=0有实根，∵2x>0,∴相当于t2+at+a+1=0有正根，

则



























01

0

0

01)0(

0

a

a

af

或

8．（1）∵定义域为x

R

,且f(-x)=)(),(

1

1

1

1

xxf

a

a

a

a

x

x

x

x

















是奇函数；

（2）f(x)=,2

1

2

0,11,

1

2

1

1

21















x

x

xx

x

a

a

aa

a

∵即f(x)的值域为（-1，1）；

（3）设x1,x2

R

,且x1

)1)(1(

22

1

1

1

1

21

21

2

21

















xx

xx

x

x

x

x

aa

aa

a

a

a

a

(∵分母

大于零，且a1

x

x)∴f(x)是R上的增函数。