复数的模怎么求
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2023年2月15日发(作者：东兰新闻)复数模最值问题的几种解法
摘要：求复数模的最值问题，是一类较好的综合题，设及代数、几何、三角
诸方面的知识，且方法灵活多样。
关键词：复数模；最值；问题；解法
求复数模的最值问题，是一类较好的综合题，涉及代数、几何、三角诸方面
的知识，且方法灵活多样，现将几种方法归纳介绍如下：
1利用代数函数求最值
设z=x+yi(x、y∈R)直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用S、Y函
数表示出来，转化为函数最值问题。
例1：已知复数z满足|z-(2+i|+|z-2-i|=4。求d=|z|的最大值和最小值。
解：设z=x+yi(x、y∈R)
∵|z-(2+i|+|z-2-i|=4
∴x,y满足方程
(x-2)2+y2/4=1……………………………(1)
∵d=|z|+|x+yi|=max
∴d2=x2+y2。…………………由（1）式得
y2=4[1-(x-2)2]
则d2=x2+4[1-(x-2)2]
=-3(x-8/3)2+28/3
由（1）式知-1≤x-2≤1即1≤x≤3
录x=1时即当z=1时dmin=|z|min=1
当x=8/3,y=±2/3时，即z=8/3±2/3i时
dmax=|z|max==/3
2利用三角函数求最值
利用复数的三角函数形式，可以把复数模最值问题转化为与三角函数有关的
最值问题
例2：设z满足|z-(2+2i)|=,求|z|的最大值和最小值。
解：设z=r（comθ+isinθ）由条件得
（rcomθ-2）2+(rsinθ-2)2=2即
r2-4r(comθ+sinθ)+6=0
∵r≠0∴sin(θ+π/4)=(r2+6)/4r
又∵r>0,θ要又解必须有（r2+6）/4r≤1
即r2-4+6≤0
解之得：≤r≤3
∴|z|max=3;|z|=
3利用||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|求最值
例3：已知复数z满足|z|=2,求|1+i+z|的最值。
解：∵|z|=2,且|z|-|1+i|≤|z+(!+i)|≤|z|+
|(1+i)|
∴0≤|z+(!+i)|≤4
∴|!+i+z|max=4;|!+i+z|mai=0
4共轭复数法
见例3：设z=2（comθ+isinθ）；由|z|2=z*z,得
|1+i+z|2=（1+i+z）（1+i+z）=8+8com(π/3－θ)；于是得出结论。
5利用平均值定理求最值
例5：已知复数z满足|z|=1，求d=|z3-3z-2|的最值。
解：d2=|(z+1)2(z-2)|2=(|z+1|2)2|z-2|2
=[(z+1)(z+1)]2(z-2)(z-2)
(zz+z+z+1)(zz-2z-2z+4);|z|=1
∴d2=(2+z+z)2(5-2z-2z)
设z=x+yi(x,y∈R)代入上式：
得d2=(2+2x)2(5-4x)Q|x|≤1
∴2+2x≥0;5-4x>0
∴d2=(2+2x)(2+2x)(5-4x)≤{[(2+2x)+(2+2x)+(5-4x)]/3}3=27
∵d≥0∴d≤3,由2+2x=5-4x得x=1/2
∴当z=1/2±/2i时dmax=3
当z3-3z-2=0得z=-1或z=-2（舍去）
即当z=-1时,dmin=0
6利用图象求最值（几何法）
因为复数和图形有着密切的关系，我们可以利用这种关系把所给条件转化为
图形直观的求出最大值最小值。
例6：已知|z|=1。求|-i-z|的最大值和最小值。
解：∵|z|=1∴复数z在复平面内对应的点在单位圆上。
∵|－i－z|即|z－(－i)表示z到定点A(,-1)的距离；
易得∵|－i－z|max=3;|－i－z|min=1又如|z|=1求|z-(2+2i)|得最值用图象法时
仿上易得：
|z－(2+2i)|max=2＋1
|z－(2+2i)|min=2－1
上面几种求复数模的方法，从不同的侧面介绍了复数最值的常用方法，但对
具体问题，应具体分析，从中找出最佳解法。