椭圆第三定义
-mind
2023年2月15日发(作者：蓝天工程)1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS3
1v
圆锥曲线的第三定义及运用
一、椭圆和双曲线的第三定义
1.椭圆
在椭圆22
22
C10
xy
ab
ab
：
中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，
若
PAPB
kk、存在，则有：
2
2
2
=1=
PAPB
b
kke
a
•
证明：构造△PAB的PA边所对的中位线MO，
PAMO
kk，由点差法结论：
2
2
2
=1=
MOPB
b
kke
a
•
知此结论成立。
2.双曲线
在双曲线
22
22
C1
xy
ab
：
中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若
PAPB
kk、
存在，则有：
2
2
2
=1=
PAPB
b
kke
a
•
证明：只需将椭圆中的2b全部换成2b就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。
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二、与角度有关的问题
例题一：已知椭圆22
22
C10
xy
ab
ab
：
的离心率
3
2
e
，A、B是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线
22
1
78
xy
的一个交点，令PAB=APB=，
，则
cos
=
cos2
.
解答：
令
=PBx
，由椭圆第三定义可知：2
1
tantan=1=
4
e•
cos
coscoscossinsin1tantan3
===
cos2coscoscossinsin1tantan5
•
•
点评：
其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第
三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦
化正切是三角函数的常见考点☆。
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变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）
已知双曲线22C2015xy：的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支一点，且=4PABAPB，求
=PAB.
解答：
令
=0
2
PAB
，
，=0
2
PBA
，，则=5，由双曲线的第三定义知：
2tantan=tantan5=1=1e••
则：
1
tan==tan5=5=
tan52212
点评：
与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sinα=cos
β，cosα=sinβ两角互余☆，则可解出α的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，
但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。
三、与均值定理有关的问题
例题2：已知A、B是椭圆22
22
10
xy
ab
ab
长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，
直线AM、BN的斜率分别为
12
kk、，且
12
0kk。若
12
kk的最小值为1，则椭圆的离心率为.
解答一（第三定义+均值）：
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由题意可作图如下：
连接MB，由椭圆的第三定义可知：
2
2
2
=1=
AMBM
b
kke
a
•，而
BMBN
kk
2
12
2
=
b
kk
a
1212
213
2==1==
22
bb
kkkke
aa
•
解答二（特殊值法）：
这道题由于表达式12
min
1kk非常对称，则可直接猜特殊点求解。
12
1
==
2
kk时可取最值，则M、
N分别为短轴的两端点。此时：
12
13
====
22
b
kke
a
。
点评：
对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的
关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。
当然将
12
kk、前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式
2-1。
变式2-1：已知A、B是椭圆22
22
10
xy
ab
ab
长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，
直线AM、BN的斜率分别为
12
kk、，且
12
0kk。若
12
222kk的最小值为1，则椭圆的离心率
为.
解答：
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连接MB，由椭圆的第三定义可知：
2
2
2
=1=
AMBM
b
kke
a
•，而
BMBN
kk
2
12
2
=
b
kk
a
1212
4115
2224==1==
44
bb
kkkke
aa
•
变式2-2：已知A、B是椭圆22
22
10
xy
ab
ab
长轴的两个端点，若椭圆上存在Q，使
2
3
AQB
，
则椭圆的离心率的取值范围为.
解答一（正切+均值）：
令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为0
2
，，直线QB的倾斜角为
2
，。
2
AQB
，，
tantan
tantan
1tantan
AQB
由椭圆的第三定义：
2
2
tantan=
b
a
，则
2
2
tan=
tan
b
a
带入可得：
2
2
2
2
22
22
tan
tan
tan
tantan
tan
==
1tantan
11
b
b
a
a
bb
aa
2
2
22
22
22
2
2tan
2
tan
==
11
b
b
ab
a
a
bb
ab
aa
•
（取等条件：tan
b
a
，即Q为上顶点）
而tanx在
2
，单增，则Q为上顶点时
max
AQB，所以此时
2
3
AQB，故
6
1
3
e
，
解答二（极限法）：
当Q趋近于A、B两点时，
2
AQB
（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆弧，
AQB相当于直径所对的圆周角）；当Q在A、B间运动时
2
AQB
（Q在以AB为直径的圆内部，
AQB直径所对的圆周角=90°），由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时
max
AQB。
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由于：椭圆上存在Q，使
2
3
AQB
，那么Q为短轴端点时
max
2
3
AQB
。
取临界情况，即Q为短轴端点时
2
3
AQB
，此时
6
3
3
a
e
b
；当椭圆趋于饱满（0e）
时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90°，不满足；当椭圆趋于线段（1e）时，
max
AQB，满足。故
6
1
3
e
，。
当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。
点评：
这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时，
2
AQB
”时
能会颠覆“AQB”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不
是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：①与第三
定义发生联系②tanx在
2
，单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。
四、总结归纳
1.上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。
2.对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称
的式子的最值，如：例题2
3.极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化一
定是光滑的（无突变，连续），所以只需考虑边界值。
4.做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2-2。
5.常以正切值刻画角度大小。
6.在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。
7..
1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS3
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8..
五、方法链接
针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。
例题3：在平面直角坐标系XOY中，给定两点1,2M和1,4N，点P在X轴上移动，当MPN取最大
值时，点P的横坐标为.
解答一（正切+均值）：
已知：1,2M、1,4N，:3
MN
lyx与x轴交于
0
3,0P
令,0Pt，则：
2
1MP
k
t
，
4
1NP
k
t
，=MPN
①当3t时，=0
②当3t时，
MP
l的倾斜角较大，
2
26
tan==
17
MPNP
MPNP
kk
t
kkt
•
令30xt，则
22
26222
tan====1
16
7616
16
6
26
tx
txx
x
x
x
x
•
（tan0）
此时4x，1t，
max4
③当3t时，
NP
l的倾斜角较大，
2
26
tan==
17
NPMP
MPNP
kk
t
kkt
•
1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS3
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30xt，则
22
262221
tan====
16
76167
16
6
26
tx
txx
x
x
x
x
•
（tan0）
此时4x，7t，
max
1
tan
7
由于0，，且tan在0，上单增，tan01，
max4
，此时1t
解答二（圆周角定理）：
本题中的取极值时的P点的几何意义为：过M、N的圆与x轴切于P点。下面给出证明：
证明：以与x轴切于
2
P点的圆满足所求最大角为例：
由于3
MN
lyx：是过M、N两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在3lyx：上
随着圆心横坐标从0开始增大：当半径r较小时，圆与x轴无交点；当半径稍大一点时，圆与x
轴相切，有一个交点；当半径更大一点时，圆与x轴有两交点
3
P、
4
P。
此时：根据圆周角定理：
342
Q=MPNMPNMNMPN，可知：圆与x轴相切时，
max
MPN
。
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R较小的情况（圆与x轴相离）R较大的情况（圆与x轴相交于
3
P、
4
P）
所以：过M、N的圆与x轴切于
3
P、
4
P点时，分别有
max
MPN
只需比较
1
MPN与
2
MPN，哪一个更大。
令与x轴相切的圆的圆心为,xy，则切点,0Px，半径为y
圆满足：
22
2
2
22
2
12
67071
14
xyy
xxxor
xyy
（消去y）
比较可知：当x=1时，
max
MPN
点评：
常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正
角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程
组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的
圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。☆
变式3-1：若G为△ABC的重心，且AGBG，则sinC的最大值为.
解答一（余弦定理+均值）：
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令0,0G，,0Aa，0,bB，则由
1
3
,
1
3
GABC
GABC
xxxx
Cab
yyyy
由点间的距离公式：22ABab，224ACab，224BCab
由余弦定理：
222
222222
2222
44
cos=
2
244
ababab
ACBCAB
C
ACBC
abab
2222
22222222
42
==
24444
abab
abababab
由于：222222
5
44
22
ab
abababab
max
433
cos0sinsin
555
CCC
解法二（圆周角定理）：
令1,0A，1,0B，Gsin,cos，则C3sin,3cos
题目转化为：1,0A，1,0B，C,xy满足：229xy，求sinC的最大值。
目测可知C0,3时，
max
ABC，下面以C'0,3来证明。
过1,0A，1,0B，C'0,3作圆O：
若C不在'C点，令AC交圆O于Q点。由圆周角定理：'ACBAQBACB证得
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此时由余弦定理
minmax
43
cos=sin
55
CC
点评：
可以说这道题与例题3有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。其
实余弦函数在0，单调，也可用来度量角的大小。
不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式☆值得思考领悟。
解法一照顾垂直结论，把重心放在原点，利用重心的坐标很好地刻画了C点的坐标；解法二联系圆的直径
所对圆周角为直角表示垂直条件，以同样方式刻画C点的坐标。两种方式都完全的展现了题目中的关系。
例题4：（对椭圆用均值）：过椭圆22
22
11
xy
ab
ba
上一点P引圆O：221xy的两条切线PA、PB，
其中A、B为切点，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N，则△OMN面积的最小值为.
解答：设
00
,Pxy
，P点满足
2222
00
0000
00
2222
2
112=
2
xy
xyxy
ab
xy
babaab
•
00
,Pxy
在圆外，则圆的切点弦方程为：
00
00
11
1,00,xxyyMM
xy
、
00
111
=
22OMN
SOMON
xyab
••
点评：
解法巧妙，很难想到，权当欣赏。注意看到题目就要马上联想到圆的切点弦方程，当遇到面积表达式中含有
00
xy
时，可对椭圆进行均值，构造
00
xy的范围。办公用品领用记录
序
号
物品名称领用部门领用数量领用时间领用人签名备注
1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS3
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