圆周角定理及其推论
-竞选班干部演讲稿
2023年2月15日发(作者：潮汕功夫茶)24．1.4圆周角
第1课时圆周角定理及其推论
教学目标
1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．
2．掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．
预习反馈
阅读教材P85～87，完成下列问题．
1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3．如图所示，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上．若∠AOB＝90°，则∠ACB的
度数为45°．
4．圆周角定理的推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等．
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
5．如图所示，点A，B，C在圆周上，∠A＝65°，则∠D的度数为65°．
第5题图第6题图
6．如图，A，B，C均在⊙O上，且AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠C＝90°，∠A＝45°．
名校讲坛
知识点1圆周角定理
例1(教材补充例题)如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO＝25°，
求∠C的度数．
【解答】∵OA＝OB，∠ABO＝25°，
∴∠BAO＝∠ABO＝25°.
∴∠AOB＝130°.
∴∠C＝
1
2
∠AOB＝65°.
【跟踪训练1】如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC大小
为60°．
知识点2圆周角定理的推论
例2(教材P87例4)如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交
⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
【解答】连接OD.
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，
BC＝AB2－AC2＝102－62＝8(cm)．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD.
∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD＝BD＝
2
2
AB＝
2
2
×10＝52(cm)．
例3(教材补充例题)如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝2，∠
B＝∠DAC，则AC＝1．
【归纳总结】1.圆周角定理及其推论中的转化思想：(1)弧是圆周角、圆心角的中介，
通过弧可实现圆周角、圆心角之间的转化；(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间
可以相互转化．
2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：当题目中出现直径时，通常作出直径所对的
圆周角，可得直角，然后结合直角三角形解决问题，即“见直径作直角”．
3．利用圆周角定理及其推论进行证明时常用的思路：(1)在同圆或等圆中，若要证弧相
等，则考虑证明这两条弧所对的圆周角相等；(2)在同圆或等圆中，若要证圆周角相等，则
考虑证明这两个圆周角所对的弧相等；(3)当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解
决问题．
【跟踪训练2】如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝30°．
第2题图第3题图
【点拨】连接OC，构造圆心角的同时构造等腰三角形．
【跟踪训练3】如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠B＝58°．
巩固训练
1．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧BC
︵
上一点，则圆周角∠BAC的度
数为50°．
第1题图第2题图
2．如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD
＝5cm，则BE＝10__cm．
【点拨】利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．
3．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧AB
︵
的中点，则∠CAB的度数为65°．
第3题图第4题图
4．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.
证明：∵∠AOB是劣弧AB
︵
所对的圆心角，∠ACB是劣弧AB
︵
所对的圆周角，
∴∠AOB＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC.
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠ACB＝2∠BAC.
【点拨】看圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角．
课堂小结
圆周角的定义、定理及推论．