值域和定义域的区别

值域和定义域的区别

-动刚度

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《函数的概念和图像》授课方案

课题函数的概念和图像

授课日期及时段

教学目的

1.理解函数及其定义域、值域的概念，并能求函数的定义域、值域

2.能用描点法画函数的图像

3.了解函数的表示方法，重点掌握函数的解析法

4.了解分段函数的概念，掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法

5.理解函数的单调性，掌握判断函数单调性和求函数最值的方法

6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性，求函数的最值

7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法

了解映射的定义，明确函数与映射的异同之处

教学内容

1.函数概念是如何定义的，什么是映射？举例说明函数、映射以及它们之间的区别

2.思考：对于不同的函数如：①

xxy22②1xy③

1

1





x

y④52lgxy⑤

x

y





1

1

的定义域如何确定

3.通常表示函数的方法有：

4.xfy的定义域为AxxA

21

,,。函数是增函数，函数是减函数，

函数是奇函数，函数是偶函数。

讲授新课：

一、函数的判断

例1.下列对应是函数的是

注：检验函数的方法（对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应）

①xyyx:②12xxx

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下列函数中，表示同一个函数的是：（）

注：定义域和对应法则必须都相同时，函数是同一函数

A.2,xxgxxfB.2,xxgxxf

C.

2

4

,2

2







x

x

xgxxfD.3

3,xxgxxf

练习：

1.设有函数组：①2,xyxy②3

3,xyxy③

x

x

yxy,④



x

x

y

x

x

y













,

0

0

1

1

其中表示同一函数的是。

二：函数的定义域

注：确定函数定义域的主要方法

(1)若xf为整式，则定义域为R.

(2)若xf是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合

(3)若xf是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合；

(4)若xf是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合；

(5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题

例：1.求下列函数的定义域：

（1）

2322





xx

x

y

（2）

xxy11

（3）

x

y





11

3

（4）2253xxy

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（5）

















x

x

x

xf

23

4

1

（6）t是时间，距离ttf360

2.已知函数xf的定义域是[-3,0],求函数1xf的定义域。

练习：

1.求下列函数的定义域：

（1）142xxf；（2）

21

432







x

xx

xf

（3）

x

xf

1

1

1

1

1





；（4）



xx

x

xf







01

2.已知xf的定义域为1,0，求函数















3

4

2xfxfy的定义域。

三、函数值和函数的值域

例1、求下列函数的值域：（观察法）

（1）

24

15







x

x

y（2）

12

34

2

2







xx

xx

y

例2.求函数

32

742

2

2







xx

xx

y的值域（反解法）

例3.求函数

12xxy

的值域（配方换元法）

例4.求函数2

24

15







x

x

x

y的值域（不等式法）

例5.画出函数5,1,642xxxy的图像，并根据其图像写出该函数的值域。（图像法）

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练习：

1.求下列函数的值域:

(1)23xy(2)

xxf42)(

(3)

1



x

x

y(4)

x

xy

1



2.求下列函数的值域：

（1）242xxy（2）12xxy（3）

322

1

2

2







xx

xx

y

四、函数解析式：

例1、已知1

11

1

2

















x

x

f，求xf的解析式。（换元法）

例2.设二次函数xfy的最小值等于4，且620ff，求xf的解析式。（待定系数法）

练习：

1.已知xxxf21

，求xf。

2、已知)(xf是一次函数，且14xxff，求)(xf的解析式。

3、求函数21xxy的值域。

五、单调性：

例1.证明：13xxf在,上是减函数。（定义法）

2.证明：函数

x

xxf

1

在1,0上是减函数

例2.画出函数342xxxf的图像，并由图像写出函数)(xf的单调区间。

3、复合函数

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注：定义域相同时：

增增增

减减减

增增增

减减增

增减减

减增减

例：已知函数228xxxf，22xfxg，试求xg的单调区间。

练习：

1.确定函数

x

xf

21

1



的单调性。

2已知32axxxf在区间1,1上的最小值为-3，求实数a的值。

六、奇偶性

例.判断函数奇偶性：

（1）xxxf22

；

（2）1122xxxf；

练习：

判断函数的奇偶性：

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（1）



x

x

xf

2

212

；

（2）

1lg2xxxf；

（3）

2

2

1

lglg

x

xxf；

（4）

x

x

xxf







1

1

1；

例.奇偶性的应用

1.已知

qx

px

xf







3

22

是奇函数，且

3

5

2f。

（1）求实数qp,的值；

（2）判断函数xf在1,上的单调性，并加以证明。

2.已知函数21122nxmxmxf，则当nm,为何值时，)(xf是奇函数？

练习：

1.已知)(xf是奇函数，且0x时，,2xxxf求0x时，求)(xf的解析式。

函数的值域

姓名________班级__________学号__________日期__________成绩_______

1、函数y=-x2-4x+1,x∈[-3,3]的值域是_______

2、函数y=x2-x（-1≤x≤4,x∈Z）的值域是_______

3、函数y=3x-4的值域为[-10，5]，则其定义域是_______

4、设函数

2

1

()

1

fx

x





的定义域为R,则它的值域为______

5、函数1,(1,2,3})yxx的值域是______

6、已知函数



















0,3

0,0

0,32

)(

2

x

x

xx

xf则f(1)=____,f(-1)=_____,f[f(-1)]=_____

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7、已知函数













0,5

0,63

)(

xx

xx

xf

（1）求f[f(1)]的值；（2）求f(x)的值域；

（3）已知f(x)=-10,求x的值。

8、分别在下列范围内求函数f(x)=x2-2x-3的最值

(1)0≤x≤2;(2)0≤x≤4;(3)2≤x≤3.

参考答案

1、[-20，5]2、{2,0,6,12}3、[-2,3]

4、(0,1]5、{0,-1,-2}6、5,3,21

7、解：（1）f(1)=-3,f[f(1)]=f(-3)=2

(2)由图象可知，x≥0时，f(x)≥-6

x<0时，f(x)<5

所以y∈R

8、解：由函数y=f(x)的图象可知，

（1）y∈[-4,-3]（2）y∈[-4,5]（3）y∈[-3,0]