抛物线焦点弦公式

抛物线焦点弦公式

磷脂的组成元素-离岛gl

1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

2、焦点弦公式：设两交点),(),(

2211

yxByxA，可以通过两次焦半径公式得到：

当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p若

抛物线22ypx，)(

21

xxpAB抛物线22ypx，)(

21

xxpAB

当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p若

抛物线22xpy，)(

21

yypAB抛物线22xpy，)(

21

yypAB

3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：pd2

4、焦点弦常用结论：

结论1：韦达定理















pxy

p

xky

2

)

2

(

2

0

2

22py

k

p

y

和0

4

)2(

22

222

pk

xppkxk

2

21

pyy和

421

p

xx

结论2：pxxAB

21

证：pxx

p

x

p

xBFAFAB

2121

)

2

()

2

(

结论3：若直线L的倾斜角为，则弦长

2sin

2p

AB

证:(1)若

2



时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,结论得证pAB2

(2)若

2



时,则















pxy

p

xky

2

)

2

(

2

0

2

22py

k

p

y

















2

21

21

2

pyy

k

p

yy

sin

2

4

4

2

2

2

21

p

p

k

p

yy



2

21sin

2

sin

1p

yyAB

结论4：过焦点的弦中通径长最小

p

p

2

sin

2

1sin

2

2



AB的最小值为p2,即过焦点的弦长中通径长最短.

结论4：)(

8

32

为定值

p

AB

SoAB

0

11

sinsin

22OABOBFAF

SSSOFBFOFAF







2

1112

sinsinsin

2222sin

pp

OFAFBFOFAB





2

2sin

p





2

3

8

OAB

S

P

AB



结论5：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1，过B点作准线的垂线BB1，

过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知

222

11

1

ABBFAFBBAA

MM







故结论得证

结论6：连接A1F、B1F则A1FB1F

FAAFOAFOAFAAOFAAAFAFAAAFAA

11111111

//,

同理90

1111

FBAFBBFOBA1FB1F

结论7：（1）AM1BM1（2）M1FAB（3）BFAFFM2

1

（4）设AM1与A1F相交于H，M1B与FB1相交于Q则M1，Q，F，H四点共圆

（5）

2

1

2

1

2

1

4MMBMAM

证：由结论（6）知M1在以AB为直径的圆上AM1BM1



11

FBA为直角三角形，M1是斜边A1B1的中点

111111111

AFAFAAFAMFAMFMMA90

11111

MAAMFAFAA

90

111

FMAAFAM1FAB

BFAFFM2

1

AM1BM1FBFA90

111

又BAM

90FBA

11

所以M1，Q，F,H四点共圆，

22

1

2

1

ABBMAM

2

1

2

1

2

11

242MMMMBBAABFAF

结论8：（1）、AO、B1三点共线（2）B，O，A1三点共线

（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴

（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴

证：因为

p

y

p

y

k

y

p

p

y

y

x

y

k

oBoA

22

1

2

1

1

1

1

2

2

,

2

2

1





，而2

21

pyy

所以

1

2

2

2

2

2

oBoA

k

p

y

y

p

p

k



所以三点共线。同理可征（2）（3）（4）

结论9：

pFBFA

211



证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与

x

轴交点为

E,的倾斜角为因为直线L

则





cos1

cos





P

AFAFAFPFREFER

PAF

cos11



同理可得

PBF

cos11





pFBFA

211

