无限循环小数化成分数的方法
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2023年2月15日发(作者：法兰克王国)文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
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利用方程知识化无限循环小数为分数(1)
三门县亭旁镇初级中学郑永强
数学离不开数，对数的研究是数学教学重要的内容。在小学里，我们已经学过分数（正）
可以化为有限小数或者无限循环小数；反过来，小数化分数却没有很好完全解决，其中只解
决了有限小数化分数这部分内容，而无限循环小数化分数却没有完全解决，而无限不循环小
数就是无理数了，不能化成分数。而无限循环小数化分数这部分内容要想彻底解决，只有在
学了高中内容的数列、极限、无穷递缩等比数列求和公式等知识后，才可能彻底理解一般计
算公式。这部分内容的学习时间跨度是小学到高中。
下面，就遵循从具体例子到一般结论的研究方法（归纳法），用解方程的知识，研究一下
循环小数化分数这部分内容：
1.例一：化下列无限循环小数为分数：
•
9.0=0.9999999.......
在解决这个问题前，我们可以先向学生提问
•
9.0与1这两个数谁大，是否相等？估计初一大
部分学生回答不等，或者1>
•
9.0,【这个提问，我在上高一数学时候也向一个班55个同学调
查过，其中53个同学回答是1>
•
9.0,只有两个同学猜想回答说1=
•
9.0。】那么它们到底那个
大呢？从而激起学生的学习兴趣，进而怎么解决这个问题上来。我们用解方程的知识研究一
下
•
9.0这个数到底是一个怎样的数？
解：设x=
•
9.0=0.99999.....(1)
则10x=
•
9.0=9.99999.....(2)
把（2）-（1）得
9x=9
x=1,即
•
9.0=1
所以，
•
9.0这个数实际上就是数1.
练习：把下列这些循环小数化为分数：
•
1.0，
•
2.0，
•
3.0，
•
4.0，
•
5.0，
•
6.0，
•
7.0，
•
8.0，
要求：分四小组，每小组两个，用上面的方法，化一下上面八个无限循环小数为分数。其中
四个同学到黑板上面来书写演练，每人计算两个，其中一个规范书写，另外一个简单书写。
通过上面例子及练习，我们看到这些循环小数化为分数后，具有一定的规律性。即
•
1.0=
9
1
，
•
2.0=
9
2
，
•
3.0=
9
3
，
•
4.0=
9
4
，
•
5.0=
9
5
，
•
6.0=
9
6
，
•
7.0=
9
7
，
•
8.0=
9
8
，
•
9.0=
9
9
=1，
注意：老师重新写一遍结论，书写时候尽量写整齐，有利于学生记忆。这个结论很好记，希
望同学们记住，及时记住，快速记住!这些就是循环节是1的纯循环小数化分数的公式。在
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化循环小数为分数时候，这些公式是最基本的。
可以统一成这样记忆：
•
a.0=
9
a
【注意：这里的字母a、b是表示0、1、2、3、4、5、6、7、
8、9这十个数字，】
注意：以后无论什么课，只要是需要记忆的东西，就要及时地记住，这个也是高效学习的要
点。记忆是学习的必然要求！没有必要的记忆，学习就失去效率。
运用：化下列无限循环小数为分数【循环节是1的混循环小数化分数】
1.
•
21.0
2.
•
43.0
3.
•
65.0
4.
•
87.0
5.
•
98.0
解：【选择一个讲解，其他让四个同学到黑板上来演练。】
设x=
•
21.0,
则10x=
•
2.1，即10x=1+
•
2.0,
10x=1+
9
2
，
x=
90
11
,
•
21.0=
90
11
等其他四个同学做好后，把结果放在一起，观察他们有没有规律性，【鼓励学生要要大
胆猜测，下面第二个等号暂时不写出来，等学生发现规律后再写出来】
•
21.0=
90
11
=
90
112
•
43.0=
90
31
=
90
334
•
65.0=
90
51
=
90
556
•
87.0=
90
71
=
90
778
•
98.0=
90
81
=
90
889
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注意：猜测结论，要进行适当引导，目光要对数字敏感，要大胆猜测。为以后一般性的
结论【公式】证明留下悬念。
再举例练习验证：化下列无限循环小数为分数【循环节是1的混循环小数化分数】
1.
•
91.0=
90
119
=
90
18
=
5
1
=02，
•
48.0=
90
884
=
90
76
，
•
27.0=
90
772
【本组起巩固、解惑
作用，因为一部分学生心中必定还有疑惑，慢、稳、正确，稳扎稳打，实际上就是高效
课堂的一种】
2.
•
312.0=
900
12123
，
•
645.0=
900
45456
，
•
978.0=
900
78789
3.
•
4123.0=
9000
1231234
，
•
8567.0=
9000
5675678
同学们观察上面式子的结论，看看能发现什么规律？大胆猜一猜结论形式也可以。一般地，
小结：循环节是1的循环小数化成分数后，分母9的个数是1个，分母是9或者90，或者
900，或者9000.....等
例：
•
912345678.0=
900000000
456789
=
900000000
111111111
至于循环小数化分数后是否是最简分数，这是约分的内容，这里不研究。
同学们课外可以随便举几个例子，写出结论后再验证。
以上研究的是循环节是1的循环小数化分数的方法，下面就研究循环节是2的循环小数化分
数的方法【两者类似}
例二：化下列无限循环小数为分数
1.
••
21.0
2.
••
43.0
3.
••
65.0
4.
••
87.0
5.
••
89.0
解：（取第一个，其余作为四个小组练习用）
设x=
••
21.0=0.121212......,(1)
则100x=12.121212......(2)
把(2)-(1)得99x=12,
x=
99
12
同学们同理可以得到
••
43.0=
99
34
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••
65.0=
99
56
••
87.0=
99
78
••
89.0=
99
98
同学们看看，循环节是2的纯循环小数化分数有什么规律？
一般地，循环节是2的纯循环小数化分数的公式是：••
ba.0=
99
ab
【注意：这里的字母a、b只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，这里ab
也不是表示a与b的积】
运用：化下列无限循环小数为分数（稍有变化，但是循环节
仍然是2，是循环节是2的混循环小数）
1.••
321.0
2.••
654.0
3.••
987.0
解1：（选一个，其他两个让学生练习)
设x=
••
321.0
则10x=
••
32.1
即10x=1+
••
32.0
也即10x=1+
99
23
x=
990
122
即
••
321.0=
990
122
，
再看同学们的计算结果：
••
654.0=
990
452=
990
4456
，
••
987.0=
990
782=
990
9789
观察一下上面三个结论，同学们能发现什么计算规律吗？
练习：化下列无限循环小数为分数，猜猜下面计算结果（同学们可以课外验证），化成分数
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后，分子形式怎样，分母形式又怎样？
1.
••
4312.0
2.
••
8756.0
3.
••
54123.0
4.
••
98567.0
一般地：
小结：循环节是2的循环小数化分数，分母9的个是2个，分母是99，或者990，或者9900，
或者99000，……等等。
例如：
••
7612345.0=
9900000
1222222
9900000
7
至于分子的规律性，从上面的例子可以看到，可以看出，待下面一般形式的无限循环小数化
化分数的公式证明后，再看就更清楚了。下面部分就不对初中学生讲了，但是可以要求他们
记住计算公式。
事实上，上面的所有例子的计算，都是无穷递缩等比数列：
a,ar,ar2……arn-1……(r<1)
求和公式的应用，即
a+ar+ar2+……+arn-1+……=
r
a
1
(r<1)
例如：
•
1.0=0.111111……=0.1+0.01+0.001+0.0001+……=
1.01
1.0
=
9
1
事实上，
纯循环小数S=
naaaa
••••
321
，就等于
S=
n
n
naaaa
10
1
1
10
21
••••
=
110
321
••••
n
naaaa
=
9
321
999999
个n
naaaa
••••
【注意这里的字母a
1
,a
2
,a
3
,…an只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，】
混循环小数S=
n
m
aaaabbb
••••
321
21
.0，就等于
S=
n
nm
n
m
m
aaaa
bbb
10
1
1
10
10
321
21
=
)110(1010
32121
nm
n
m
m
aaaabbb
=
)110(10
21321321
nm
mnm
bbbaaaabbbb
=
)110(10
21321321
nm
mnm
bbbaaaabbbb
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【注意这里的字母不b
1
,b
2
,b3…bm也只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，
b
1
b
2
b3…bm也不表示是字母和字母的乘积，每个字母也只代表0、1、2、3、4、5、6、7、8、
9这十个数字】
这样，我们就有了上面无限循环小数化分数的两个基本公式。这也就证明了小学算术中没有
解决也不可能解决的循环小数化分数的两个公式的证明。