单调性的判断方法
-文明的韧性
2023年2月15日发(作者：佛山市妇幼保健院)......
.s.......
函数单调性的判断或证明方法.
（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设
，且
；②作差，求
......
.s.......
；③变形（合并同类项、通分、分解因
式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断
的正负符号，当符号不确定时，应分类
讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
......
.s.......
例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，
并证明．
解：设－1 则f(x1)－f(x2)＝－ ...... .s....... ＝ ＝ ...... .s....... ∵－1 ∴x1－x20，x2＋1>0. ∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 当a0，即f(x1)>f(x2)， ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 例2.证明函数在区间 和 ...... .s....... 上是增函数；在 上为减函数。（增两端，减中间） 证明：设，则 ...... .s....... 因为，所以 , ...... .s....... 所以， 所以 所以 ...... .s....... 设 则， ...... .s....... 因为， 所以， 所以 ...... .s....... 所以 同理，可得 （2）运算性质法. ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增； 减+减=减；增-减=增，减-增=减） ...... .s....... ②若. ③当函数. ④函数二者有相反的单调性。 ...... .s....... ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。 （3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例3.求函数的单 调区间。 解： ...... .s....... 在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 ...... .s....... 减区间为. （4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数 的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合 是内层函数 ...... .s....... 的一个单调区间，则 便是原复合函数 的一个单调区间，如例4；若 ...... .s....... 不是内层函数 的一个单调区间，则需把 划分成内层函数 ...... .s....... 的若干个单调子区间，这些单调子区间便分 别是原复合函数的单调区间，如例5.） 设， ...... .s....... ， 都是单调函数，则 ...... .s....... 在 上也是单调函数，其单调性由“同增异减” 来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复 合函数为减函数。如下表： ...... .s....... 增增增 增减减 减增减 减减增 例4.求函数的单调区间 解原函数是由外层函数和内层函数 ...... .s....... 复合而成的； 易知是外层函数 的单调增区间； ...... .s....... 令，解得 的取值范围为 ； ...... .s....... 由于是内层函数 的一个单调减区间，于是 便是原函数的一个单调区间； ...... .s....... 根据复合函数“同增异减”的复合原则知， 是原函数的单调减区间。 例5求函数的单调区间. ...... .s....... 解原函数是由外层函数和内层函数 复合而成的； 易知和 ...... .s....... 都是外层函数 的单调减区间； 令，解得 ...... .s....... 的取值范围为 ； 结合二次函数的图象可知不是内 ...... .s....... 层函数的一个单调区间，但可以把区间 划分成内层函数的两个单调子区间 和 ...... .s....... ，其中 是其单调减区间， 是其单调增区间； ...... .s....... 于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知， 是原函数的单调增区间， 是原函数的单调减区间。 ...... .s....... 同理，令，可求得 是原函数的单调增区间， 是原函数的单调减区间。 ...... .s....... 综上可知，原函数的单调增区间是和 ，单调减区间是 和 ...... .s....... . （5）含参数函数的单调性问题. 例.设（先分离常数，即对函数的解析式 进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.） ...... .s....... 解：由题意得原函数的定义域为 ， 当上为减函数； ...... .s....... 当上为增函数。 （6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的 函数问题） 常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进 行证明。 例１已知函数对任意实数 ...... .s....... ， 均有 ．且当 ...... .s....... ＞０时， ＞０，试判断 的单调性，并说明理由. ...... .s....... 解析：设，且 ，则 － ...... .s....... ＞０，故 ＞０． ∴－ ...... .s....... ＝ － ...... .s....... ＝＋ － ...... .s....... ＝＞０． ∴＜ ．故 ...... .s....... 在（－ ，＋ ）上为增函数． ...... .s....... 例2.设f(x)定义于实数集上，当时， ，且对于任意实数x、y，有 ...... .s....... ，求证： 在R上为增函数。 证明： ...... .s....... 在中取 ，得 ...... .s....... 若，令 ，则 ...... .s....... ，与 矛盾 ...... .s....... 所以，即有 ...... .s....... 当时， ； ...... .s....... 当时， 而 ...... .s....... 所以 ...... .s....... 当时， ...... .s....... 所以对任意，恒有 ...... .s....... 设，则 所以 ...... .s....... 所以在R上为增函数。