分式方程怎么解

分式方程怎么解

-爱的教育感悟

2023年2月15日发(作者：cad图例大全)

1

9.3分式方程（1）

一、内容和内容解析

1．内容

分式方程的概念和解法

2．内容解析

分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸与发展，它是初中阶段是要

学的又一类方程．

解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程．在去分母时方程两边

所乘的最简公分母可能为零，因而所解整式方程的解不一定是分式方程的解，所以，检验整

式方程的解是不是分式方程的解是解分式方程中必不可少的一步．

基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：分式方程的解法．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）理解分式方程的概念．

（2）理解并掌握解分式方程的一般步骤，并学会用去分母的方法解可化为一元一次方

程的简单分式方程．

（3）了解检验在解分式方程中的必要性．

2．目标解析

目标（1）是让学生理解分式方程的概念，掌握分式方程的特征——分母中含有未知数，

并学会判断一个方程是否为分式方程．

目标（2）是让学生知道解分式方程的一般步骤是去分母、解整式方程、检验、写出分

式方程的解；熟悉解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程，把未知

问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想；让学生知道去分母的关键是找各分母的最

简公分母；目前只要求学生掌握去分母后能转化为一元一次方程的分式方程的解法．

目标（3）是让学生知道在解分式方程去分母时两边同乘了最简公分母可能会等于零，

会使原分式方程无意义，因而需要检验．

三、教学问题诊断分析

学生在只学习一元一次方程及二元一次方程等简单整式方程的基础上学习分式方程，在

用去分母将分式方程转化为整式方程，通过先求出整式方程的解进而检验是否为分式方程的

解，为什么有些整式方程的解是原分式方程的解，而有一些不是原分式方程的解，学生一时

难以接受，更不明白为什么会出现有些分式方程无解的情况．

基于以上分析，本课的教学难点是：了解去分母解分式方程检验的必要性．

四、教学过程设计

（一）复习与回顾

1.什么是一元一次房？

2

2.解一元一次方程的步骤？

（二）创设情境，引入新课

问题1（前言）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行

90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少?

师生活动：先一起回顾行程问题中几个基本量之间的关系，然后，学生可以通过小组

讨论用列方程的方法求出江水的流速，老师适当地引导并告诉学生暂只列方程不解，最后教

师多媒体课件显示．

设计意图：让学生感受生活中到处存在数学，激发学生的学习热情．

问题2观察所列方程

vv



30

60

30

90

与以前学过的方程有什么不同的特征？

师生活动：老师再在黑板上写几个与刚才具有同样特征的方程及几个整式方程，让学

生讨论分组，再让他们说说分组的依据．

教师追问：能否将分组后的方程命名呢？

师生活动：老师板书课题，让学生试着说出分式方程概念．

设计意图：引导学生独立思考，通过学生的分类活动，可以进一步巩固已学整式方程

的概念，并让学生了解分式方程与整式方程的区别，使学生体会到数学知识之间的联系．

（三）自主学习，感知新知

问题3你能否完整地说出分式方程的概念，并说出与整式方程的区别．

师生活动：让学生试着说出概念，及与整式方程的区别．老师作补充后再在黑板上板

书并要求学生将区别记在书本中。

设计意图：让学生在说出概念及区别的过程中进一步体会分式方程的主要特征，就是

分母含有未知数．

问题4下列方程中哪些是分式方程？哪些是整式方程？

(1)

32

2xx





(2)1

54



yx

(3)

xx

3

2

1





(4)2

1



x

x(5)

3

2xx







(6)1

)1(





x

xx

(7)3

2

1







x

x(8)12

5

3





x

x

师生活动：老师出示题，学生思考并回答．

设计意图：通过让学生识别具体的方程是整式方程还是分式方程，进一步巩固分式方

程的概念和特征，使学生能进一步理解整式方程与分式方程的区别．

教师追问：你能写出一个分式方程吗？

师生活动：一些学生在黑板上写出方程其他学生判断写得是否正确，老师稍作指导．

设计意图：通过让学生自己写出方程，学生自己判断，进一步巩固对分式概念的理解

及识别特征．

（四）细心引导，探究新知

问题5我们已经学过了一元一次方程等整式方程的解法，请你说出一元一次方程解法

3

的一般步骤及每一步的依据，并思考什么是分式方程的解？你会用类比解一元一次方程的方

法解分式方程

xx

3

2

1





吗？

师生活动：教师引导学生回顾一元一次方程的解及解法的基础上，来探究分式方程的解

和分式方程的解法；然后让学生代表发言，老师将其说的解法写在黑板上．

设计意图：让学生在已有解一元一次方程经验的基础上，尝试着解分式方程，让学生

体念类比的思想．

问题6刚才的解分式方程的过程与原来解一元一次方程的过程有什么共同特点吗？

师生活动：教师引导学生讨论，学生回答后，师总结，这两种解法都是先去分母．也就

是说解分式方程是通过去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，求出分式方程的

解．

教师追问：怎样去分母？方程两边乘以什么样的式子才能把每一分母都约去呢？去分母

的依据又是什么呢？

师生活动：老师引导学生思考、讨论，再由学生代表发言．师小结并板出，去分母时，

方程两边都乘以各分母的最简公分母，去分母的依据是等式性质2．

设计意图：通过讨论探究，让学生了解解分式方程的基本思路是利用去分母将分式方程

转化为整式方程，并知道解分式方程的关键是去分母

问题7再试着解分式方程

vv



30

60

30

90

．

师生活动：学生练习，老师巡视指导，一生板演，再分析．

教师追问：你得到的解6v是分式方程的解吗？

师生活动：师生一起回顾原来检验方程解的方法，学生动手书写检验过程．

设计意图：让学生初步体验解分式方程的关键是去分母，让学生知道检验是否为分式方

程解的一般方法．

练习：见书本P150练习．

问题8解分式方程

25

10

5

1

2





x

x

．

师生活动：教师写出方程，学生先独立思考并按上面的步骤解此方程，并让一学生板演．

学生解得去分母后整式方程的解是5x．此时，有学生发现当5x时分式方程的分母都

为零，也就是分式方程两边都没有意义，但学生不知为什么？

设计意图：让学生再次体验怎样去分母，去分母时方程两边都乘以各分母的最简公分母，

让学生进一步掌握怎样找最简公分母．

教师追问：如何检验5x是分式方程

25

10

5

1

2





x

x

的解呢？

师生活动：学生先独立思考，然后讨论，最后发现：5x是原分式方程转化为整式方

程后的解，因为5x时原分式方程的分母为零，因此，5x不是原分式方程的解．

设计意图：让学生知道，整式方程的解不一定是原分式方程的解．

4

教师追问：上面两个问题中，为什么分式方程

vv



30

60

30

90

去分母后所得整式方程

)30(60)30(90vv的解6v是分式方程

vv



30

60

30

90

的解，而

25

10

5

1

2





x

x

去分母后所得整式方程的解5x不是分式方程

25

10

5

1

2





x

x

的解？

师生活动：教师根据上面两个方程的解法过程提出以上问题，让学生讨论，代表发言，

分析原因，最后，老师小结强调．解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式

子（最简公分母），由于这个最简公分母含有未知数，有可能会等于零，因而就会出现分母

为零的现象，也就使分式方程无意义，分式方程无解．

设计意图：让学生了解产生使原分式的分母为零的整式方程解的原因，让学生了解在解

分式方程时检验的必要性．

教师追问：如何检验所解整式方程的解是不是原分式方程的解呢？

师生活动：学生思考并回答，教师小结并板书，告诉学生一般只需代入最简公分母检验

即可，若最简公分母为零，这个解就不是原方程的解；若最简公分母不为零这个解就是原方

程的解．

让学生从解题过程中了解检验的必要性和如何检验．

问题9回顾以上分式方程的解题过程，你能否概括出解分式方程的一般步骤及解方程的

注意点？

师生活动：学生思考并回答，教师小结并板书，解分式的基本思路是将分式方程转化为

整式方程，一般步骤为去分母，解整式方程，检验，其中去分母是关键，检验是必要一步．

设计意图：让学生在解具体的分式方程后概括得出解题思路及一般步骤，学生体会化归

的思想和由特殊到一般的思想方法．

（五）分析例题，巩固新知

问题10解方程(1)

xx

3

3

2





(2)

)2)(1(

3

1

1



xxx

x

师生活动：教师先让学生根据解分式方程的一般步骤先独立解题，展示、订正，共同分

析错误的原因．

设计意图：规范解分式方程的步骤及格式，加深对分式解法的认识．

练习：书本P107练习

师生活动：学生练习，老师巡视、指导。

设计意图：进一步规范解分式方程的步骤及格式，进一步加深对分式方程解法的认识．

（六）归纳小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程就注意什么？

设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——分式方程的

5

解法．

（七）布置作业

同步练习9.3（一）

五、目标检测设计

1．下列方程中是分式方程的有________________（填序号）

①

13

1





x

x

x

②

35

4

2

1yx





③

4

12xx







④1

2

1

3

5



yx

⑤yy63

设计意图：考查学生对分式方程的概念的理解情况。

2．分式方程

xxxx



22

24

的最简公分母是_________________．

设计意图：考查学生如何确定最简公分母．

3．已知分式方程

1

1

3





x

x

x

x

解为（）

A.1xB.1xC.3xD.3x

设计意图：考查对分式方程解的理解．

4．解下列分式方程

（1）

21

x32x





（2）

2

1

242

3







x

x

x

（3）

设计意图：考查学生对解分式方程的解法的掌握情况．

参考答案：1．①④2．)1)(1(xxx3．D

4．（1）1x（2）

3

5

x（3）无解

2

2

4

16

2

2

2













x

x

xx

x