三角函数的性质
-食物金字塔的结构图
2023年2月15日发(作者：庄奴)1
三角函数的图象与性质
教学目标
1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它
研究复合函数的性质．
2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、
3．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象
的变化．
重点难点
重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图
象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题．
难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到
四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度．
教学过程
三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别
是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图
象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数
所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻．
一、三角函数性质的分析
1．三角函数的定义域
这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角．
函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需
要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角．
(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同．
例1求下列函数的定义域：
2
π](k∈Z)．
形使函数定义域扩大．
的某些区间与-3≤x≤3的交集不空，这些区间可以通过k取特殊值得到．注
意不要遗漏．
3
(3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)．
4
5
是[]
所以选C．
2．三角函数的值域
(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、
|secx|≥1．
(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，
还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．
常用的一些函数的值域要熟记．
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③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)．
例4求下列函数的值域：
(2)y=3cos2x+4sinx
①x∈R；
④x是三有形的一个内角．
(3)y=cosx(sinx+cosx)；
(5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x)．
若把上式中的sinx换成cosx，解法、答案均与上面相同．
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sinx=0时，ymax=3，所以y∈[-4，3]；
(5)解法一将cos(50°+x)变为sin(40°-x)，和差化积得
y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°，2cos10°]．
解法二用正弦、余弦的两角和与差的公式展开，得
y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)
=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx
=(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx
=2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx
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=2cos10°·sin(30°-x)∈[-2cos10°，2cos10°]．
评述以上是求三角函数值域的几种基本情况，它们的共同点在于，经过
三角变换，都要转化为四种基本三角函数的值域．
求tanβ的最大值．
解α为锐角，tanα＞0，所以
3．三角函数的周期性
(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：
①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成
立时，非零常数T才是f(x)的周期．
②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．
因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)
是y=sinx的周期，最小正周期是2π．
同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．
因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是
y=tanx的周期，最小正周期是π．
同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．
(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用
①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增
或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．
②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．
③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图
象即可．
例6求下列函数的周期：
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上式对定义域中任一个x成立，所以T=π；
4．三角函数的奇偶性，单调性
研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．
[]
A．②B．①②C．②③D．①②③
原点不对称，所以函数①既非奇函数又非偶函数；②因为f(-x)=-f(x)，所
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但是周期函数，T=2π．因此选C．
评述在判定函数是奇函数或是偶函数时，一定要注意函数的定义域，一
个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．因此对①，不能根
据f(-x)+f(x)=0就判定①为奇函数．
原来的函数既不是奇函数，也不是偶函数．因此在研究函数性质时，若将函数变
形，必须保持变形后的函数与原来的函数是同一个函数，
例8给出4个式子：①sin2＞cos2＞tan2；②sin2＞sin3＞sin4；③tan1
＞sin1＞cos1；④cos1＞cos2＞cos3．正确的序号是______．
而(0，π)是y=cosx的递减区间，所以④正确．
例9函数y=-cosx-sin2x在[-π，π)的递增区间是______．
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评述研究函数的性质首先要注意函数的定义域．
[]
A．是增函数B．是减函数
C．可以取得最大值MD．可以取得最小值-M
5．三角函数的图象
(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期
的图象．
(2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx图象的对称中心分别为
∈Z)的直线．
例12画出下列函数在一个周期的图象：
解(1)T=π．
如图10．
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(2)T=2π．如图11．
[]
最大或最
小值的即是，所以选A．
(4)三角函数图象的平移变换，伸缩变换．
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一个周期的
图象，则图象的解析式为______．
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还可以这样研究：
二、综合题分析
例17方程sinx=log20x根的个数是______．
分析在同一坐标系中作出y=sinx、y=log
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x的图象．
(2π，4π)，(4π，6π)中，两图象分别有1个、2个、2个交点，因此方
程根的个数为5个．
例18已知函数y=sinx·cosx+sinx+cosx，求y的最大、最小值及取
得最大、最小值时的x值．
解令sinx+cosx=t．
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(k∈Z)时，ymin=-1；
求：(1)函数的取值范围；(2)函数的递减区间．
解sin3x·sin3x+cos3x·cos
3
x
实数．
π](k∈Z)．
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的最小正周期．
有一动点P，过P引平行于OB的直线交OA于Q，求△POQ面积的最大值及
此时P点的位置．
解如图13．
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设∠POB=θ∈(0°，120°)，则∠QPO=θ．
能力训练
2．设θ是第二象限角，则必有[]
[]
A．y=tanxB．y=cos2x
4．函数f(cosC)=cos2C-3cosC，则f(sinC)的值域是[]
5．(1)函数y=cos(tanx)的定义域是______，值域是______；
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(7)设a=tan48°+cot48°，b=sin48°+cos48°，c=tan48°+cos48°，
d=cot48°+sin48°．将a，b，c，d从小到大排列的结果是______．
6．将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标扩大两倍，纵坐标不变，然
的图象
完全相同，则函数y=f(x)的表达式是______．
7．(1)已知sinα+sinβ=1，则cosα+cosβ的取值范围是______；
(2)已知3sin2α+2sin2β=2sinα，则sin2α+sin2β的取值范围是______．
8．求下列函数的周期：
(1)y=cot2x-cotx；
(3)y=cos3x·cos3x-sin3x·sin3x．
9．求函数y=sin4x+cos
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x-2cos2x的周期、最大值和最小值．
11．设f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)，求使f(x)为偶函数的充分必要条件．
数a的取值范围．
实数m的取值范围．
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答案提示
1．B2．C3．D4．B
(3)奇函数，R
(7)d-b=cot48°-cos48°=tan42°-sin42°＞0，所以d＞b；c-
7．(1)设cosα+cosβ=x，则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α
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3]
11．sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)cos(x+
θ)-cos(x-θ)=sin(x+θ)+sin(x-θ)-2sinx·sinθ=2sinx·cosθ
-sinθ=cosθ
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14．设sinθ=t∈[0，1]，题目变成t2-2mt+2m+1＞0对t∈[0，1]
设计说明
三角函数的每一条性质都要求记忆和理解，每一个函数的图象也要求熟练掌
握，因此在复习时，首先以一些小题为主，使学生把每一条性质都弄清楚．由于
在研究性质时必然要涉及三角变换，而这一点对学生来说是难点，所以在复习时
不要由于三角变换削弱了性质的复习．
在复习这部分内容时，应抓住核心的两点：三角函数的图象和三角函数的周
期性．