最小正周期的公式

最小正周期的公式

-房产税计税依据

２０１６年１１月 西部皮革 文化与探索

最小公倍数法求最小正周期适用定理探索

陈洁 ，韩光松

（１．湖北工业大学理学院，湖北武汉４３００６８；２．华中科技大学，湖北武汉４３００７４）

摘要：本文主要针对最小公倍数法求和函数周期时存在的不足，基于周期函数的傅里叶级数展开式，分析了最小公倍数法

求最小正周期时的不足，给出了最小公倍数法的适用定理；然后，从频谱数的角度给出了两个推论，并讨论了三种正余弦函数的

周期。

关键词：最小公倍数法；最小正周期；傅里叶级数

中图分类号：Ｇ６２３．５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１—１６０２（２０１６）２２—０２２９—０２

１ 引言

对于函数＿厂（ ），如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域

内的每一个值时，都有厂（ ＋Ｔ）＝．厂（ ），那么函数．厂（ ）叫做周期函

数，非零常数 叫做这个函数的周期。对于一个周期函数，（ ），如

果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就

叫做厂（ ）的最小正周期。常见的求解函数最小正周期的方法有定义

法、公式法、图像法、检验法、求导法…、积分法 等。

当函数为多个函数和的形式时，最小公倍数法已经被大家广泛

地采用，然而，文献［３—５］通过反例指出了最小公倍数法求出的

周期不一定是最小正周期。到目前为止，还没有资料清楚地阐述最

小公倍数法的适用条件。本文通过周期函数的傅里叶级数展开式详

细地讨论了最小公倍数法的适用条件，给出了两个判据。

２三个引理

引理１ 设厂（ ）和ｇ（ ）为定义在实数域上的任意两个连续且

非常值的周期函数， 和 分别为它们的最小正周期，则．厂（ ）＋

ｇ（ｘ）为周期函数的充要条件是 ／ｒ２为有理数。

引理２…设 ≠（ｃＪ （ ≠Ｊ），且 为有理数，则函数

。 ｍｉ

∞ ＾ ∑ａｉｓｉｎ（￣ ＋ ）（ｎ 不全为ｏ）的最小正周期为ｆ （ｉ＝１，２，

…）的最小公倍数。

３最小公倍数法适用定理

三角函数ｙ＝Ａｓｉｎ（∞ ＋ ）＋ 的周期仅与角频率ｃｃ，有关，下面

的讨论不考虑振幅Ａ、初相‘Ｄ和参数 。另外，假设讨论的正余弦

函数的角频率为有理数，根据引理１，和函数的周期存在。

定理ｌ设周期函数 （ ）、 （ ）的傅里叶级数展开式中各正余

弦函数的周期集合分别为Ａ、Ｂ， （ ）与 （ ）傅里叶级数展开式的

和式中各正余弦函数周期的集合为ｃ，记Ｇ｛・｝表示集合的最小公

倍数，则Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ｝≥Ｇ｛Ｃ｝

当且仅当等号成立时最小公倍数法适用于求和函数的周期。

证明：设周期函数 （ ）和． （ ）满足收敛定理，其周期分别为

Ｔ，＝２１，和 ＝２１ ，其傅里叶级数展开式为

）＝孚＋ （ 。ｓ ＋ｂ．ｓｉｎ ） ）

（ 。ｓ ＋ｄ．ｓｉｎ ）

根据引理２

ＣｌＡ ｕ曰｝＝Ｇ ｔ ｌ，Ｔ２１２

，丁

２ｌｌ

，

２１２

，…）＝ｃｌ２ｚ１，２ｚ ｝＝Ｇ｛ＴＩ， ｝

求周期函数 （ ）与 （ ）的和时，分下面两种情况：

（１）傅里叶级数没有出现“角频率消失”现象，根据引理２

作者简介：陈洁（１９７６一），女，湖北工业大学理学院，博士，讲师。

韩光松（１９８４一），男，华中科技大学，博士。

（ ）＋ （ ）的周期为

ｃｌ ｃｌ＝Ｇ』＿

ｔ ｌ，Ｔ

２１２

， ，

２１２

，

…）＝Ｇ｛２２，，２１ ｝＝Ｇ ， ｝

故Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ｝＝Ｇ｛Ｃ｝，因此，可以使用最小公倍数法。

（２）傅里叶级数出现“角频率消失”现象，不妨设存在Ｐ 和ｑ．

（ｉ＝１，２，…，ｒ），使得

。ｐ ＋ ｇ

．

：０，ｂＰ

．

＋ｄｑ ＝０，ｇ Ｚｌ Ｐ Ｚ２

则 （ ）＋ （ ）的傅里叶级数展开式中角频率 （ｉ＝１，２，

ｌ

ｒ’， ，， ，１、

…

，，）消失，记集合Ｄ＝｛ ， ，…， ｝，根据引理２， （ ）

Ｐ１ Ｐ２ Ｐ

（ ）的周期为

Ｇ｛Ｃ｝＝Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ—Ｄ｝≤Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ｝＝Ｇ｛Ｔ ， ｝

因此，使用最小公倍数法求得的周期可能大于实际的最小正周

期，当且仅当等号成立时最小公倍数法适用于求和函数的周期。

适用定理需要求周期函数的傅里叶级数，应用不是很方便，为

此，根据周期函数傅里叶级数展开式中角频率数量的不同，将周期

函数分为无限频周期函数和有限频周期函数，基于上面的适用定

理，给出下面两个推论。

推论１设 （ ）和 （ ）均为无限频或有限频周期函数， （ ）＋

（ ）可能出现“角频率消失”，导致Ｇ｛Ｃ｝＜Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ｝，不能使

用最小公倍数法。

推论２设 （ ）为无限频周期函数， （ ）为有限频周期函数，

即使 （ ）＋ （ ）时出现“角频率消失”，由于该现象仅发生在有

限的角频率点，仍有Ｃ（Ａ ｕ Ｂ）＝Ｇ（Ｃ），可以使用最小公倍数法。

为方便大家使用最小公倍数法适用定理，给出常见的无限频周

期函数和有限频周期函数。

无限频周期函数

ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ（２ ＋１） （ｎ＝１，２，３，…），ＣＯ８ ：

∑ｋｌｃｏｓ（２ｉ＋１） （ｎ＝１，２ ３・・），

ｉ＝０

－ｓｉ一－＝ ２

一 砉 ｃｏｓ（２ｍ，一ｃ －＝ ２一 耋

ｃｏｓ ） ．

有限频周期函数

∑ｋ￣ｓｉｎ（２ｉ＋１） （ｎ＝０，１ ２－・），ｃ０ｓ ” ＝

ｉ＝０

ｙ ｋ，ｏ０ｓ（２ｉ＋１）ｚ（ｎ：０，１，２，…），

ｉ：０

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文化与探索 西部皮革 ２０１６年１１月

ｓｉ ＝ｋ。 （一１）ｉ ｌｃ０ｓ（２ ） （ ：１，２ ３

。＋∑ｋ／ｃｏｓ（２ ） （ｎ＝１，２，３，…）

４正余弦函数的周期

基于最小公倍数法适用定理，下面讨论三种常用正余弦函数的

周期。

（１）复合函数的周期

设＿厂（ ）为连续奇函数，则，（ｓｉｎｗｘ）或＿厂（ＣＯＳ￣ＯＸ）的周期为Ｔ＝

２７ｒ

；，（ｓｉｎ￣ｘ）＋，（ｃｏｓｍｏｓ）的周期为Ｔ＝ 。

（Ｕ“Ｊ

设＿厂（ ）为连续偶函数，则，（ｓｉｎｗｘ）或＿厂（ＣＯＳＯ）Ｘ）的周期为Ｔ＝

卫；厂（ｓｉｎ￣ｘ）＋，（Ｃ０Ｓ０）２：）的周期为Ｔ＝ 。

“， 二ＣＵ

结论：当，（ ）为连续偶函数时，函数＿厂（ｓｉｎｗｘ）＋＿厂（ＣＯＳＯ）Ｘ）中存

在“角频率消失”。

（２）求，（咒）＝ｓｉｎｗ１ｘｓｉｎｔｏ２ 、ｓｉｎｔｏ】 ｃｏｓ∞２ 或ＣＯＳＷｌＸＣＯＳＯ）２ 的

周期，其中 １＞０和０９２＞０。

由积化和差公式有

１ ｓｉｎｗ１ｘｓｉｎｔｏ２ ＝一—｝［ｃｏｓ（∞】 ＋∞２） 一 ＣＯＳ（ １ 一 ２） ］，

１ ｓｉｎｗｌＸＣＯＳ￣２ ＝—｝［ｓｉｎ（ １＋∞２） ＋ｓｉｎ（０９１一 ２） ］，ｃ０ｓ∞ｌ ｃｏｓ ２

１

＝÷［ｃｏｓ（∞ｌ＋∞２） ＋ｃｏｓ（ ｌ—ｃｃＪ２） ］

二

由最小公倍数法有下面的结论：

结论：，（ ）＝ｓｉｎｔｏｌｘｓｉｎｔｏ２ 、ｓｉｎｗｌＸＣＯＳ￣２ 或ｃｏｓ∞ｌＮＣＯＳ￣２ 的周

期为『＿＿— 和— Ｌ的最小公倍数。

Ｉ １一 ，１ ０９１十０９，

舢— 止．址．址— 止．址．ｓ止 ．址 —Ｓ屯．Ｓ ．Ｓ屯—喜屯

（上接第２２３页）

４儒家伦理对当今时代的社会发展与治理

现今我国倡导以德治国，加强精神文明建设，我国大力发展教

育事业，加强国民文化素质建设，无论是九年义务制教育，还是大

学扩招的政策，都是在加强素质道德和更好地进行社会规范的治理

能力。先秦儒家提出了民贵与圣王之道，正是民主政治的主张，孑Ｌ

子提出为学之道，齐之以礼，无不对今天的社会发展具有借鉴意

义，且当今我国所做的事情无不有着其倾向的一面，因为“传统是

秩序的保证，是文明质量的保证。”。孔子作为教育家提出为学思想

正是有学才有智与善，敬民养民是治理国家的社会规范。以礼制之

亦是社会伦理规范，当然我并不是说生硬地用周礼，而是在礼的深

层含义上理解，在现今时代下形成礼，既是文明、礼貌、公共精

神。用现代的“礼”去规范治理社会，即做到以德治国。对于今

天，就要加强国家的教育引导从而做到有教无类，人人皆有教育，

则人人均知道善和不善。孟子之道并没有被现代所摒弃，反而生机

勃勃地发挥着作用，以新时代的形式发扬着主流的文明，与人为

善，与朋友信，倡导诚信，无不显现着与今天主流价值的对应。市

场经济要有秩序，必有信；社会秩序的安稳，必有礼与善；文化素

质提高能够顺应全球科技化的浪潮，必有教育，教则为学，任重而

道远：处处都映着先秦儒家伦理的影子。国家的社会发展是在与时

俱进下，将“传统叙述与现代诠释都是我们料理传统文化（包括道

德文化）的基本方式，都是我们重访历史的有效途径，关键在于如

何运用它们，在于运用的目的和立场之有效合理性。” 以现代化的

（３）求ｌ ｓｉｎ￣ｏｘ ｌ、ｓｉｎ （￡， 、ｓｉｎ十ｎ肼、ｃ０ｓ ∞ 和ｃ０ｓ十∞ 中的某几

项乘积的周期，其中ｏ９＞０，ｋ为正整数。

这种情况较为复杂，为简单起见，这里通过一个例题进行

说明。

例１求＿厂（ ）＝ｓｉｎ ３ｘｃｏｓ５ｘ的最小正周期。

解存在常数ｃｆ（ｉ＝０，１，２），使得ｓｉｎ ３

Ｃ２ｃｏｓｌ２ｘ，于是

Ｉ厂（ ）＝ＣＯｃｏｓＳｘ＋ｃｌｃｏｓ６ｘｃｏｓ５ｘ＋Ｃ２ｃｏｓｌ２ｘｃｏｓ５ｘ

将，（ ）积化和差后的角频率依次为 ＝５，１，１１，７，１７，不可能

存在“角频率消失”现象，因此，可以使用最小公倍数法，，（ ）＝

ｓｉｎ４３ ｃ。ｓ５ 的周期为 ，Ｔ２－／７＂

，

２７＂／＂

，

２ ７７

， 的最小公倍数，Ｓ Ｔ＝２ 。

参考文献：

［１］ 李世杰．周期函数和周期数列［Ｍ］．浙江大学出版社，

２００８，７．

［２］ 李和逊．用定积分给出函数周期的一种方法［Ｊ］．重庆职业

技术学院学报，２００２，１．

［３］ 孙亦器．关于两周期函数之和的最小正周期问题［Ｊ］．中学

数学月刊，２００５，２．

［４］ 韦存军，封云．用最小公倍数法求周期函数的周期［Ｊ］．中

学数学杂志，２００６，１．

［５］ 朱威军．从两道错题谈周期函数［Ｊ］．科技资讯．

２０１１，１７．

［６］ 张严选．论任二周期函数和差积商的周期性［Ｊ］．江苏广播

电视大学学报，１９９７，２．

．址 ；止 ．Ｓ止 址．Ｓ —｛ Ｌ Ｓ ．ＳＩＬ—；屯．址 Ｓ ．Ｓ屯．址．Ｓ屯“ — Ｌ．址

眼光借鉴先秦时儒家伦理思想精华的主张，应用新时代下的儒家传

统伦理思想及其辅助作用，在面对社会治理规范中去解决遇到的新

问题、寻找新方法。且对于现代充满了变化的社会，希尔斯曾指出

“现代省会的大部分仍处在与那些从过去继承而来的法则相一致的、

持久的制度之中；那些用来评判世界的信仰也是时代相传的一部

分。” 所以先秦时代形成的儒家伦理对现今社会规范治理仍有指导

意义，只是以新的面貌在新时代下屹立着。

注释：

①《论语》里仁篇

② 《论语》里仁篇

③ 《论语》为政篇

④ 《论语》雍也

⑤ 《苟子 性恶》

⑥亚里士多德．形而上学［Ｍ］．黄颖译．——北京：时事出版

社，２０１４．９：１０８．

⑦Ｅ希尔斯．论传统［Ｍ］．傅铿，吕乐译．上海：上海人民出版

社．１９９１：２５．

⑧万俊人．寻求普世伦理［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００６．

９：ｌ１７．

⑨Ｅ希尔斯．论传统［Ｍ］．傅铿，吕乐译．上海：上海人民出版

社，１９９１：２．

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