复数的模怎么算
-shlr
2023年2月15日发(作者：正确的拼音)复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.
二、学习要求:
1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.
2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.
3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.
4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.
5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.
三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.
四、学习建议:
1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得
有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复
平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在
需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.
代数形式r=三角形式
Z=a+bi(a,b∈R)Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数
Z的一个辐角，不一定是辐角主值.
五、基础知识
1）复数的三角形式
①定义：复数z=a+bi（a,b∈R）表示成r（cosθ+isinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cosθ
+isinθ）
其中θ为复数z的辐角。
②非零复数z辐角θ的多值性。
始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角以ox轴正半轴为
因此复数z的辐角是θ+2k（k∈z）
③辐角主值
表示法；用argz表示复数z的辐角主值。
2）的角θ叫辐角主值
定义：适合[0，
唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模是唯一的。
⑤z=0时，其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）
这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮
美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）
复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这
个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
2）复数的向量表示
在复平面内与复数z
1
、z
2
对应的点分别为z
1
、z
2
（如图）
何量
何量
何量
与复数z
2
－z
1
对应的向量为
显然oz∥z
1
z
2
则argz
1
=∠xoz
1
=θ
1
argz
2
=∠xoz
2
=θ
2
argz（z
2
－z
1
）=argz=∠xoz=θ
3）复数运算的几何意义
主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化
如z
1
=r
1
（cosθ
1
+isinθ
1
）z
2
=r
2
（cosθ
2
+isinθ
2
）
①乘法：z=z
1
·z
2
=r
1
·r
2
[cos(θ
1
+θ
2
)+isin(θ
1
+θ
2
)]
如图：其对应的向量分别为
显然积对应的辐角是θ
1
+θ
2
若θ
2
>0则由逆时针旋转θ
2
角模变为的r
2
倍所得向量便是积z
1
·z
2
=z的向量。
若θ
2
<0则由向量顺时针旋转角模变为r
1
·r
2
所得向量便是积z
1
·z
2
=z的向量。
为此，若已知复数z
1
的辐角为α，z
2
的辐角为β求α+β时便可求出z
1
·z
2
=z
a
z对应的辐角就是α+β
这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
②除法（其中z
2
≠0）
除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：
。
。
例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:
(1)Z
1
=-2(cosθ+isinθ)(2)Z
2
=cosθ-isinθ(3)Z
3
=-sinθ+icosθ
(4)Z
4
=-sinθ-icosθ(5)Z
5
=cos60°+isin30°
分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数
Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称
为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.
解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z
1
=Z(-cosθ-isinθ)
复平面上Z
1
(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，
因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z
1
=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]
（2）由“加号连”知，不是三角形式
复平面上点Z
2
(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式
“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.
∴Z
2
=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z
2
=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.
（3）由“余弦前”知，不是三角形式
复平面上点Z
3
(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式
“+θ”将θ变换到第二象限.
∴
Z
3
(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(
+θ)
同理（4）
Z
4
=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(
π-θ)
（5）
Z
5
=cos60°+isin30°=+
i=(1+i)=
·(cos
+isin)=
(cos+isin
)
小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→
定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.
解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i·sin
cos=2cos
(cos+isin
)........(1)
∵π<θ<2π∴
<<π,∴
cos<0
∴(1)式右端
=-2cos(-cos-isin
)=-2cos[cos(π+
)]+isin(π+)]
∴r=-2cos,
ArgZ=π++2kπ(k∈Z)
∵<<π
∴π<π+<2π，
∴argZ=π+.
小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为
r=2cos,argZ=或
ArgZ=
错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为
三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z
1
=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π)，Z
2
=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.
例3．将
Z=(π<θ<3π)化
为三角形式，并求其辐角主值.
分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.
解:==
==cos2θ+isin2θ
∵π<θ<3π,∴
<2θ<6π,
∴π<2θ-4π<2π，∴argZ=2θ-4π
小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其
与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，
举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ,tgθ+i,i-ctgθ等.
2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z
1
-Z
2
|的几何意义是:复平面上两点Z
1
，
Z
2
之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所
在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围内的辐角称辐角主值，记为argZ.
要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.
例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.
解:法一，数形结合
由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），
|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|Z|≤3,∴|Z|
max
=3,|Z|
min
=1,
另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知
∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈
[0,]∪[π,2π)
法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)
则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,
∴
|Z|=≤=
,
∵(x-2)2+y2≤1,∴(x-2)2≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,
∴1≤4x-3≤9,∴1≤|Z|≤3.
小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通
过分析与比较都一目了然.
例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,
求|z+6|+|z-3i|最小值.
分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决
应比较简便.
解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠
xOA=π,而
|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|
将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3,∴所求最小值
=3.
法二:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹
应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM，
∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E
为N点表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,
∴所求最小值=3.
小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方
法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.
例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.
解：∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）
得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(Z-4i)最大
值为π.
3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.
两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.
由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形，
平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.
复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运
算.
例7．若与
分别表示复数Z
1
=1+2i,
Z
2
=7+i,求∠Z
2
OZ
1
并判断ΔOZ
1
Z
2
的形状.
解:欲求∠Z
2
OZ
1
，可计算
==
==
∴∠Z
2
OZ
1
=且
=，
由余弦定理，设|OZ
1
|=k,
|OZ
2
|=2k(k>0)|Z
1
Z
2
|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos=3k2
∴|Z
1
Z
2
|=k,
而k2+(k)2=(2k)2，∴ΔOZ
1
Z
2
为有一锐角为60°的直角三角形.
小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.
例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于
l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.
解:如图，建立复平面x0y，设向量
、
对应复数分别为
x
1
+y
1
i,x
2
+y
2
i.
由对称性，|OA'|=|OA|=1,|OB'|=|OB|=8,
∴x
2
+y
2
i=(x
1
+y
1
i)8i=-8y
1
+8x
1
i
∴设抛物线方程为y2=2px(p>0)则有y
1
2=2px
1
,
y
2
2=2px
2
,
∴x
1
=,y
1
2=p2,又|OA'|=1，
∴()2+p2=1,∴
p=或-（舍）
∴抛物线方程为y2=x，直线方程
为:y=x.
小结:对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊
位置，特殊关系的图形时，尤显其效.
五、易错点
1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定.
2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.
ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π),辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.
3．复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角
形式.
4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.
六、练习
1．写出下列复数的三角形式
(1)ai(a∈R)(2)tgθ+i(<θ<π）(3)
-（sinθ-icosθ)
2．设
Z=(-3+3i)n,n∈
N，当Z∈R时，n为何值？
3．在复平面上A，B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α，判断ΔAOB形状，并证明
S
ΔAOB
=|d|2.
参考答案:
1．（1）ai=
（2）tgθ+i(<θ<π）
=-[cos(π-θ)+isin
(π-θ)]
（3）
-(sinθ-icosθ)=[c
os(+θ)+isin(+θ)]
2．n为4的正整数倍
3．法一:∵α≠0，β=（1+i)α
∴
=1+i=(cos
+isin),∴∠
AOB=,
∵分别表示复数α，β-α，
由β-α=αi，得
=i=cos+isin
，
∴∠OAB=90°,∴ΔAOB为等腰直角三角形.
法二:∵||=|α|,
||=|β-α|=|αi|=|α|,∴
||=||
又
||=|β|=|(1+i)α|=|α
|,||2+||2=|α|2+|α|2=
2|α|2=||2
∴ΔAOB为等腰直角三角形，∴
S
ΔAOB
=||·|
|=|α|2.
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选择题
1．若复数z=(a+i)2的辐角是，则实数a的值是（）
A、1B、-1C、-D、
-
2．已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a，b满足|a-b|=3，则p的值是（）
A、-2B、-C、
D、1
3．设π<θ<，则复数
的辐角主值为（）
A、2π-3θB、3θ-2πC、3θD、3θ-π
4．复数
cos+isin经过n
次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于（）
A、3B、12C、6k-1(k∈Z)D、6k+1(k∈Z)
5．z为复数，
()|z-3|=()|z+3|(
)-1的图形是（）
A、直线B、半实轴长为1的双曲线
C、焦点在x轴，半实轴长为的双曲线右支D、
不能确定
答案与解析
答案：1、B2、C3、B4、C5、C
解析：
1．∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai，argz=，∴
，∴a=-1，本题选B.
2．求根a，b=（Δ=1-4p<0）∵
|a-b|=||=3，
∴4p-1=9，p=，故本题应选C.
3．==cos3
θ+isin3θ.
∵π<θ<，∴3π<3θ
<，∴π<3θ-2π
<，故本题应选B.
4．由题意，得
(cos+isin)n=co
s+isin=cos
-isin
由复数相等的定义，得
解得=2kπ
-，(k∈Z)，∴n=6k-1.故本题应选C.
5．依题意，有|z-3|=|z+3|-1，∴|z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义，此方程表示焦点(±3，0)，2a=1，
a=的双曲线右支，故本题应选C.
复数三角形式的运算·疑难问题解析
1．复数的模与辐角：
(1)复数模的性质：｜z
1
·z
2
｜=｜z
1
｜·｜z
2
｜
(2)辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和．
商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
一个复数n次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的n倍．
注意：(1)辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点．如下面两个问题：
若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求α+β的值．(α+β∈(3π，4π))
若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求arg[(2-i)(3-i)]的值．
(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差.
2．关于数的开方
(1)复数的开方法则：r(cosθ+isinθ)的n次方根是
几何意义：
设对应
于复平面上的点，则有：
所以，复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点．
(2)复数平方根的求法．
求-3-4i的平方根．
解法一利用复数代数形式．设-3-4i的平方根为x+yi(x，y∈R)，则有
(x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由复数相等条件，得
∴-3-4i的平方根是±(1-2i)．
法二利用复数的三角形式．
3．复数集中的方程．
关于实系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c∈R，x
1
，x
2
为它的两个根)
(1)当△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根当△=b2-4ac＜0时，方程有一对共轭虚根
(4)二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
)
关于复系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c∈C，且至少有一个虚数，x
1
x
2
为它的两
个根)
(4)二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
)仍然适用．
关于二项方程的解法
形如a
n
xn+a
0
=0(a
0
，a
n
∈C且a
n
≠0)的方程叫做二项方程，任何一个二项方程都可以化成xn=b(b∈C)的形式，
因此都可以通过复数开方来求根．
可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种表示方法及其转换来解方程．
已知方程x2-4x+p=0两虚数根为α、β，且|α-β|=2求实数p的值．
解法1∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi，
β=a-bi，(a，b∈R)∴α+β=2a=4，∴a=2
又∵|α-β|=2,∴|2bi|=2得b=±1
即两根为2+i，2-i由韦达定理得：p=(2+i)(2-i)=5
法2由韦达定理可得：α+β=4，αβ=p
于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4，即|4-p|=1
又∵△=42-4p＜0p＞4，∴p-4=1，得p=5
说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别．
一等式成立．若有两个虚根则上述等式不成立．因为｜α-β｜
2≠(α-β)2．因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免出现混淆与干扰．
已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，求实数a的值．
分析已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a要注意分域讨论．
解(1)若所给方程有实根则△=(3a)2-4×2(a2-a)=a2+8a＞0，即a＜-8或a＞0
由条件得根必为1或-1，
①将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解．
(2)若所给方程有虚根则△=a2+8＜0，即-8＜a＜0
即a2-a-2=0，∴a=-1或a=2(舍)
已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实数根，求实数m．
分析求实数m的范围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数．
利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来求实数m均可以．现仅介绍一种方法．
解∵x，m∈R，方程变形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0
复数例题讲解与分析
例1．已知x,y互为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.
[思路1]：确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi或三角形式，化虚为实。
[解法1]：设x=a+bi(a,b∈R),则y=a-bi,代入原等式得：(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i.
或
或或
，
∴或
或或。
[思路2]：“x,y互为共轭”含义？→x+y∈R,xy∈R,则(x+y)2-3xyi=4-6i
.
[解法2]：∵x=，∴x+y∈R,xy∈R,∴由两复数相等可得：
，
∴由韦达定理可知：x,y同是方程：z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根，
分别解两个一元二次方程则得x,y……（略）。
例2．已知z∈C,|z|=1且z2≠-1,则复数（）
A、必为纯虚数B、是虚数但不一定是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数
[思路分析]：选择题，从结论的一般性考虑，若z=±1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷
举验证不能得出一般结论只能推演
解：[法1]设z=a+bi,a,b∈R,a2+b2=1,a≠0.
则
==
=∈R，故，应选
C。
[法2]设z=cosθ+isinθ(θ∈R,且θ≠kπ+)，
则
==
=∈R。
[法3]∵z·=|z|2,∴当|z|=1时有
z·=1,
∴
==
=∈R.
[法4]∵当|z|=1时有z·=1，
∴
==
∈R.
[法5]∵复数z为实数的充要条件是z=,
而()=,又
∵|z|=1时，=，
∴
==
，∴∈R。
[评注]：复习中，概念一定要结合意义落实到位，一方面深化理解（比如复数定义：“形如a+bi(a,b∈R)的
数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为
实；……。）
同时对一些概念的等价表达式要熟知。（比如：z=a+bi∈R
b=0(a,b∈R)
z=
z2≥0；
z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)
z+=0(z≠0)
z2<0；…….)
在面对具体问题时要有简捷意识（比如该例方法1，有同学可能会在算到
时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行），
多方理解挖掘题目立意。
例3．求使关于x的方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.
[思路分析]：根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。
解：设x
0
为方程的一个实根，则有
x
0
2+mx
0
+2+(2x
0
+m)i=0
，解得：
m=±2。
例4．设z∈C，arg(z+2)=,
arg(z-2)=,求z。
[思路分析]：常规思路，设z=a+bi,由已知列关于a,b的方程求解；数形结合思想，由题设可知z+2对应的
点A在射线OA上，∠AOX=，z-2对应
的点B应在射线OB上，
∠BOX=，z对应的点Z应在AB中点上，|AB|=4，AB//Ox轴，
∠AOB=，
故而易得：z=-1+i.
解：（略）
例5．设x,y∈R,z
1
=2-x+xi,
z
2
=y-1+(-y)i,
已知|z
1
|=|z
2
|，
arg=,(1)求
()100=?(2)设
z=,求集合A={x|x=z2k+z-2k,
k∈Z}中元素的个数。
[思路分析]：理解已知，|z
1
|=|z
2
|，
arg=含义？
→=i,即z
1
=z
2
i→两复数相等→x,y.
(1)解：∵|z
1
|=|z
2
|,∴||=1,
又arg=,
∴
=||(cos
+isin)=i,即
z
1
=z
2
i,
∴
2-x+xi=[y-1+(
-y)i]i
即，解得
x=y=+,
∴
()100=(+
i)100=(-+
i)50==-
-i.
[简评]10本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法，如果把两个已知条件割裂开来去考虑，则需要
解关于x,y的二元二次方程组，其运算肯定很麻烦；
20在计算题中对1的立方根之一：
w=-+i的特性要
熟知即w3=3=1,
==w2,1+w+w2=
0,
1++=0,关于此
点设计问题是命题经常参考的着眼点。
(2)[思路分析]：由(1)知
z=+i，z的特性：
z3=-1=3,|z|=1,
=；
z=cos+isin,
z2=w,……，z2k+z-2k可怎么理解呢？(z2)k+(z2)-k,z2k+2k,……
解[法1]：令
w=-+i，则
z2k+z-2k=wk+w-k,
∵w3=1,而k∈z,∴k=
当k=3m时，z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,
当k=3m+1时，z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w-1=w+w-1=w+=-1,
当k=3m+2时，z2k+z-2k=w3m·w2+w-3m·w-2=w2+w-2=w3·w-1+w-3·w=w-1+w=-1,
综上可知，集合A中有2个元素。