代数环

发布时间：2023-06-04 作者：admin 来源：文学

代数环

变压器损耗-出线机

2023年2月15日发(作者：陈苑淇)

第3章连续系统仿真的方法

3.1数值积分法

连续系统数值积分法，就是利用数值积分方法对广微分方程建立离散化

形式的数学模型——差分方程，并求其数值解。可以想象在数学计算机上构

造若干个数字积分器，利用这些数字积分器进行积分运算。在数字计算机上

构造数字积分器的方法就是数值积分法，因而数字机的硬件特点决定了这种

积分运算必须是离散和串行的。

把被仿真系统表示成一阶微分方程组或状态方程的形式。一阶向量微

分方程及初值为



,

YtY











Y=F

（3-1）

其中，Y为n维状态向量，F（t，Y）为n维向量函数。

设方程（3-1）在

011

,,,,

ttttt



…处的形式上的连续解为

n+1n+1

n+10

t=Yt+,(),

YFtYdtYtFtYdt

（3-2）

设

=()

YYt，令

1nnn

YYQ





（3-3）

则有：



1n+1





也就是说，

1(,)n

QFtYdt

（3-4）

如果

Y准确解()

Yt为近似值，

Q是准确积分值的近似值，则式（3-4）

就是式（3-2）的近似公式。换句话说，连续系统的数值解就转化为相邻两个

时间点上的数值积分问题。

因此，所谓数值解法，就是寻求初值问题（3-1）的真解在一系列离散

点

12n

ttt<…<…上的近似解

,,,

YYY……，相邻两个时间离散点的间隔

1nnn



h，称为计算步距或步长，通常取

hh

为定值。可见，数值积分

法的主要问题归结为对函数

(,)Fty

的数值积分问题，即如何求出该函数定积

分的近似解。为此，首先要把连续变量问题用数值积分方法转化成离散的差

分方程的初值问题，然后根据已知的初值条件

y，逐步地递推计算后续时刻

的数值解(1,2,)

yi…。所以，解初值问题的数值方法的共同特点是步进式的，

采用不同的递推算法，就出现各种不同的数值积分方法。

3.2替换法

基于数值积分的连续系统仿真方法具有成熟、计算精度比较高的优点，

但算法公式比较复杂、计算量比较大，通常只有在对速度要求不高的纯数字

仿真时使用。当进行实时仿真或在计算机控制系统中实现数字控制器的算法

时，要求计算速度快，以便能在一个采样周期内完成全部计算任务，这就需

要一些快速计算方法。

用数值积分方法在数字机上对一个连续系统进行仿真时，实际上已经进

行了离散化处理，只不过在离散化过程中每一步都用到连续系统的模型，离

散一步计算一步。那么，能否先对连续的模型进行离散化处理，得到一个“等

效”的离散化模型，以后的每一步计算都直接在这个离散化模型基础上进行，

而原来的连续数学模型不再参与计算呢？回答是肯定的。这些结构上比较简

单的离散化模型，便于在计算机上求解，不仅用于连续系统数字仿真，而且

也可用于数字控制器在计算机上实现。

替换法的基本思想是：对于给定的函数G（s），设法找到s域到z域的

的某种映射关系，它将S域的变量s映射到z平面上，由此得到与连续系统

传递函数G（s）相对应的离散传函G（z）。进而再根据G（z）由z反变换

求的系统的时域离散模型——差分方程，据此便可以进行快速求解。

根据z变换理论，s域到z域的最基本的映射关系是TsZe

或

lnsz



如

果按这一映射关系直接代入G（s），得到的G（z）是相当复杂的，不便于算

法实现，所以往往借助于Z变换的基本映射关系TsZe

或

lnsz



作一些简

化和近似处理。

3.3离散相似法

“离散相似法”——将一个连续系统进行离散化处理,然后求得与它等价的

离散模型(差分方程)的方法。

获取离散相似模型的两个途径：

（1）对传递函数作离散化处理得离散传递函数——称为“频域离散相似

模型”；

（2）基于状态方程离散化——称为“时域离散相似模型[3]”；

对连续系统进行数字仿真可以先在系统加入虚拟的采样器和保持器，如图

3-1所示，

保持器G（s）

图3-1连续系统离散化结构图

附注：图3-1所示系统的采样开关和保持器实际上是不存在的，而是为

了将(3-5)式离散化而虚构的。

然后利用Z变换的方法求出系统的脉冲传递函数，再从脉冲传递函数求

出对应于系统G(s)的差分方程。

根据图3-1,有脉冲传递函数:

()

()()()

()

GzZGsGs







（3-5）

其中Gh(s)是保持器的传递函数。若选择不同的保持器，则可得不同的

G(z)，见表3-1。

表3-1不同保持器的G(z)

假设连续系统的状态方程为:

xAxBu

（3-5）

若人为地在系统的输入端及输出端加上采样开关，同时为了使输入信号

复原为原来的信号，在输入端还要加一个保持器，如图3-2所示。

零阶保持器x=Ax+Bu

图3-2采样控制系统结构图

若对方程(3-5)式两边进行拉普拉斯变换，得：

即：()()(0)(sIAXsXBUs

以1()sIA左乘上式的两边可得：

()()(0)()()XssIAXsIABUs





（3-6）

保持器的传递函数Gh(s)脉冲传递函数G(z)

零阶：



1()zGs









一阶：



1()(1)

()

zGsTs









三角形：

(1)

TsTs



(1)()

zGs









)()()()(sBUsAXXssX0

考虑到状态转移矩阵：

()

teLsIA











（3-7）

故对(3-6)式反变换可得：

()

()(0)()

XtexeBUd











（3-8）

此为(3-5)式的连续解，由此可推导出系统的离散解。

根据上式，n及n+1两个相连的采样瞬间，有：

()

()(0)()

AkT

XkTexeBUd











（3-9）



(1)

(1)

(1)(0)()

AkT

XkTexeBUd













（3-10）

将(3-10)式减去(3-9)式后乘以ATe，得：

将(3-11)式右边积分进行变量代换，即令：

kTt

（3-12）

则得：

()

(1)()()

ATt

XkTeXkTeBUkTtdt







（3-13）

但由图3-2可知：若系统采用零阶保持器时，则两个采样点之间输入量

可看做常数，即u(nT+t)=u(nT)，这样(3-13)式可写为：



(1)

(1)

(1)()()

AkT

XkTeXkTeBUd













（3-11）

()

(1)()()

()()()()

ATATtXkTeXkTeBdtUkT

GTXkTHTUkT













式中：

()

GTe

ATt

HTeBdt









第6章计算机仿真实例

6.1连续系统仿真的离散相似法

在研究对象的数学模型时,通过模拟研究可以预测这一对象在不同的输

入向量的作用下的行为,可为模型的简化提供数据。通常通过计算机仿真技

术可以估计各种不同的控制系统,在各种干扰作用下的过渡过程,进行方案

的分析比较,为选择最好的方案提供依据[7]。例如,对于一个复杂组分的控制

系统,采用数字计算机进行模拟,可以得到各种工况下的控制系统仿真分布

曲线,为正确选择仿真方法及路线提供可靠依据,并可以预测控制系统的动

态响应效果,所以在自动控制系统的设计、分析和研究中,计算机仿真技术是

一有效的手段。

控制系统方框图如图6-1所示，分析k=1,2时的系统的动态响应，（饱和

非线性环节斜率为1），

)(1.25)(ttR

。

图6-1控制系统方框图

用离散相似法分析计算如下：

第一步引入采样开关的零阶保持器，变成离散控制系统,如图6-2所示。

图6-2控制系统方框图

第二步求对象和调节器的状态方程，传递函数为

)1(

)(





由控制系统方框图中的传递函数，给出状态方程

1s1syx2nx1

-1

图6-3系统状态图

取：n=1，

101

100















yx

即：











，









由图中比例限幅调节器的特性可列出：

10[()()]10

()[()()],10[()()]10

10[()()]10

Rkyk

ukRkykRkyk

Rkyk

















其中y（k）=[01]x(k)

第三步，离散状态方程

)()()()()1(kUTHKXTGkx

第四步，求取

)(TG

和)(TH，

111

()()

(1)

GTeLsIAL

sss













































000

()

111

TTT

HTeBdtdtdt

































设

()s=1()sIA称为预解矩阵。

det（sI-A）：为其的行列式，adj（sI-A）：为其的伴随矩阵，

预解矩阵：

()

det()

adjsIA

sIA









若取

45.0T

则：

0.637630

()

0.362371









0.36237

()

0.08763









第五步，由图6-1构成的离散系统，用递推法求解，

已知：0k时，

1.25)0(R

，

0)0(y

，

0)0(u

，

0)0(x

1.25)0()0()0(yRE

由调节器方程可知：

10)0(u

可求出

1,k

时

0.63763000.362373.6237

()10

0.36237100.087630.8763









2k，时

0.6376303.62370.36235.9336

()10

0.3623710.87630.087633.0657









这样一直运算下去，通过编程，计算机仿真，应用离散相似法控制系

统计算机仿真如图6-4示，图（a）1k，图（b）2k

354045

（a）

k=1

354045

（b）

k=2

图6-4仿真结果图

小结：

1.由于各个环节的输入量U（I）及输出量Y（I）每一步的数值都可求

出，所以这个程序很容易被推广到包含有非线性环节的系统仿真中去。

2.各个环节的离散状态方程的系数可以一次求出，不必象龙格——库

塔法那样，算一步就要计算一次龙格——库塔系数，因而计算工作量可适当

减少。

3.控制系统的分析是进行控制系统设计的基础，同时也是工程实际当中解

决问题的主要办法，因而对控制系统的分析在控制系统仿真中具有举足轻重的作

用。

离散相似法仿真程序：

clear

a=[0.63763,0;0.36237,1];

h=[0.36237;0.08763];

x0=[0;0];

u0=10;

y0=[0;0];

r=25.1;

forn=1:45

ifn==1

x(:,n)=a*x0+h*u0;

else

e=r-y(1,n-1);

ife>=10

u=10;

x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;

else

u=e;

x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;

end

y(1,n)=x(2,n);

end

subplot(2,1,1)

plot(y)

xlabel('（a）','fontweight','bold','fontname','宋体','fontsize',16);

gtext('k=1','fontsize',16)

a=[0.63763,0;0.36237,1];

h=2*[0.36237;0.08763];

x0=[0;0];

u0=10;

y0=[0;0];

r=25.1;

forn=1:45

ifn==1

x(:,n)=a*x0+h*u0;

else

e=r-yy(1,n-1);

ife>=10

u=10;

x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;

else

u=e;

x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;

end

yy(1,n)=x(2,n);

end

subplot(2,1,2)

plot(yy)

xlabel('（b）','fontweight','bold','fontname','宋体','fontsize',16);

gtext('k=2','fontsize',16)

6.2Simulink仿真中的代数环问题

无论是采用Fortran、C还是Matlab和Simulink语言，在编写计算程序

时，都会遇到代数环问题，代数环会给计算程序带来很大的麻烦，需要特别

注意。所谓代数环就是同一个模块中输出信号再重新送入到输入端口中。

首先介绍simulink的意义:

Simulink是一种以MATLAB为基础的实现动态系统建模、仿真与分析的软

件包，具有以下的主要功能：

（1）可以实现交互式建立系统的动态模型。

（2）良好的交互式仿真环境。

（3）扩充和定制功能。

（4）与MATLAB和工具箱的集成。

（5）专用模型库

Simulink还有专用程序包，可对系统模型进行代码生成。Simulink的开放式

结构允许用户扩展仿真环境，如生成自定义模块库等。由于Simulink可直接利

用MATLAB的诸多资源与功能，因而用户可在Simulink下完成诸如数据分析、

过程自动化、参数优化等工作。

本节将对Simulink的代数环问题进行讨论。

122

2314

xaxau

xaxax









例：利用Simulink求解方程组。

此题中直接利用Simulink求解此方程组时，会遇到代数环问题[8]。

（1）用Simulink建立方程组模型，保存为，如图（1）所

示。

Out2

Out1

sum2

sum1

SineWave

Integrator

图7-1具有代数环的系统模型

Simulink模型中存在一个代数环，由模块sum1、a4、sum2、和a1组成

一个代数环路。代数环中的每一个模块都具有一个相同的特征，就是模块的

输入和输出之间只有代数关系。这种代数关系，在时间上讲就是没有延迟，

在物理模型上讲就是无惯性。

（2）对方程进行处理

将方程组第二个方程代入第一个方程，可以得到：

13114211

xaaxaaxau





（7-1）

注意：

1.方程两边都出现状态导数，这就是代数环的方程表现形式之一。

2.本例所提出的方程组比较简单，所以非常容易看出代数环的问

题。但对于稍微复杂的系统，就很难直接判断是否含有代数环。

（3）代数环的处理方法

对于上面的方程或方程组，计算机并不会自动将方程进行整理，而把方

程两边进行合并。虽然Simulink在处理代数环的解算程序采用比较鲁棒的

Newton-Raphson方法，但仍不能够保证结果是收敛的。

通常处理代数环的方法：

1.人工排除代数环。

通过手工整理方程，得到如下方程组：

1414

xxu

aaaa







（7-2）

1414

xxu

aaaa





（7-3）

简化得

1121

xkxku





（7-4）

2314

xkxku

（7-5）

其中

133

224

1234

14141414

,,,

1111

aaa

kkkk

aaaaaaaa





说明：如果代数环对计算速度的影响不大，那就不必理会；如果代数

环对计算速度的影响很大，通常可以加入记忆模块或者代数约束模块，消除

模块的代数环。

2.利用Memory模块消除代数环。

（4）建立Simulink模型

i.首先对手工整理的方程进行建模。

对方程（2）和（3）建立Simulink模型，保存为，如图7-2所

示

Out2

Out1

a2*a4/(1+a1*a4)

a3/(1+a1*a4)*u

a2/(1+a1*a4)

a1*a3/(1+a1*a4)

Subtract

SineWave

Integrator

Add

图7-2整理方程组消除代数环后的Simulink模型

ii.利用Memory模块消除代数环。

在图7-1所示Simulink模型的基础上，添加一个记忆环Memory模块，

保存为，如图7-3所示。

Out2

Out1

sum2

sum1

SineWave

Memory

Integrator

图7-3添加记忆模块的Simulink模型

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