相交弦定理证明
-带花字的诗句
2023年2月15日发(作者：折叠空间)课题：相交弦定理（教案）
一、教学目的：
1．通过本节的教学使学生能结合具体图形，准确的表述相交弦定理及其推
论。
2．掌握相交弦定理的证明方法。并能应用定理解决有关计算问题的证明。
3．培养学生在运动变化中观察几何元素之间辩证观点。
二、重点、难点：
教学重点是相交弦定理的内容。难点是相交弦定理的灵活应用。
三、教学过程：
A、引入：
1．什么叫线段的内分点、外分点？
答：①在一条线段上的点，将线段分成两条线段，这点叫做这条线段的内分
点。如图所示：
②在一条线段的延长线的点，有时也叫外分点。
2．问：怎样证明比例式或等积式。
答：利用相似三角形是常用方法之一。
B．新课：
1．我们已经学棕垂径定理，现在○·○内有两条弦AB、CD垂直相交于P。
请同学位作出图形。（教师的启发下由学生自己作图）
如图所示：
问：AP·BP与CP·DP大小有什么关系呢？
APBP′
O(P)
AB
C
D
O
AB
C
D
O(P)
AB
C
D
P
O
你能证明自己的观察（或猜想）得到结论吗？
2．当同学们得出AP·BP=CP·DP的正确结论后。教师进一步引导：
3-1
问：把上述条件放宽两弦AB、CD任意相交在○·○内时，结论还正确吗？（由
学生充分讨论后自己回答，以下问题均同）
请同学们作出图形分析，并证明结论。
指出：经过上述讨论我们得出相交弦定理的内容。（教师板书相交弦定理的
内容及推论）
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两线段长的积相等。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的
比例中项。
引申：到两弦交点在延长线上，或两弦交点在圆上的情况。教师各说明一下。
（放在小结时引申）。
3．讲解例题：
例1：已知圆条相交弦，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦
长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长。
分析：（1）引导学生作图分析：已知：AP=16cm，BP=2cm，CD=32cm。
求：DP=？PC=？
（2）启发学生自己解答出来。
（3）教师讲解书写格式等。
例2：如图：在○·○的弦AB上取C、D两点，使AC=BD，过C、D任作两弦
EF、GH，求证：EC：GD=HD：FC
分析：
①由所给的图形我们联想到应用相交弦定理。
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
C
P
O
O
P
O(B,D)
引申
A
B
C
D
O
P
A
B
C
D
O
F
E
GH
②由EC：GD=HD：FCEC·FC=GD·HD
EC·FC=AC·BC先证
由相在弦定理{}BC=AD
GD·GD=BD·AD
证明：∵AC=BD（已知）
∴AC+CD=BD+CD∴BC=AD
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∵EC·FC=AC·BCHD·GD=BD·AD
∴EC·FC=HD·GD
∴
FC
HD
GD
EC
C．练习
（1）如图AP=3厘米，BP=5厘米，CP=2.5厘米。求：CD长
（2）如图，○是圆心，
ABOP
，AP=4厘米，PD=2厘米。
求：OP长
（3）圆内二条弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦径被交点
分为1：4，则另一弦长为。
D．小结：
（1）阅读课文，熟记定理的内容，并指出我们学习这课时，是采取从特殊
到一般的方法。从弦与直径垂直相交的情况说起。而课文中叙述是采取从一般到
特殊的方法，略有不同。
（2）这一节我们仅学习了相交弦定理的简单应用。在其他证明题，以及计
算题、作图中都有广泛的应用。希望同学们在今后学习中，要不断地归纳和总结。
以提高我们运用知识的能力。
（3）引申（根据学生的接受能力酌情处理）当两弦相交在圆外，及圆上的
情况。
E．布置作业：
（1）选择题：
A
B
C
D
O
P
A
B
C
D
O
P
1．G为圆内接△ABC的重心，过G的弦AB交BC于E，则AE·ED等于（C）。
（A）AC·BD（B）BE·BC
（C）BE2（D）AB·AC
2．在△ABC中，D是BC边上一点，AD=22cm，BD=3cm，DC=4cm，如果E
是AD延长线与△ABC外接圆的交点，那么DE长等于（B）。
（A）23cm（B）32cm
（C）22cm（D）33cm
（2）书上P132#8#9
3-3
本节课的教学小结
张新琳
课前能做到认真备课，选择好习题反例题。能精心地设计好问题的情景。例
题的教法。教学目的明确。具体的教学要求紧扣教学大纲和学生的实际。
在演讲时要求用普通话，语言力争做到正确、精练、生动。板书清晰合理。
教态自然亲切。在整个体分钟教学过程中适时应用启发式，教学重点突出。难点
处理得当。能及时发掘教材中的能力因素和非智力因素。能充分调动学生的求知
欲。做到课堂中45分钟学生们思维活跃，情绪饱满，注意力集中。能按时完成
本学时的教学任务。当堂检查正确率高。