直线方程

直线方程

-幼小衔接培训

2023年2月15日发(作者：两位数加两位数)

1

直线方程

一、倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

①倾斜角：与x轴正方向的夹角

②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为

③倾斜角的范围

2.直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值.记作tank0(90)

②当直线

l

与x轴平行或重合时,00,0tan00k

③当直线

l

与x轴垂直时,090,

k

不存在.

④经过两点

1112212

(,),(,)PxyPxyxx（）的直线的斜率公式是

21

21

yy

k

xx







⑤每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.

3.求斜率的一般方法：

①已知直线上两点，根据斜率公式21

21

21

()

yy

kxx

xx







求斜率；

②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据tank来求斜率；

4.利用斜率证明三点共线的方法：

已知

112233

(,),(,),(,)AxyBxyCxy，若

123ABBC

xxxkk或，则有A、B、C三点共线。

考点一斜率与倾斜角

例1.已知直线

l

的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（）.

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

00

000180

2

例2.已知过两点22(2,3)Amm,2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.

考点二三点共线

例1.已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

考点三斜率范围

例1.已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线

l

与线段AB始终有公共点，求直线

l

的斜

率

k

的取值范围.

例2.已知实数

x

、

y

满足

28,xy

当2≤

x

≤3时，求

y

x

的最大值与最小值。

3

二、直线方程

名称方程的形式已知条件局限性

①点斜式

11

()yykxx

11

(,)xy为直线上一定点，

k为斜率

不包括垂直于x轴

的直线

②斜截式

ykxb

k

为斜率，b是直线在

y

轴

上的截距

不包括垂直于x轴

的直线

③两点式不包括垂直于x轴

和

y

轴的直线

④截距式是直线在轴上的非零截

距，

b

是直线在

y

轴上的非

零截距

不包括垂直于x轴

和

y

轴或过原点的

直线

⑤一般式

0AxByC

22(0)AB

,,ABC为系数

无限制，可表示任

何位置的直线

三、直线的位置关系

1.两条直线平行：对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有

2121

//kkll

特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行

2.两条直线垂直：如果两条直线斜率存在，设为，则有

1-

2121

kkll

11

2121

yyxx

yyxx







1122

1212

(,),(,)xyxy

xxyy

经过两点

且(,)

1

xy

ab



ax

12

,ll

12

,kk

12

,ll

12

ll与

12

,ll

12

,kk

4

考点四直线的位置关系

例1.已知直线

1

:60lxmy，

2

:(2)320lmxym，求m的值，使得：

（1）l

1

和l

2

相交；（2）l

1

⊥l

2

；（3）l

1

//l

2

；（4）l

1

和l

2

重合.

例2.已知直线

1

l的方程为

2

23,yxl的方程为

42yx

，直线l与

1

l平行且与

2

l在

y

轴

上的截距相同，求直线l的方程。

例的顶点(5,1),(1,1),(2,)ABCm，若ABC为直角三角形，求m的值.

例4.已知过原点O的一条直线与函数y=log

8

x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴

的平行线与函数

2

logyx的图象交于C、D两点.

（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

5

考点五定点问题

例1.已知直线31ykxk.（1）求直线恒经过的定点；

（2）当

33x

时，直线上的点都在x轴上方，求实数

k

的取值范围.

考点六周长及面积

例1.已知直线

l

过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线

l

的方程．

考点七反射

例1.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点

B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

6

四、1.

121122

,(,),(,)PPxyxy若点的坐标分别是，

12

12

12

2

(,)

2

xx

x

PPMxy

yy

y























且线段的中点的坐标为

2.两条直线的交点

设两条直线的方程是

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC

两条直线的交点坐标就是方程组111

222

0

0

AxByC

AxByC











的解。

①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.

3.两点间的距离：平面上的两点

111222

(,),(,)PxyPxy间的距离公式

22

122121

||()()PPxxyy

4.点到直线的距离：点

00

(,)

o

Pxy到直线

0AxByC

的距离00

22

||AxByC

d

AB







5.两条平行线间的距离：两条平行线

12

00AxByCAxByC与间的距离12

22

||CC

d

AB







考点八点到直线距离

例1.已知点(,2)(0)aa到直线:30lxy的距离为1，则a=（）.

A．2B．－2C．21D．21

例2.求过直线

1

110

:

33

lyx

和

2

:30lxy的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.

7

考点九平行线的距离

例1.若两平行直线

3210xy

和

60xayc

之间的距离为

213

13

，求

2c

a



的值.

考点十对称问题

例1.①与直线

2360xy

关于点（1，-1）对称的直线方程

②求点A（2，2）关于直线

2490xy

的对称点坐标

例2.在函数24yx的图象上求一点P，使P到直线45yx的距离最短，并求这个最短的距

离.

8

例3.在直线

:310lxy

上求一点P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。

（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。