抛物线性质
-学习的名言警句
2023年2月15日发(作者：银行间)1
抛物线性质30条
已知抛物线22(0)ypxp，AB是抛物线的焦点弦，点C是AB的中点.AA’垂直准线于A’，
BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’
交抛物线于点M，准线交x轴于点K.求证：
1.
12
||,||,
22
pp
AFxBFx
2.
11
()
22
CCABAABB
；
3.以AB为直径的圆与准线L相切；
证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，
||||||||||2||2ABAFBFAABBCCr
4.90ACB
；(由1可证)
5.90AFB
；
,,
||||,,
1
,
2
AAFKAFKFAA
AFAAAAFAFA
AFKAFK
证明：
同理：
1
,
2
BFKBFK
得证.
6.
1
CFAB
2
.
证明：由90AFB
得证.
垂直平分AF
；BC
垂直平分BF
；
证明：由
1
CFAB
2
可知，
1
||||||,
2
CFABCA
||||,.AFAA
又得证同理可证另一个.
平分AAF
，BC
平分BBF
,A’F平分AFK，B’F平分BFK.
证明：由AC
垂直平分AF
可证.
AB；
证明：12
2121
(,)(,)
2
yy
CFABpxxyy
222222
122112
21
()0
2222
yyyyyy
pxx
10.
1cos
P
AF
；
1cos
P
BF
；
证明：作AH垂直x轴于点H，则||||||||||cos,||
1cos
p
AFAAKFFHpAFAF
.
α
y
C'
C(x
3
,y
3
)
B'
B(x
2
,y
2
)
A'
O
F
x
A(x
1
,y
1
)
2
同理可证另一个.
11.
112
AFBFP
;
证明：由
1cos
P
AF
；
1cos
P
BF
；得证.
12.点A处的切线为
11
()yypxx;
证明：（方法一）设点A处切线方程为
11
()yykxx，与22ypx联立，得
2
11
22()0,kypypykx由2
11
0220,xkykp
解这个关于k的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：1
11
,
2
y
p
k
xy
得证.
证法二：（求导）22ypx两边对x求导得
1
1
22,,|,
xx
pp
yypyy
yy
得证.
’是切线，切点为A；BC’是切线，切点为B；
证明：易求得点A处的切线为
11
()yypxx，点B处的切线为
22
()yypxx，解得两切线的
交点为12(,)
22
yy
p
C
,得证.
14.过抛物线准线上任一点P作抛物线的切线，则过两切点Q
1
、Q
2
的弦必过焦点;并且
12
.PQPQ
证明：设点(,)()
2
p
PttR为准线上任一点，过点P作抛物线的切线，切点为
2
(,)
2
y
Qy
p
,
22ypx两边对x求导得22
2
22,,,20,
22
PQ
ppyt
yypyKytyp
yy
yp
p
显然22440,tp切点有两个，设为
22
2
12
11221212
(,),(,),2,,
22
yy
QyQyyytyyp
pp
则
12
1212
222222
1212
22
2222
FQFQ
yypypy
kk
yyypyp
pp
pp
12
22
1212
112212
22
22
0,
pypy
pp
yyyy
yyyyyy
所以Q
1
Q
2
过焦点.
222222
2
2
121212
12121212
2
(,)(,)()
222244
4
yyyyyy
ppp
PQPQytytyytyyt
pp
p
222
22222
222
121212
()2
42
0,
242424
yyyyyy
ppptp
ttt
3
12
.PQPQ
15.A、O、B
三点共线；B、O、A
三点共线；
证明：A、O、B
三点共线
2
2
1
1212112
.
222OAOB
y
pp
kkxyyyyyyp
p
同理可证：B、O、A
三点共线.
16.
12
2yyp；
12
2
4
p
xx
证明：设AB的方程为()
2
p
ykx，与22ypx联立，得2220,kypykp
2
1212
2
,,
p
yyyyp
k
22
42
12
12
2
.
224
4
yy
pp
xx
pp
p
17.
12
2
2
sin
p
ABxxp
证明：
1212
,
22
pp
ABAFFBxxxxp
222
1212
222
2
111
||1()41()421
p
AByyyypp
k
kkk
2
2
2
21cot.
sin
p
p
得证.
18.2
2sinAOB
p
S
；
证明：222
1212
2
1
()4()4
224AOBOFAOFB
ppp
SSSyyyyp
k
222
221
()11cot
222sin
ppp
k
.
19.
3
2
2
AOB
S
p
AB
（定值）；证明：由
2
2
sin
p
AB
、
2
2sinAOB
p
S
得证.
20．
2
2sinABC
p
S
证明：22
12
2
111
||||21()
222ABC
yy
SABPFpp
k
2
222
222
11
1()(1)
sin
pp
ppp
k
kk
21.2ABp；证明：由
2
2
sin
p
AB
得证.
4
22.
12
2
AB
p
k
yy
；证明：由点差法得证.
23.12
1222
tan
PP
yy
xx
;
证明：作AA
2
垂直x轴于点A
2
,在
2
AAF中，21
2
1
tan,
2
AAy
FAp
x
同理可证另一个.
24.2AB4AFBF
;
证明：2
2
1212
4||4()()
22
pp
ABAFBFyyxx
2222
2
242224yyyyxxpxpxpyyxxp，
由
12
2yyp，
12
2
4
p
xx得证.
25.设CC’交抛物线于点M，则点M是CC’的中点；
证明：12121212(,),(,),CC,
22224
xxyyyyxxp
p
CC
中点横坐标为
把12
2
yy
y
代入22ypx，得
222
12121212
2222
2,2,.
444
yyyypxpxpxxp
pxpxx
所以点M的横坐标为12.
4
xxp
x
点M是CC’的中点.
当弦AB不过焦点时，设AB交x轴于点(,0)(0)Dmm,设分别以A、B为切点的切线相交于点P，
求证：
26.点P在直线xm上
证明：设:,ABxtym与22ypx联立，得
2
1212
220,2,2yptypmyyptyypm
，
又由
22
11
1212
12
22
:()
(),,
222
:()
PAyypxx
yyyy
yyyy
PByypxx
，相减得
代入
11
()yypxx得，
22
1121
12
,2,,
22
yyyy
pxyypxxm
得证.
5
y
B
1
A
1
M
C
P
E(-m,0)
B
O
F
x
A
D(m,0)
27.设PC交抛物线于点M，则点M是PC的中点；
证明：12121212
2
(,),(,),,
2224
xxyyyyxxm
CPmPC
中点横坐标为
把12
2
yy
y
代入22ypx，得
22
12121212
12
22242
2,2,2,.
444
yyyypxpxpmxxm
pxyypmpxx
所以点M的横坐标为12
2
.
4
xxm
x
点M是PC的中点.
28.设点A、B在准线上的射影分别是A
1
，B
1
，则PA垂直平分A
1
F，PB垂直平分B
1
F，从而PA
平分
1
AAF，PB平分
1
BBF
证明：
1
11
1
11
0
()1,,
()
22
PAAF
yy
pp
kkPAAF
yppyp
又
1
||||AFAA，所以PA垂直平分A
1
F.同理可证另一个.
证法二：
1
11
222
1
11
2
,,0,
22
AFAPAA
ypy
p
kkk
y
yyp
p
p
1
1
1
tantan
11
APAA
AFAP
AFAPAPAA
kk
kk
FAPPAA
kkkk
6
1
22
2223
11
1
1111
22222
11111
111
22
1
1
1
2
02()
0
2
2()
10
1
py
p
pp
pyyp
y
ypyypyp
pppp
pypyyyy
p
yppyyp
y
y
yp
11
tantan,.FAPPAAFAPPAA同理可证另一个
证明：
11111
,,,PAAPAFPFAPAAPFBPBBPAAPBB同理：只需证
易证：
111111
||||||,,PAPFPBPABPBA
11
,PAAPBB
30．2||||||FAFBPF
证明：
2222
22
1212
121212
2
||||()()(),
222444
4
yyyy
ppppp
AFBFxxxxxx
p
1212(,),
22
yyyy
P
p
22
2222
2
2
12121212
2
||,
22244
4
yyyyyyyy
pp
PF
p
p
得证.
7
例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C（0，c）（c>0）作直线与抛物线y=x2
相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线y+c=0交于P、Q。
（1）若OBOA=2，求c的值；
（2）若P为线段AB的中点，
求证：AQ为抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立。
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，c）
点A在抛物线上：y1=x1
2（1）点B在抛物线上：y2=x2
2（2）
直线AB经过点C：
2
2
1
1
x
cy
x
cy
（3）
将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到x1x2=-c，y1y2=c2
由OBOA=x1x2+y1y2=2，得c=2。
（2）P为线段AB的中点，得点Q的坐标为（
2
21
xx，-c）
由AQ的斜率k1=
1
21
21
2
1
21
1
12
)(2
2
x
xx
xxx
xx
x
cy
，过点A的切线的斜率为k2=2x1。所
以直线AQ是抛物线的切线。
（3）过点A的切线方程为y-y1=2x1（x-x1）与直线y=-c相交于点Q，
将y=-c代入y-y1=2x1（x-x1），可得-c-x1
2=2x1（x-x1）即x1x2-x1
2=2x1（x-x1）
所以点Q的横坐标为
2
21
xx，即点P为线段AB的中点。（2）的逆命题成立。
该题的命题思路就是借助于性质3而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切
线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命
制的题。
例2：（2006全国高考卷Ⅱ21题）抛物线x2=4y的焦点F，A、B是抛物线上两动
点，且FBAF，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
x
y
A
B
P
Q
O
8
（1）证明：ABFM为定值；
（2）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求出S的最小值。
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（0，1）
点A在抛物线上：4y1=x1
2（1）点B在抛物线上：4y2=x2
2（2）
直线AB经过点F：
2
2
1
1
11
x
y
x
y
（3）
得到过点A的切线方程：2（y-y1）=x1（x-x1）（4）
过点B的切线方程：2（y-y2）=x2（x-x2）（5）
由（1）（2）（3）得x1x2=-4，y1y2=1。
由（4）、（5）得M坐标为（
2
21
xx，-1）。
所以ABFM=（
2
21
xx，-2）·（x2-x1，y2-y1）=0)(2
212
2
1
2
2
yy
xx。
（2）FBAF，即（0-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1）
所以-x1=λx2，再由x1x2=-4，得λx2x2=4，
即x2=
4，则x1=4，y1=λ，y2=
1。由ABFM=0，
所以S=f（λ）=4
22
1
2
1
2
21
2
21
2
21
xx
yyxxFMAB
=4
1
2
1
3
。当λ=1时，△ABM的面积S取得最小值。
相关考题
1、已知抛物线C的方程为yx42，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；
（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：DFAF；
（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在
9
直线l上．
2、对每个正整数n，
nnn
yxA,是抛物线yx42上的点，过焦点F的直线FA
n
交抛物线于另一
点
nnn
tsB,，（1）试证：4
nn
sx（n≥1）
（2）取n
n
x2
，并C
n
为抛物线上分别以A
n
与B
n
为切点的两条切线的交点，求证：
1221
21
nn
n
FCFCFC（n≥1）