x分之一的导数

x分之一的导数

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2023年2月15日发(作者：注册境外公司)

新编经济应用数学（微分学积分学）第五版

1.1.1导数的概念1

课题1.1.1导数的概念（2学时）

时间年月日

教

学

目

的

要

求

1、理解导数的定义。

2、会用导数定义求基本初等函数的导数。

3、理解导数的几何意义。

4、理解可导和连续的关系。

重点导数定义的理解

难点会用导数定义求基本初等函数的导数

教

学

方

法

手

段

讲授为主，数形结合。

主

要

内

容

时

间

分

配

引例1、25分钟

一、导数

1、导数定义10分钟

2、导函数5分钟

3、左右导数5分钟

4、函数可导性5分钟

5、求导一般步骤5分钟

例1-例420分钟

二、导数的几何意义10分钟

例55分钟

三、可导与连续的关系10分钟

小结10分钟

作业

P47-3、4

备注

新编经济应用数学（微分学积分学）第五版

1.1.1导数的概念2

引例

1．变速直线运动的瞬时速度

设物体沿直线作变速运动，其经过的路程

s

与时间t的函数关系

是)(tss，求该物体在时刻

0

t处的瞬时速度v。

设物体从

0

t到tt

0

时间段经过的路程为s，即

)()(

00

tsttss，于是该物体在时间段内运动的平均速度

t

tstts

t

s













)()(

00

如果物体作匀速运动，则是常数，它就是物体在时刻

0

t的瞬时

速度，但在变速运动中，是随时间t的不同取值而不同，平均速度

只是

0

t时刻速度的近似值，而且t越小，这种近似程度就越好，

于是当t

0时，平均速度就应趋向于物体在时刻

0

t处的瞬时速

度



。即有

t

tstts

t

s

ttt













)()(

limlimlim00

000



变速直线运动在时刻

0

t处的瞬时速度反映了路程s对时刻t变化快慢

的程度，因此，速度



又称为路程

s

在时刻

0

t处的变化率。

2．曲线切线的斜率

设l是坐标平面内的一条曲线，其方程为)(xfy。M

0

)(

0,0

yx

是曲线l上的一点,求曲线在该点处切线M

0

T的斜率k。

在M

0

点附近任取一点M

),,(

00

yyxx作割线M

0

M,倾角为

,其斜率为tan

1

k

x

y





，当M沿曲线l接近M

0

点时,割线就越

接近切线,从而割线的斜率就越接近切线的斜率。换句话说，|x|越

小，其接近程度就越高,从而当0x时，点M就沿着曲线趋向于

M

0

，割线M

0

M就趋向于曲线在M

0

处的切线M

0

T，于是割线M

0

M的斜

率

1

k就应趋向于切线M

0

T的斜率k。设切线M

0

T倾角为



，则

ktan

0

lim





x

tan

x

xfxxf

x

y

xx













)()(

limlim00

00



曲线l在点M

0

处的切线反映了曲线)(xfy在点M

0

处升降的快

慢程度。因此，切线斜率k，又称为曲线)(xfy在

0

xx处的变

化率。

新编经济应用数学（微分学积分学）第五版

1.1.1导数的概念3

一、导数

1、导数的定义

设函数)(xfy在点

0

x的某个邻城内有定义，当自变量在点

0

x

处取得增量xx(≠0）时，函数)(xf取得相应的增量

)()(

00

xfxxfy

如果0x时，若

x

xfxxf

x

y

xx











)()(

limlim00

00

存在，则称此极限为)(xfy在点

0

x处的导数，记作

),(

0

xf



或

0

xx

y





，或

0

xx

dx

dy



，或

0

xx

dx

df



并称函数)(xf在点

0

x处可导；如果

x

y

x



0

lim不存在，则称函数)(xf

在点

0

x处不可导。

注：

（1）如果不可导的原因是极限为无穷大，则导数是不存在的，但

为了以后方便起见，也称函数)(xfy在

0

x处的导数为无穷大。

（2）导数概念是函数变化率的精确描述，撇开了自变量和因变量

所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数

变化率的本质：函数增量与自变量增量的比值

x

y



是函数y在以

0

x和

xx

0

为端点的区间上的平均变化率，而导数

0

xx

y





则是函数y在

点

0

x处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度。

（3）导数定义的等价形式：

h

xfhxf

xf

h

)()(

lim)(00

0

0









或

x

xfxxf

xf

x









)()(

lim)(00

0

0

或



xx

xfxf

xf

xx









)()(

lim)(0

0

新编经济应用数学（微分学积分学）第五版

1.1.1导数的概念4

2、导函数

如果函数)(xfy在区间,(a)b内的每一点都可导，则称函数

)(xfy在区间,(a)b内可导。这时对于区间,(a)b内的每一个x

值，都有惟一确定的导数值),(xf



当

x

取遍,(a)b内一切值时，这

样就构成了一个新函数，这个函数叫做原来函数)(xfy的导函数，

记作

)(xf



，或y



，或

dx

dy

，或

dx

df

按照导数的定义，有

x

xfxxf

xf

x









)()(

lim)(

0

显然函数)(xfy在点

0

x的导数)(

0

xf



就是导函数)(xf



在点

0

xx处的函数值，即

0

)()(

0

xx

xfxf









今后在不引起混淆的情况下，导函数也简称导数。通常所说的求导数，

就是指求函数的导函数。

3、左、右导数

如果

x

xfxxf

x





)()(

lim00

0

存在，则称该极限值为函数)(xfy在

0

x处的左导数，记作)0(

0





xf；

如果

x

xfxxf

x





)()(

lim00

0

存在，则称该极限值为函数)(xfy在

0

x处的右导数，记作)0(

0





xf。

定理函数)(xfy在点

0

x处可导的充要条件是左导数、右导数

都存在并且相等。

注：本定理常用于判断分段函数在分段点处是否可导。

4、函数的可导性

如果函数)(xf在开区间,(a)b内可导，且)0(



af和

)0(



bf都存在，则称)(xf在闭区间],[ba上可导。

新编经济应用数学（微分学积分学）第五版

1.1.1导数的概念5

5、求导数的一般步骤：

（1）写出函数的增量)()(xfxxfy；

（2）计算比值

x

xfxxf

x

y









)()(

；

（3）求极限)(

)()(

lim'

0

xf

x

xfxxf

x









。

【例1】求常函数Cy(C为常数)的导数。

解(1)求增量0)()(CCxfxxfy

(2)算比值0





x

y

(3)取极限00limlim

0

0















x

xx

y

y

即0)(



C，也就是，常数的导数为零。

【例2】求函数nxy)(Nn的导数。

解(1)求增量nnxxxxfxxfy)()()(

22211)(xxCxxCn

n

n

n

…nx)(

(2)算比值





x

y

xxCxCn

n

n

n

2211…1)(nx

(3)取极限111

0

'lim









nn

n

x

nxxC

x

y

y

即1)(

nnnxx

【例3】求函数xysin的导数。

解(1)求增量

2

sin)

2

cos(2sin)sin()()(

xx

xxxxxfxxfy





(2)算比值

2

2

sin

)

2

cos(

2

sin)

2

cos(2

x

x

x

x

x

xx

x

x

y





















(3)取极限

x

x

x

x

x

y

y

xx

c

2

2

sin

)

2

cos(limlim

00























即xxcos)(sin



新编经济应用数学（微分学积分学）第五版

1.1.1导数的概念6

【例4】求函数xy

a

log0(a且a≠1)的导数。

解

(1)求增量

)1(logloglog)()()(

x

x

xfxxfy

a

x

a

xx

a





(2)算比值x

a

a

x

x

x

x

x

x

y

















1

)1(log

)1(log

(3)取极限x

a

xxx

x

x

y

y















1

00

)1(loglimlim

x

x

a

x

x

x

x

a

x

x

x

x

x

x





























)1(log

1

lim

)1(loglim

0

1

0

ax

e

xaln

1

log

1



即

ax

x

aln

1

log



特别地，当

ea

时，有

x

x

1

ln



二、导数的几何意义

函数)(xfy在点

0

x处的导数)(

0

xf



在几何上表示为曲线

)(xfy在点M),(

000

yx处切线的斜率，即tan)(

0





xfk(

≠

2



），这就是导数的几何意义。

如果)(xfy在点

0

x处的导数为无穷大，即tan不存在，这

时，曲线)(xfy在点M

),(

000

yx处的切线垂直于

x

轴；如果

)(xfy在点

0

x处的导数为零，这时曲线)(xfy在点M),(

000

yx

处的切线平行于

x

轴。

根据导数的几何意义及直

线的点斜式方程，我们即可得到

曲线)(xfy在点M),(

000

yx

处的

切线方程

))((

000

xxxfyy





法线方程

)(

)(

1

0

0

0

xx

xf

yy





)0)((

0





xf

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1.1.1导数的概念7

【例5】求曲线

x

y

1

在点（1，1）处的切线方程与法线方程。

解2

3

2

1

2

1

)(







xxy

由导数几何意义，所求切线的斜率为

2

1

2

1

1

2

3

1

'







x

x

xyk

所以切线方程为),1(

2

1

1xy即032yx

法线方程为),1(21xy即012yx

三、可导与连续的关系

定理如果函数)(xfy在点

0

x处可导,则)(xf在点

0

x处连续。

证明因为)(xf在点

0

x处可导，故有)(lim

0

0

xf

x

y

x











存在，

由极限与无穷小的关系有











)(

0

xf

x

y

，其中0lim

0







x

，

因此

xxxfy



)(

0

；

所以0lim

0





y

x

，

即函数)(xfy在点

0

x处是连续的。

注：上述定理的逆命题不一

定成立，即一个函数在某点处连

续，但在该点处函数却不一定可

导。

如连续函数y|

x

|在点

0x处不可导

因为

||)0()0(xfxfy

所以

x

x

x

y









||

当0x时，1





x

y

，当

0x时，1





x

y

因而1lim

0







x

y

x

，

1lim

0







x

y

x

所以

x

y

x



0

lim不存在，即连续

函数||xy在0x处不可

导。

由此可见，函数连续是可导的必

要条件，但不是充分条件。

新编经济应用数学（微分学积分学）第五版

1.1.1导数的概念8

小结：极限、连续和可导的关系

函数可导必连续，连续的函数一定有极限，所以可导就一定有极限。

（1）Axf

xx





)(lim



、Axf

x





)(lim存在，称函数有极限。

（2）

0

0

limxfxf

xx





，称函数在点

0

x处连续。

（3）

x

xfxxf

x





)()(

lim00

0

存在，称函数在点

0

x处可导。