二次函数图像怎么画
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2023年2月15日发(作者：汤泉温泉度假村)二次函数的图像及其三种表达式之袁州冬
雪创作
学生：时
间：
学习方针
1、熟悉罕见的二次函数的图像；
2、懂得二次函数的三种表达式
知识点分析
1、.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，
0）和B（x2，0）的抛物线]
2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决议函数的启
齿方向，a>0时，启齿方向向上，a<0时，启齿方向向
下,IaI还可以决议启齿大小,IaI越大启齿就越小,IaI越小
启齿就越大.）
则称y为x的二次函数.
二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
例题精讲
例题1已知函数y=x2＋bx＋1的图象颠末点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
例题2、一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c
的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛
物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函
数的值都随x的增大而增大．
（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
随堂操练
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，
则下列关系式中成立的是（）
A．0＜－
a
b
2
＜1B．0＜－
a
b
2
＜2C．1＜－
a
b
2
＜2
D．－
a
b
2
=1
图①图②
y=
2
1x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是
A.y=
2
1
(x－1)2+2
B.y=
2
1
(x－1)2+
2
1
C.y=
2
1
(x－1)2－3
D.y=
2
1
(x+2)2－1
y=－2x2－x+1的顶点在第_____象限
m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都
y=xy=－x上
xy轴上
n，得到分歧的抛物线y=2x2+n，如当n=0，±2时，关于这
些抛物线有以下结论：①启齿方向都相同；②对称轴都相
同；③形状都相同；④都有最低点，其中断定正确的个数
是
y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必颠末下列四点中
A.(－1，1)B.(1，－1)
C.(－1，－1)D.(1，1)
图3
7.下列说法错误的是
y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0
y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
y=2x2，yx2，y=－x2中，y=2x2的图象启齿最大，y=－x2
的图象启齿最小
a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是
坐标原点
8.已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的
值是
A.
4
3
B.－
4
3
C.
4
5
D.－
4
5
9.小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三
点(－1，y1)，(
2
1
，y2)，(－3
2
1
，y3)，则你认为y1，
y2，y3的大小关系应为
A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1
10.抛物线y=
2
1
(x+3)2的顶点坐标是______.
11.将抛物线y=3x2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶
点坐标是______.
12.函数y=
3
4x－2－3x2有最_____值为_____.
13.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(－2，3)，且过
(－1，5)，则抛物线的表达式为______.
14.二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点，则此抛物线的
顶点坐标是______.
15．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是；
（2）当x=时，y=3；
16．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是；
（2）当x=时，y=3；
（3）根据图象回答：当x时，y＞0．
17．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点
位于（0，5）上方，则k的取值范围是．
18．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁
丝框的面积最大，边长分别为．
19．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积
y与x的函数表达式为，它有最值，即当x=时，y=．
20．边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的
小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x
（cm）之间的函数表达式为．
21．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为．
22．抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标
为．
23．已知抛物线y=x2＋x＋b2颠末点（a，－
4
1
）和（－a，
y
1
），则y
1
的值是．
24．如图，图①是棱长为a的小正方体，②、③是由这样
的小正方体摆放而成，依照这样的方法继续摆放，由上
而下分别叫第一层、第二层……第n层，第n层的小正
方体的个数记为S，解答下列问题：
（1）依照要求填表：
n1234…
s136…
（2）写出当n=10时，S=．
（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横
坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如
果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．
25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年头上市
后，公司履历了从吃亏到盈利的过程．图中二次函数图
象（部分）描绘了该公司年头以来积累利润S（万元）与
销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S
与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求积累利润S（万
元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司积累利润可
达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多
少万元？