次方怎么算

发布时间：2023-06-04 作者：admin 来源：文学

次方怎么算

-公务员退休金

2023年2月15日发(作者：西洋音乐)

1/16

矩阵n次方几种求法

1.利用定义法

,,

ijkj

snnm

AaBb



则,



其

1122

...

ijijijinnj

cababab

称为A及B乘积，记为，则由定义可以看出矩阵A及B

乘积C第i行第j列元素等于第一个矩阵A第i行及第二个

矩阵B第j列对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩

阵列数及第二个矩阵行数要相1同。

例1:已知矩阵，，求

解：设CAB=



，其中1,2,3i；1,2,3,4j

由矩阵乘积定义知：

1526533032c

1122543231c

1321553030c

102051305c

150623101c

110224129c

130125107c

100021102c

c

2/16

c

001031403c

将这些值代入矩阵C中得：

CAB=

则矩阵An次方也可利用定义方法来求解。

2.利用矩阵分块来求解

这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵

组成，就如矩阵由数组成一样在运算中将这些小矩阵当

做数一样来处理，再由矩阵乘法定义来求解这些小矩阵

乘积所构成矩阵。即设,,

ijkj

snnm

AaBb



把A，B分解成

一些小矩阵：

，，其中

A是

sn小矩阵且1,2...it，1,2...jl，且

...

ssss，

...

nnnn；

B是

nm小矩阵且

1,2...jl，1,2...kr；且

...

nnnn，

...

mmmm；

令CAB=，其中

C是

sm小矩阵且1,2...it，1,2,...,jr，

且

...

ssss，

...

mmmm；其中

3/16

1122

...

ijijijillj

CABABAB。这里我们应注意：矩阵A列分法

必须及矩阵B行分法一1致。

例2：已知矩阵

10025

01013

00128

00006













，，求AB

解：将

10025

01013

00128

00006













，其中

，

06A，，

由矩阵乘积法则知：

由矩阵加法和乘积法则1知：

则矩阵An次方求解也可利用以上方法来求解。

3．利用数学归纳法求解

这种方法及矩阵定1义和数学归纳3法相结合，从而找

出规律再求解，但是这种方法比较适合低阶且有规律方

4/16

阵n次方运2算。

例3：已知，求nA

解：当2n时

2cossincossincossin

sincossincossincos













cos2sin2

cossin2cossin

sin2cos2

2cossincossin

























当3n时

32cossincossincossin

sincossincossincos













cos2cossin2sincos2sinsin2cos

cos2sinsin2coscos2cossin2sin















所以假设nA=

当1k时成立，假设当1kn时成立；则当kn时

1cossincossin

sincossincos















cos1sin1

cossin

sin1cos1

sincos



















由矩阵乘法定及三角函数知：nA=则假设成立。

所以nA=

5/16

4．利用分拆法求解

这类方法主要是将一个矩阵分解成一个单位矩阵和

另外一个矩阵之和再求1解，且另外这个矩阵n次方计算

起来比较简2单。

例4：已知，求nA

解：AEB，其中，矩阵E为单位阵且2EE

EBBEB；故

nA=122+CCCn

nnn

EBEBBB

由2

010010001

001001000

000000000





















则3n时，nB=0。故122n

AECBCB

由矩阵加法运算法则1知：

nA=

5．利用相似矩阵求解（利用对角矩阵来求）

定义：设矩阵A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可

6/16

以找到数域P上n级可逆阵X，使得矩阵1BXAX，就说A

及B相1似。如果矩阵A或B有一个可以化成对角矩阵则计

算比较简便。而判断矩阵A可对角化条件1有：

1)矩阵A可对角化必要条件是矩阵A有n个不同特征值

2)矩阵A可对角化充要条件是矩阵A有个n线性无关特

征向量

3)在复数域上矩阵A没有重根

而求矩阵A特征值和特征向量方法1有：

1)求矩阵A特征多项式EA在数域P中全部根，这

些根是矩阵A全部特征值。把这些所求特征值逐个代入方

程组0EAX中，对于每一个特征值，解方程组

0EAX，求出一组基础解系，那么这个基础解系就

是属于这个特征值特征向量。

再利用判别法判断矩阵A是否可对角化。

例5：已知矩阵,求nA

解：易知矩阵A特征多项式EA=

由行列式计算方法知：

EA=213113

7/16

所以矩阵A特征值为1,1,3。

当特征值为1时，解方程0EAX，由齐次线性方

程组计算方法知：0EAX基础解系为

a=111



；

所以矩阵A属于特征值1全部特征向量为

111k



,其

中

k0。

当特征值为1时，解方程0EAX，由齐次线性

方程组计算方法知：0EAX基础解系为

a=110



；所以矩阵A属于特征值1全部特征向量为



110k



，其中

k0。

当特征值为3时，解方程30EAX，由齐次线性方

程组计算方法知：30EAX基础解系为

a=011



，

所以矩阵A属于特征值3全部特征向量为

011k



，其

中

k0。

则由矩阵A可对角化条件知：矩阵A可对角化且对

角阵为

B

令=，由求逆矩阵方法知：

因为线性变换在不同基下所对应矩阵是相似知：

1CACB

8/16

所以11

nnCACCACB，则



100

010010

003003















由1nnACBC,由矩阵乘法运算法则知：



11111

3113111

13131

nnn



















2)对方阵A，设

FEA

，对1n

FE做初

等变换，化成DP其中D为上三角阵，则矩

阵D主对角线上元素乘积多项式根即为A特征根

。对矩阵A任一特征根

，代入DP中，若

D

中非零向量构成一满秩矩阵，则

D行向量所对应



P中行向量

即为

特征向量；否则，继续施行初等

行变换，使得

D中非零向量构成一满秩矩阵，则

D

中零向量所对应

P中行向量

即为

特征向8量。

这类问题所涉及定理是：对任意方阵A特征矩阵F经

过行变换，可化为上三角矩阵G，且G主对角线上

元素乘积多项式根即为矩阵A特征值。

9/16

例6：已知矩阵A，求nA

解：

211100

121010

112001





















，

作初等行变换

121010

211100

112001

















121010

01020

011011























33

121010

011011

00113

























由上述定理知：矩阵A特征值为1（二重），4。

当1时，

111010

11000011

000112















，由2)

中判别法知：矩阵特征向量为：

011

，



112

。

当4时，

121010

44033011

000111













，由2)

中判别法知：矩阵A特征向量为：

111

。

10/16

则由相似矩阵条件知：矩阵及对角矩阵相似且对角矩阵

为

则存在可逆阵使得

由求可逆阵方法知：

；

由1

100

010

004

nATT











知：

nA=



111

424141

333

111

414241

333

111

434142

333

nnn

















6．利用若当形矩阵求解

这类方法主要是运用任何一个n级复矩阵都相似一

个若当形矩阵和利用相似矩阵相关定理及化若当形矩阵

方1法。

例7：已知矩阵A，求nA

11/16

解：

126

114





















，由求初等因子方法知：

EA初等因子为1，21；所以矩阵A若当标

准形为：

则存在可逆阵P，使得1PAPJ，则APPJ。

设，其中

，

为列向量

将矩阵P代入APPJ得

Aaa



，

223

Aaaa



，

Aaa





由齐次线性方程组：0AEX，即

2260

1130















，则

301a



，

211a



是

齐次线性方程组解且

，

是线性无关，则

，



是由齐次线性方程组：0AEX基础解系。

由：

AEXa



有解

100a



且

，

线

性无关。由数学归纳法知：

由求可逆阵方法知：

由1PAPJ知：1APJP

则1nnAPJP=

1226

nnn

















12/16

7.利用多项式求解

主要运用带余除法即：对于数域Px中任意两个多项式

fx和gx，其中gx0，一定有Px中多项式qx，rx

存在使得fxqxgxrx成立，其中rxgx或

rx=0，并且这样qx和rx是唯一1的。

7.1特征多项式无重根

例8：已知矩阵A，求nA

解：设f为矩阵A特征多项式，则fEA

由计算行列式方法知：

211f

由带余除法及辗转相除法则1知：设

nfqr，其中rxfx；由

3fx，所以设2rabc。将特征多项式

0f根代入nfqr中得：

解得，0b，；

所以2

2142

nnnfq

由哈密顿—凯莱定1理：A是数域P上一个级矩阵，

13/16

fEA是矩阵A特征多项式则0fA。

将A代入2

2142

nnnfq中得：

2

2142

nnnAAE

由矩阵乘法定义知：，

所以由矩阵加法运算法则知：



1220

020

0211























7.2特征多项式有重根

例9：已知矩阵A，求nA

解：设f为矩阵A特征多项式，则fEA

由行列式计算方法知：221f

由带余除法及辗转相除法知：nfqr，

其中rxfx；由3fx，所以设

2rabc。将特征多项式0f根代入

nfqr中得：

14/16

因为1是0f2重根。

由定理：如果不可约多项式Px是fxk重因式

（1k），则它微商fx

是1重因式.则1是f

3根。

则由导数定义及性质：对nfqr等号

两边同时求导得：1nnfqfqr



则将1代入1nnfqfqr

中得：

2abn；则由

解得：21nan，1322nbn，22ncn。

由哈密顿—凯莱定理知：0fA。

则将矩阵A代入nfqr中得：

212132222nnnnAnAnAnE

由矩阵乘法运算法则知：

由矩阵加法运算法则知：

120

4210

212212

nnn

Ann

















8.总结

上述七种方法求解矩阵n次方乘积适用于求低阶矩

15/16

阵n次方乘积适用于求低阶矩阵n次方计算，而对于高阶

矩阵求解则比较困难。利用方块、拆项、数学归纳法和

相似矩阵方法求解适用于比较特殊一些矩阵求解；利用

定义、若尔当形矩阵和多项式方法对于普通矩阵都适用，

但利用定义方法对于求矩阵n次方计算比较复杂；而利用

多项式和若尔当形矩阵方法有利于对所学知识及时巩

固、能加深对所知识理解，而这两种方法提供了解这类

问题行之有效方法且容易掌握。

参考文献

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版社，2008.

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出版社,2002.

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智,2010,(08)

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版),2001,(03)

[9]刘学鹏,王文省.关于实对称矩阵对角化问题[J]

聊城师院学报(自然科学版),2003,(03)

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师范大学学报(自然科学版),2005,(03).

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量简单求法.科协论坛(下半月),2008,(02)1007-3973

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