logax的导数
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2023年2月15日发(作者：哈票网)1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则(一)
学习目标核心素养
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝
1
x
，y
＝x的导数．(难点)
2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的
应用．(重点、易混点)
3．能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易
混点)
1．通过基本初等函数的导数公式、导
数运算法则的学习，体现数学运算的核
心素养．
2．借助导数运算法则的应用，提升学
生的逻辑推理核心素养.
1．基本初等函数的导数公式
原函数导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinxf′(x)＝cosx
f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx
f(x)＝axf′(x)＝axlna(a＞0)
f(x)＝exf′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
1
xlna
(a＞0，且a≠1)
f(x)＝lnx
f′(x)＝
1
x
2.导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)商的导数
fx
gx
′
＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
(g(x)≠0)．
1.
1
2
′
等于()
A．
1
2
B．1
C．0D．
1
22
C[因常数的导数等于0，故选C.]
2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于()
A．
1
10
B．10
C．10ln10D．
1
10ln10
C[∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.]
3．(1)
x
2x
′
＝________；(2)(xex)′＝________.
(1)
1－xln2
2x
(2)(1＋x)ex[(1)
x
2x
′
＝
2x－x2xln2
2x2
＝
1－xln2
2x
；
(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.]
4．函数f(x)＝sinx，则f′(6π)＝________.
1[f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.]
利用导数公式求函数的导数
【例1】求下列函数的导数．
(1)y＝cos
π
6
；(2)y＝
1
x5
；(3)y＝
x2
x
；
(4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cos
π
2
－x
.
[解](1)∵y＝cos
π
6
＝
3
2
，∴y′＝0.
(2)∵y＝
1
x5
＝x－5，∴y′＝－5x－6.
(3)∵y＝
x2
x
＝
x2
x
1
2
＝x
3
2
，∴y′＝
3
2
x
1
2
.
(4)∵y＝lgx，∴y′＝
1
xln10
.
(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln5.
(6)y＝cos
π
2
－x
＝sinx，∴y′＝cosx.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必
要的运算失误．
3．要特别注意“
1
x
与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．
下列结论，
①(sinx)′＝cosx；②
x
5
3
′
＝x
2
3
；
③(log3x)′＝
1
3lnx
；④(lnx)′＝
1
x
.
其中正确的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
C[①(sinx)′＝cosx，正确；
②
x
5
3
′
＝
5
3
x
2
3
，错误；
③(log3x)′＝
1
xln3
，错误；
④(lnx)′＝
1
x
，正确；所以①④正确，故选C.]
利用导数的运算法则求导数
[探究问题]
1．如何求函数y＝tanx的导数？
[提示]y＝tanx＝
sinx
cosx
，
故y′＝
sinx′cosx－cosx′sinx
cosx2
＝
cos2x＋sin2x
cos2x
＝
1
cos2x
.
2．如何求函数y＝2sin
x
2
cos
x
2
的导数？
[提示]y＝2sin
x
2
cos
x
2
＝sinx，故y′＝cosx.
【例2】求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝
lnx
x2＋1
；
(4)y＝x2－sin
x
2
cos
x
2
.
[解](1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(3)y′＝
x2＋1－2x2·lnx
xx2＋12
.
(4)∵y＝x2－sin
x
2
cos
x
2
＝x2－
1
2
sinx，
∴y′＝2x－
1
2
cosx.
1．(变条件)把例2(4)的函数换成“y＝xtanx”，求其导数．
[解]y′＝(x·tanx)′＝
xsinx
cosx
′
＝
xsinx′cosx－xsinxcosx′
cos2x
＝
sinx＋xcosxcosx＋xsin2x
cos2x
＝
sinxcosx＋x
cos2x
.
2．(变结论)求例2(3)中的函数在点(1,0)处的切线方程．
[解]∵y′|x＝1＝
1
2
，
∴函数y＝
lnx
x2＋1
在点(1,0)处的切线方程为y－0＝
1
2
(x－1)，即x－2y－1＝0.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导
数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导，如求y＝1－2sin2
x
2
的导数，因为y＝1－2sin2
x
2
＝
cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
1．给出下列命题：
①y＝ln2，则y′＝
1
2
；②y＝
1
x2
，则y′|x＝3＝－
2
27
；
③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝
1
xln2
.
其中正确命题的个数为()
A．1B．2
C．3D．4
C[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－
2
x3
，∴y′|x＝3＝－
2
27
，故②正确；显
然③，④正确，故选C.]
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝
1
4
，则α等于()
A.
1
3
B.
1
2
C.
1
8
D.
1
4
D[∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝
1
4
.]
3．设y＝－2exsinx，则y′等于()
A．－2excosxB．－2exsinx
C．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)
D[∵y＝－2exsinx，∴y′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx)．]
4．曲线y＝
9
x
在点M(3,3)处的切线方程是________．
x＋y－6＝0[∵y′＝－
9
x2
，∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.]
5．求下列函数的导数：
(1)y＝
5
x3；(2)y＝log2x2－log2x；
(3)y＝
cosx
x
；
(4)y＝－2sin
x
2
1－2cos2
x
4
.
[解](1)y′＝(
5
x3)′＝
x
3
5
′
＝
3
5
x
3
5
－1＝
3
5
x－
2
5
＝
3
5
5
x2
.
(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝
1
xln2
.
(3)法一：y′＝
1
x
·cosx
′
＝
1
x
′
cosx＋
1
x
(cosx)′＝
x－
1
2
′
cosx－
1
x
sinx
＝－
1
2
x－
3
2
cosx－
1
x
sinx＝－
cosx
2x3
－
1
x
sinx＝－
cosx
2xx
－
1
x
sinx＝－
cosx＋2xsinx
2xx
.
法二：y′＝
cosx
x
′
＝
()cosx
′x－cosxx′
x2
＝
－sinx·x－cosx·
1
2
·x－
1
2
x
＝－
xsinx＋
cosx
2x
x
＝－
cosx＋2xsinx
2xx
.
(4)∵y＝－2sin
x
2
1－2cos2
x
4
＝2sin
x
2
2cos2
x
4
－1
＝2sin
x
2
cos
x
2
＝sinx，
∴y′＝(sinx)′＝cosx．