直线与椭圆的位置关系
-计算机二级真题
2023年2月15日发(作者：我的假日生活普通话三分钟)直线与椭圆的位置关系及弦长问题
一、教学目标
1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式
来研究直线与椭圆的各种位置关系；
2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；
3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重
要解题技巧；
二、重点难点
利用“数〞与“形〞的结合，利用方程解决直线与椭圆的位
置关系和有关弦长等问题.
三、教学方法导学——讨论式，多媒体课件辅助教学.
四、教学过程
〔一〕设置情境导入新课
在已经研究过直线与圆的各种位置关系，通常用圆心到
直线的距离的变化来判断直线与圆的各种不同的位置关系.
但这种方法能用于直线与椭圆的位置关系的讨论吗？不能！
那么怎么办？将两个方程联立，转化为一个关于x(有时也
可以转化为关于y)的一元二次方程来研究、讨论.而我们对
一元二次方程是比拟熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武
器〞来研究、讨论、解决陌生的直线与椭圆的位置关系及其
有关问题.
〔二〕复习稳固
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？怎么判断它们之间
的位置关系？
问题2：椭圆与直线的位置关系有哪几种？
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？
〔三〕新课讲解:
例1：直线Y=X-1/2与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。
方法归纳：椭圆与直线的位置关系及判断方法
判断方法:
〔1〕联立椭圆与直线方程组成的方程组;
〔2〕消去一个未知数,得到一元二次方程,其判别式为Δ;
（3）△<0直线与椭圆相离
△=0直线与椭圆相切
△>0直线与椭圆相交
变式练习：k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6相交?
相切?相离?
例2：斜率为1的直线l过椭圆X2/4+Y2=1的右焦点F2，
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长。
法1：解方程组得A、B的坐标再求|AB|
法2：利用韦达定理与弦长公式求.
直线与二次曲线相交弦长的求法：
1、直线与圆相交的弦长
2、直线与其它二次曲线相交的弦长
例3过椭圆X2/16+Y2/4=1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被
点M平分，求这条弦所在直线的方程．
小结：弦中点、弦斜率问题的两种处理方法:
〔1〕联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决；
〔2〕点差法：设弦的两端点坐标，代入曲线方程相减后分
解因式，便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系
起来。
变式：椭圆X2/16+Y2/4=1斜率为1的直线l交椭圆于A，
B，求弦AB的中点M的轨迹方程.
〔四〕当堂检测:
1、如果椭圆被X2/2+Y2=1的弦被〔4，2〕平分，那
么这弦所在直线方程为〔〕
A、x-2y=0B、x+2y-4=0
C、2x+3y-12=0D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆X2/5+Y2/m=1恰有公共点，则m的范围()
A、〔0，1〕B、〔0，5〕
C、[1，5〕∪〔5，+∞〕D、〔1，+∞〕
3、过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为300的直线交
该椭圆于A、B两点，则弦长|AB|=,通径长是。
〔五〕课堂小结：
1.解决椭圆与直线的位置关系的问题时，一般是将曲线问题
转化为方程或方程组的问题，从而以“数〞为工具解决“形〞
的问题，这种“数〞与“形〞之间的互相转换是多种数学思
想的充分表达；
2.在解决有关问题时，首先要努力设法运用常规的方法，即
“通性、通法〞，这是学习数学的一条最重要的准则，所以
必须熟练掌握有关的根底知识和根本技能，并努力做到融会
贯穿和灵活运用。