方程怎么解
-医院实习证明
2023年2月15日发(作者：无限人偶)1
绪论
在数学研究的许多领域中如代数学、几何学、概率论等都涉及函数方程问题，
在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、
经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此
一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.由于函数方程形式
多样，涉及面广，难度大，需要大量的数学基础知识.尤其是在中学数学教学中，
函数方程是最基本、最易出现的问题，也是历年高考的重点.在中学教学和国内
外数学竞赛中，经常遇到函数方程问题.这类题目一般是求解某一给定的函数方
程，而数学上尚无一般方法可循.当然，较大一部分中学生在遇到这类问题时，
常常没有比较清晰的解题思路.本文就着重以函数与方程的性质来讨论函数方程
在中学数学中的应用，及解决问题的途径，并通过实际问题的求解过程来阐述.
首先，我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、函数方程的解
以及解函数方程.
其次，利用函数与方程的基本性质，就中学数学中常出现的方法进行归纳并
结合相应的例题解析.当然由于中学数学中考查点的不同，我们的讨论也有所侧
重.对常见的方法包括换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定
系数法等均会加重笔墨，尤其会给出一些较为典型的例题分析以及巧解的方法，
而对于不常用的方法本文也会提到，以让读者了解到比较前全面的函数方程问题
的解题策略.
最后，就种种方法进行总结归纳.“法无定法”，关键在于人们对问题的观察、
分析，进而选择最优的方法来解决问题.很多情况下，由于解决的途径并不唯一，
所以在解决问题的时候一般采用多种方法同步求解，以达到简化求解过程的目
的.
1函数方程的一些相关概念
1.1函数方程的定义
含有未知函数的等式叫做函数方程.如()()fxfx，()()fxfx，
(1)()fxfx等，其中()fx即是未知函数.
1.2函数方程的解
设某一函数()fx对自变量在其定义域内的所有值均满足某已知方程，那么
把()fx就叫做已知函数方程的解.即能使函数方程成立的()fx就叫做函数方程
的解.函数方程的解可能是一个函数，也可能是若干个函数或无穷多个函数或无
解.如偶函数、奇函数、()1fxx分别是上述各方程的解.
1.3解函数方程
求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程.即指的是在
不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，
2
或求出某些函数值，或证明这个函数所具有的其他性质.
2函数方程的常见解法
由于函数与方程的性质极多，解题的方法也形式多样，出现较为频繁的有换
元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法、数学归纳法等等.
2.1换元法（代换法）
换元法又叫代换法或引进辅助未知数法或定义法.将函数方程中的自变量适
当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个
新的较为简单的函数方程，然后直接求解未知函数.但值得注意的是，某些换元
会导致函数的定义域发生变化，这时就需要进行验证换元的可行性.
例2.1已知2(1cos)sinfxx,求()fx.
分析此题是一个最基本的函数方程问题，要求解函数()fx的表达式，就需
要将1cosx和2sinx进行转化.当然，我们可以先用换元法把x,y用t代替，消
去x,y，就得到一个关于t的解析式，再用x替代t，于是得解.但这里我们还给
出了另外的解法，就是用()yfx的参数表达式进行求解.
解法一令1cosxt,所以
cos1xt，
因为
1cos1x,
所以
01cos2x,
即
02t.
又因为
22(1cos)sin1cosfxxx,
所以
22()1(1)2ftttt，(02)t，
故
2()2fxxx，(02)x.
解法二设所求函数()yfx的参数表达式
1cosxt，
2sinyt，
即得
cos1tx，（1）
2sinty.（2）
2(1)(2)，消去参数t，得
2(1)1xy，
整理，得
3
22yxx
，
[0x
,
2]
，
即
2()2fxxx
,
[0x
,
2]
.
在本题中，由于三角函数可以相互转化，很容易看出1cosx与2sinx之间的
联系，然后直接利用换元法进行转化，但考虑到x（或t）的定义域，这个环节
一般容易出错.故一般采用后面介绍的参数法相对来说也就简单多了.
2.2赋值法
赋值和代换是确定适合函数方程的函数性质的基本方法，根据所给条件，在
函数定义域内赋与变量一个或几个特殊值，使方程化繁为简，从而使问题获解.
例2.2.1函数:fNN
（N
为非负整数），满足：
（i）对任意非负整数n，有(1)()fnfn；
（ii）对任意,mnN
，有(())()1fnfmfnm.
求(2001)f的值.
分析本题欲求(2001)f的值，则须了解()fn有什么性质.由条件（i）、（ii）
可以联想到(0)f的取值是本题的关键，而分别利用条件（i）、（ii）进行推导，
并结合反证法推出矛盾，得到(0)f的唯一值，进而得解.
解令(0)fk，其中k为非负整数.由(ii)得
()()1fnkfn.（1）
若0k，则
()()1fnfn，
矛盾.故0k，由（i）有
(1)()()1fnkfnkfn.（2）
若1k，则
11nkn，
于是由（i），得
(1)(1)()1fnkfnfn，（3）
但（2）与（3）矛盾，故1k是惟一解.当1k时，式（1）为
(1)()1fnfn，
此函数满足条件（i）、（ii），所以得惟一解(2001)2002f.
例2.2.2解函数方程()()2()cosfxyfxyfxy.
分析此题是函数方程里较为典型的一个问题，在很多文章中都有提到.本
题中方程含有,xy两个未知数，对于一个方程，首先想到的就是消元，考虑到三
角函数cosy的特殊性质，可用一些比较特殊的值分别去代换,xy，再求得()fx的
表达式.
解在原方程中令0x,yt得
()()2(0)cosftftft，（1）
再令
2
xt
,
2
y
得
4
()()0ftft，（2）
又再令
2
x
,
2
yt
得
()()2()sin
2
ftftft
，（3）
（1）+（2）-（3）得
()(0)cos()sin
2
ftftft
.
令(0)af，()
2
bf
并将t换成x得
()cossinfxaxbx
,（a,b均为任意常数）.
代入（1）式验证
()()fxyfxy
cos()sin()cos()sin()axybxyaxybxy
2coscos2sincosaxybxy
2cos(cossin)yaxbx
2()cosfxy.
所以()fx是函数方程（1）的解.
赋值法是很特殊的一种方法，首先它考验人们的“眼力”，即根据所给出的
式子找出其规律；其次，就是“笔力”即计算方面的能力，所赋的值即某些特殊
值要有助于解题；最后，不难看出赋值法其实就是与代换法、消元法等方法相结
合的一种方法.如例2.2.1就是赋值法与反证法相结合，例2.2.2是赋值法、代换
法、消元法结合的典型.
2.3迭代周期法（递推法）
函数迭代是一类特殊的函数复合形式.一般由函数方程找出函数值之间的关
系，通过n次迭代得到函数方程的解法.
例2.3.1对任意正整数k，令()fk定义为k的各位数字和的平方，求
2001(11)f.
分析本题是迭代的简单运用题，由“()fk定义为k的各位数字和的平方”
入手，可以找出11与函数方程以及函数值之间的关系，结合数列相关知识通过n
次迭代从而求解.
解由已知有12(11)(11)4f，
2(11)((11))(4)16ffff，
322(11)((11))(16)(16)49ffff，
432(11)((11))(49)(49)169ffff，
542(11)((11))(169)(169)256ffff，
652(11)((11))(256)(256)169ffff，
„
5
从而当n为大于3的奇数时，
(11)256nf
，
当n为大于3的偶数时，
(11)169nf
，
故
2001(11)256f
.
例2.3.2设
()fx
定义在自然数集N上，且对任意
,xyN
，都满足
(1)1f
,
()()()fxyfxfyxy
，求
()fx
.
解令
1y
,得
(1)()1fxfxx
，
再依次令1x,2„,1n,有
(2)(1)2ff，
(3)(2)3ff，
„
(1)(2)(1fnfnn，
()(1)fnfnn，
依次代入，得
()(1)23fnf„
(1)
(1)
2
nn
nn
，
所以
(1)
()
2
xx
fx
，()xN
.
前面的例2.3.1仅是迭代的入门题，可以直接根据函数方程找出函数值之间
的关系，然后通过n次迭代进行求解.而在迭代问题中，很大一部分题目并不是
仅借助迭代的思想来解决的，而是综合所学知识进行求解.如例4.2就是赋予一
些特殊值，再利用递推法简化问题，从而求解.
2.4待定系数法
待定系数法适用于所求函数是多项式的情形，且已知所求函数解析式的类
型，可先设出一个含有特定系数的代数式，然后利用恒等式的性质，或将已知条
件代入，建立方程（组），通过解方程（组）而求出待定系数的值，或者消除这
些待定系数，使问题得以解决.
例2.4.1已知()fx是一次函数，且[()]41ffxx,求()fx.
解因为()fx是一次函数，不妨设()(0)fxaxba，又因为
[()]41ffxx，
所以
()()41faxbaaxbbx,
即
241axabbx，
于是有
6
24a，
1abb.
解这个方程组得
2a，或者2a，
1
3
b，1b.
所以
1
()2
3
fxx或()21fxx.
本题考虑到
()fx
是一次函数，故可设出
()fx
的一般形式，再由条件
[()]41ffxx
代入
()fx
进而对应求出a,b.这属于较简单的待定系数法应用，
而对于关系
f
有很多次的就另当别论了.
例2.4.2已知()fx是一次函数，且
10次迭代
{[(fff„())]}10241023fxx，
求()fx.
分析观察本题，()fx是一次函数且函数方程是一个10次迭代的方程，要
怎样进行思考呢？只能依据题中最基本的条件进行解决，故而给出如下解法：
解设()(0)fxaxba，则
(2)2()[()]()()(1)fxffxfaxbaaxbbaxab，
(3)(2)232()(()){[()]}[(1)](1)fxffxfffxfaxabaxaab，
„
(9)1098(())(ffxaxaa„1)ab.
因为
(10)()10241023fxx，
所以
10101024(2)a，
98(aa„
101
1)1023
1
a
abb
a
.
解方程组得
2a，1b或2a,3b.
故所求的一次函数为
()21fxx或()23fxx.
观察题中条件，问题的难度比例2.4.1的增加了许多，这又怎么做呢？万变
不离其宗，仍采用待定系数法进而找出规律，并结合等比数列相关性质而求得
a,b，但要注意解决这类问题时千万不要漏根.
2.5数学归纳法
数学归纳法主要适用于定义域是正整数的函数方程，其解题方法是通过对
7
(1)f
,
(2)f
,
(3)f
,„的具体计算，加以概括抽象，提出对
()fn
的解析式的一个
猜想，然后用数学归纳法对猜想进行证明.
根据已知条件，首先运用赋值法求出函数
()fx
在某些点的特殊值，再猜想
()fx
的表达式，最后用数学归纳法证明此猜想.
例2.5.1函数
()fn
的定义域为正整数集，值域为非负整数集，所有正整数
m,n满足
()()()0fmnfmfn
或1;
(2)0f
,
(3)0f
,
(9999)3333f
,
求
(1982)f
.
解由
(11)(1)(1)0fff
或1，而
0(2)2(1)ff
，
所以
(1)0f
，
由
(21)(2)(1)0fff或1，
得
(3)0f或1，
因为(3)0f，所以
(3)1f，
同理，可推得
(32)2f，(33)3f„
已知(9999)(33333)3333ff，猜想(3)fkk,(3333)k.
下面用数学归纳法证明.
（1）由上可知，1k,2,3时，结论成立.
（2）假设对小于k的一切自然数，结论成立.则
(3)[3(1)3]fkfkk
[3(1)](3)fkf
11k
k，
即
(3)(3333)fkkk，
如果(3)1fkk，则
(9999)(99993)(3)ffkfk
33331kk
3333，
与题设矛盾，所以
(3)fkk，
显然，有
660(1982)661f.
若(1982)661f，则
8
(9999)(5198289)ff
5(1982)(89)ff
5661(89)f
330529
3333，
与题设矛盾.所以
(1982)660f
.
例2.5.2已知2()2fxxx
，求
()nfx
.
解由2()(1)1fxx
，因此有
22242()(())((1)1)(1)1(1)1fxffxfxxx，
233222()(())((1)1)(1)1fxffxfxx，
猜想2()(1)1nnfxx.
下面用归纳法证明.
（1）显然2n时，猜想成立.
（2）假设对n成立，即
2()(1)1nnfxx，
则
(1)()(())nnfxffx
2((1)1)nfx
22((1)11)1nx
12(1)nx.
综合（1）、（2），对任意nN，有
2()(1)1nnfxx.
数学归纳法一般适用于证明题，但有时候不排除这类找规律、猜想进而证明
猜想的问题.遇到这种问题的时候，首先要找准规律，证明起来也就会很轻松了.
2.6数列法
利用等比、等差数列相关知识（通项公式、求和求积公式），求定义在N上
的函数()fx.
例2.6已知(1)1f，且对任意正整数n都有(1)3()2fnfn，求()fn.
解在已知等式两边都加上1，得
(1)12f，
(1)13()213[()1]fnfnfn，
所以
(1)1
3
()1
fn
fn
.
因此，数列{()1}fn是首项为(1)12f，公比为3的等比数列，它的第n
项为
1()123nfn，
9
故
1()231nfn
.
熟悉等差、等比数列的相关性质如公差（比）、求和公式等，运用起来解决
本题就会感到得心应手.
2.7反证法
反证法在数学上使用得相当普遍，即一些问题从正面直接证明有困难，而它
的结论的相反结论比原结论更具体，更明确，易于导出矛盾，这时一般采用反证
法.先从已知条件中得出满足函数方程的一些特殊解，然后再用反证法证明除了
这些解以外无其他解.
例2.7设
f
:
(0
,
)(0
,
)
是连续函数，若对x，
(0y
,
)
,有
()
(())
fx
fxfy
y
.（1）
证明此函数方程无解.
证明在（1）中取1xy，得
((1))(1)fff，
取(1)yf，得
()
(((1)))
(1)
fx
fxff
f
，
再取1y，得
((1))()fxffx.
从而有
()
()((1))(((1)))
(1)
fx
fxfxffxff
f
，
即
(1)1f.
在（1）中取1x，得
(1)1
(())
f
ffy
yy
，
联立（1）推出
()
((()))()
()
fxx
fxffyf
fyy
，
10
即
()()()
x
fxfyf
y
.
取xst，yt,s,
(0t
,
)
,有
()()()fstftfs
，s,
(0t
,
)
，（2）
我们知道满足上面函数方程的连续函数为
()afxx
，
(ln())afe
.
由
1
(())ffy
y
，知
21ayy，
即
21a.
矛盾，所以（1）没有连续解.
2.8不等式法
在推导过程中，主要利用不等式(0
2
ab
aba
,0)b的等式成立的充要
条件ab.
例2.8设()fx的定义域为（0，1），且
()(1)
2
()(1)
fxfx
fyfy
,x,(0y,1).（1）
若()0fx，(0x,1)且
1
()1
2
f，求fx().
分析本题给出了函数()fx的一系列成立的条件，只要依据条件进行思考
就很容易解决了.首先我们知道函数()fx有一个特殊值
1
()1
2
f，而函数方程（1）
中有,xy两个未知量，故而解决问题时考虑到消元，并尽量结合
1
()
2
f的值来使问
题简化.
解在（1）式中取
1
2
y，得
()(1)
2()(1)
11
()(1)
22
fxfx
fxfx
ff
，（2）
再在（1）式中取
1
2
x，yx得
11
11
()()
11
22
2
()(1)()(1)
ff
fxfxfxfx
，（3）
把（2）和（3）相加得
4
11
()(1)
()(1)
fxfx
fxfx
21
2()2(1)
()(1)
fxfx
fxfx
4，
所以
1
()
()
fx
fx
，
即
2(())1fx，
因为()fx是正的，故()1fx,(0x,1).
3其它方法
前面介绍的几种方法在中学数学中比较常见，应用起来也得心应手.但初等
问题何其繁多，解决的途径也就形式多样.还有很多其它的方式，由于本文篇幅
有限，在此仅给出方法及其概念.如：参数法、配凑法、通解问题、多项式法以
及柯西法等.
参数法即先设参数再消去参数得出函数的对应关系，而求出()fx.前面在例
2.1.1的解法二已经就参数法进行作答，在此我们就不再讲解了.
配凑法是根据函数的概念、对应法则并结合配方法求解函数方程的一种基本
方法.当我们不能利用设元法求解时，配凑法不失为一种有效的方法，也是应用
定义的一种方法.
前面已经介绍了很多求解函数方程的方法.然而，求一个或若干个解也许容
易，如果要求出一个函数方程的所有解常常遇到困难.这时就是所谓的通解问题.
我们知道，只要给出函数在一个周期内的函数值，则需要将定义域延拓到整个实
数域R上，从而求得的()fx就是相应函数方程的解.例如函数方程
()()fxTfx，xR，
对以[0,]T为定义域的任意函数()gx，都可以得到函数方程的解
()gx，当0xT时；
()fx
()gxnT，当(1)nTxnT时.
12
其中n为整数.
当函数方程中的未知函数是多项式时，就称为多项式函数方程.这是函数方
程中较为常见、也较简单的一类.多项式法就是利用多项式相等的原理，通过比
较等式两边的次数、系数，或通过比较方程的根的个数来求出多项式函数方程的
解的方法.
方程
()()()fxyfxfy
称之为Cauchy方程，是法国数学家Cauchy最早研
究并解决的.他的解法是一种逐步扩充其定义域的推理方法，即先在自然数集上，
求其函数方程应具有的形式，然后逐步证明这种解的定义域可扩充到整数、有理
数、无理数直到实数.这种解题方法后人称之为Cauchy方法.在
()fx
单调（或连
续）的条件下，先将自变量考虑成自然数求出函数方的解，然后证明该解的表达
式当其自变量取成整数、有理数及实数时仍然满足该函数方程，从而获得函数方
程的解.但它受函数连续性要求的限制.柯西法在高等数学中的使用频率极高，故
在中学里只需了解就可.
结论
由于函数方程的形式相当多，解决的方式也就相对的丰富.尤其是在高等数
学中，运用微积分解决函数方程问题就显得非常简单了；但在初等解法里，方式
方法丰富多样：换元法（代换法）、赋值法、待定系数法、迭代周期法（迭代法）、
数学归纳法、数列法、反证法及不等式法等，都是常见而且易懂的初等解法.但
在解决很多问题时，不仅仅使用一种方法，也有几种方式相结合而进行的，如：
例2.2.2就是换元法与赋值法的结合，例2.7是赋值法与反证法的结合.
在求解某些问题时，通过构造函数方程，也可以将问题转化为函数方程分解，
从而使问题比较简化、明了.
13
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14
致谢
在本篇论文的选题，以及写作过程中，承蒙指导教师代泽明副教授的悉心指导，多次修
改终于完成了本篇论文.在此我向代老师致以诚挚的感谢：通过这次论文的编写我感受到了
学术编写的困难和乐趣，深省数学知识在各学科中的重要作用.同时，也感谢同组的所有同
学，他们在我写作此篇论文的过程中也给予了我很多帮助.
大学四年转瞬即逝,作为一名即将毕业的学生,我感谢绵阳师范学院的所有老师,感谢你
们在这四年里对我的谆谆教导；感谢你们在这四年里对我的培养；感谢你们在这四年里对我
的关怀；感谢你们为祖国培养了一批又一批优秀的人民教师.
最后祝愿绵阳师范学院的明天更美好！祝愿数学与信息科学系前程似锦！祝愿所有老师
身体健康，工作顺利！
范臣菊
2007年5月30日