椭圆的第二定义

椭圆的第二定义

-爱护环境的手抄报

2023年2月15日发(作者：排序题)

1

高考数学-椭圆第二定义应用

一、随圆的第二定义（比值定义）：

若

），ee

d

MF

为常数10(,则M的轨迹是以F为焦点，L为准线的椭圆。

注：①其中F为定点，F（C，0），d为M到定直线L：

c

a

x

2

的距离

②F与L是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

二、第二定义的应用

[例1]已知1

1216

,)3,2(

22



yx

FA是的右焦点，点M为椭圆的动点，求MFMA2的最小值，

并求出此时点M的坐标。

分析：此题主要在于MF2的转化，由第二定义：

2

1

e

d

MF

，可得出dMF2，即为

M到L（右准线）的距离。再求最小值可较快的求出。

解：作图，过M作lMN于N，

L为右准线：8x，

由第二定义，知：

2

1

e

d

MF

，

MNdMF2

,2MNMAMFMA

要使MFMA2为最小值，

即：MFMA为“最小”，

由图知：当A、M、N共线，

2

即：

lAM

时，MFMA2为最小；

且最小值为A到L的距离=10，

此时，可设)3,(

0

xM，代入椭圆方程中，

解得：32

0

x故当)3,32(M时，

MFMA2为的最小值为10

[评注]：

（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简

单。

（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。

[例2]：设),(

00

yxP为椭圆)0(,1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

的一点，离心率为e，P到左焦点F

1

和右焦

点F

2

的距离分别为r

1

，r

2

求证：

0201

,exarexar

证明：作图，

由第二定义：

e

c

a

x

PF





2

0

1

即：

aex

c

a

xe

c

a

xePFr

0

2

0

2

011

)(

又aPFPF2

21



0012

)(22exaexaarar

注：①上述结论

01

exar，

02

exar称为椭圆中的焦半径公式

②axaexarPF

0011

由得出

caaearcaeaar)(

11

且

即caPFca

1

当）a，（，PcaPF0

1

为时

3

当）（a，，PcaPF0

1

为时

[练习]

（1）过1

9

2

2

y

x

的左焦点F作倾斜角为300的直线交椭圆于A、B两点，则弦AB的

长为2

分析：是焦点弦AB

）x（xea）ex（a）ex（aBFAFAB

BABA

2

只需求?

BA

xx（用

联立方程后，韦达定理的方法可解）

（2）1

4864

21

22



yx

、FF为的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若,3

21

PFPF则P到左

准线的距离为24

分析：由焦半径公式，设

）yxp

00

,(得

，x）exaexa8(3

000

即

又左准线为：16x则P到左准线距离为8-（-16）=24

[例3]设椭圆的左焦点为F，AB过F的弦，试分析以AB为直径的圆与左准线L的位置

关系

解，设M为弦AB的中点，（即为“圆心”）

作，ALAA

11

于，BLBB

11

于

，MLMM

11

于

由椭圆的第二定义知：

)(

11

BBAAeBFAFAB

10e

11

BBAAAB

又在直角梯形

11

AABB中，

1

MM是中位线

111

2MMBBAA

即：

1

2MMAB

12

MM

AB



4

（

2

AB

为圆M的半径

1

MMr，为圆心M到左准线的距离ddr

故以AB为直径的圆与左准线相离

5

椭圆第二定义的应用练习

1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e等于（）

A．

2

1

B.

3

1

C.

4

1

D.

4

2

2、椭圆的两个焦点是)3,0(

1

F和)3,0(

2

F，一条准线方程是

3

16

y

，则此椭圆方程是（）

A．1

916

22



yx

B.1

716

22



yx

C.1

169

22



yx

D.1

167

22



yx

3、由椭圆1

169

22



yx

的四个顶点组成的菱形的高等于：。

4、不论k为何实数值，直线y=kx+1和焦点在x轴的椭圆

1

5

22





yx

总有公共点，则



的

取值范围是：。

5、已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值．

6、已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，

ba3

，求椭圆的标准方程．

6

7、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为

3

54

和

3

52

，过P点

作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

8、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程．

分析：可设其方程为122nymx(

0m

，

0n

)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可

求出方程．

7

椭圆第二定义的应用练习答案：

1、（A）2、（D）

3、

5

24

4、51。

5、故

5m

．6、1

981

22



xy

．

7、1

10

3

5

22



yx

或1

510

322



yx

．

8、1

515

22



yx

．