函数的性质

函数的性质

-实习报告

2023年2月15日发(作者：拿拿声)

§1.3函数的基本性质

教材分析

函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观

的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的

共同特征，并用数学语言来定义叙述。基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的

形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。

学情分析

学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽

象定义。另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如

平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。总之，本节

课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。

教学建议

以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概念的形成有一个清晰的认识，尤其是

概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。

教学目标

知识与技能

（1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征

（2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断

函数奇偶性

（3）单调性与奇偶性的综合题

（4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力

过程与方法

（1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语

言形式化的建立相关概念

（2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学

情感、态度与价值观

（1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳

（2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达

课时安排

（1）概念课：单调性2课时，最值1课时，奇偶性1课时

（2）习题课：5课时

第一课时单调性

教学重点

借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简

单函数的单调性问题

教学难点

（1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到

数学符号的语言表述

（2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取

21

,xx，且

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xx”的理解）

教学过程

一、由特殊到一般，引入课题

学生画图xy与xy，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受.

提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征函数值有什么样的变化特点能否借助

函数定义中

x

和y的对应来表达这种变化的规律

二、新课教学

老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数

无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律（统一从左往

右看意即我们规定自变量

x

越来越大的情况下，上升意味着函数值y越来越大，下降意味

着函数值y越来越小.）

一般地，设函数)(xf的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值

21

,xx，当

21

xx时，都有

)()(

21

xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是增函数；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值

21

,xx，当

21

xx时，都有

)()(

21

xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是减函数.

如果函数)(xfy在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数)(xfy在这一区间

具有（严格的）单调性，区间D叫做)(xfy的单调区间.

增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势；减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势.

三、重点强调1——单调区间

老师板书函数图象2xy，提问学生说出单调区间，指出同一函数在不同区间上单调

性是不一致的，即单调性是一个区间概念.

例1图1.3-4是定义在区间]5,5[上的函数)(xfy，根据图象说出函数的单调区间，

以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数

注记：

①单调性是一个区间概念，在端点处的单独一点的函数值是确定的常数，体现不出函数

值的增减变化，因此，写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理.

②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号、“或”字，加一个逗号就行了.

（因为]5,3[)1,2[代表的是一个集合，任取

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,xx的时候有可能是]5,3[

1

x而

)1,2[

2

x，进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识）.

③单调性是定义域内的局部概念，是依据区间而言的，类似于这样的定义域}7,5,3,1{是

不谈单调性的.

练习

x

y

1

的单调区间是什么

四、重点强调2——任意取自变量的含义及如何比较两个数大小

例2物理学中的玻意尔定律

V

k

p（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当

其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之

由于k为正常数，画出图像，可以看到函数是下降的，是减函数，那么就任意取两个自

变量

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,xx，比较他们相应的函数值的大小关系，提示方法，比较两个数大小关系常用的方

法就是作差法.通过本例，第一，要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法（任取自

变量——做差变形——判断符号），第二，要启发研究函数性质的常用方法：观察——猜想

——逻辑证明.

五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤

结合单调性的概念，要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降，即利用作差法比

较函数值的大小关系.

重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势，就不能取特殊值，

必须是任意选取（可以代表所有）；另一个重要点是约定统一从左往右看（自变量越来越大），

在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系，这才是单调性判别的重要工作.

第一，在指定区间任意取

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,xx，并且

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xx.

第二，做差

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yy，为了便于判断符号必须变形至①出现

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xx，②出现多项式

乘除的形式.

第三，判别符号，总结函数在指定区间是增函数、减函数，注意，判别符号一定要注意

逻辑！

六、课堂回顾

本节课学习了单调性的概念，利用概念去证明具体函数单调性的时候要注意，在区间上

任意取自变量，并写出函数值并做差来比较函数值大小，最终确定是增函数还是减函数.

单调区间的写法

七、作业

P39T1-3

八、板书设计

九、教后记

第二课时最大（小）值

教学重点

（1）进一步复习巩固单调性的概念

（2）最值的图形特征以及利用单调性解决最值问题

教学难点

最值定义的数学语言表述的抽象过程

教学过程

单调性

单调性的概念例1小结

注：

①例2

②

一、复习旧知

学生画图xy与12xy，请学生说出两个函数的单调性与单调区间，提问，能否

在两个图中找出最低点和最高点如果找到最低点，如何用数学中的数学符号表示出这个最低

点

对任意的Rx，都有1)(xf，那么函数值1就是函数12xy的所有函数值中最

小值.

对于函数12xy容易找出最高点，即所有函数值当中的最大值.

二、定义

一般地，设函数)(xfy的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的Ix，都有Mxf)(；

②存在Ix

0

，使得

Mxf)(

0

.

那么，我们称M是函数)(xfy的最大值，最小值的概念请一个学生口述.

最大值的图形特征是图像中的最高点，是函数值当中的最大的；最小值的图形特征是

图像中的最低点，是函数值当中的最小的.

三、强调

在定义中，最值首先必须是定义域内的自

变量对应的函数值，并且是唯一的.

反例：如图，对于任意的Ix，是否有

1

)(Mxf

1

M能否作为函数的最大值

提问：函数xy5，}5,4,3,2,1{x

值域是定义域是单调区间最大值是最小值是

四、例题

例3“菊花“烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂，

如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为187.149.42tth，那么烟花冲出

后什么时候是它爆裂的最佳时刻这时距地面的高度是多少（精确到1m）

审题：何时爆裂最佳即问何时高度最高直接画出图象求顶点坐标，写出结果.

例4已知函数])6,2[(

1

2

)(



x

x

xf，求函数的最大值与最小值

强调：观察——猜想——证明——求解这一逻辑过程.

五、课堂练习与作业

练习P32T5作业P39T4-5

六、课堂小结

1、函数最值的定义

2、求最值的一般方法

①函数如果是熟悉的一次、二次、反比例函数，可画出草图，由函数图象的性质直接写

出最值.

②不熟悉的函数先画草图，观察单调性，用定义证明单调性，利用单调性求最值.

七、教后记

第三课时奇偶性

教学重点

规范地用定义去判断函数的奇偶性以及奇偶性的图形特征

教学难点

分段函数奇偶性问题的处理

教学过程

一、导入及新课

1、观察图1.3-7，找出两个函数有什么共同特征如何定量的表示这种关系

2.一般地，如果对于函数)(xf的定义域内的任意一个

x

，都有)()(xfxf，那么

)(xf就叫做偶函数.

偶函数的图形特征是关于y轴对称！

3、再观察图1.3-9，类比偶函数定义及特征归纳奇函数的定义.

①奇函数的图形特征是关于原点对称！

②学生思考计算：在奇函数中，若0在定义域内的话，利用定义如何计算)0(f的值（提

示：“任意”二字的特殊化处理，从一般走向特殊）

最值

定义例3小结

强调例4

4、利用奇偶函数的图形特征，考察函数0y的奇偶性

5、再看图

两个图像是否关于y轴对称是不是偶函数为什么

二、例题讲解并学生总结奇偶性的判别方法

例1判断下列函数的奇偶性

①]3,2(,)(2xxxf②)2,2(,1)(2xxxf③Rxxxf,)1()(2

④

xxf)(

⑤xxxf2)(

判别奇偶性的一般步骤：（学生总结）

第一，判别函数定义域是否关于原点对称；第二，判别)(xf与)(xf

三、奇偶性函数图象的画法

例2P35P36T2

1、奇函数关于原点对称，如何体现在画图中

2、通过P36T2要提问奇偶函数在对称区间单调性的变化

四、分段函数的奇偶性解析式

把P35思考问题变换成如下问题：

已知函数)(xf是定义在R上的偶函数，当0x时，

xxxf3)(，求)(xf的解析

式

解略

条件变为)(xf是奇函数，学生独立完成，强调分段函数的各段能合并则合并.

五、回顾小结

1、奇偶性的概念及如何利用定义规范求解函数的奇偶性

2.奇偶函数的单调性变化情况及图形特征

3、分段函数的奇偶性问题

六、作业

P39T6

七、板书设计

奇偶性

定义例题小结

①

②

③

八、教后记