洛必达法则使用条件

洛必达法则使用条件

-速算24

1

教案编号:NO:11

课题:第三章导数的应用

第一节洛必达法则

教学时间:

教学班级:

授课类型:讲授新课

教学目的的要求:

1．应用洛必达法则求“

0

0

”型和“





”型及其他型未定式的极限；

2．通过法则及例题的讲解，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、

联想、归纳、分析、综合的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力；

3.培养学生感受数学的美，激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣；通过例题及课

堂练习培养学生养成虚心的学习态度及细心的做事习惯；通过讨论，提高学生的交流合

作的意识。

教学重点:

“

0

0

”型和“





”型未定式应用洛必达法则求极限方法及步骤。

教学难点:

洛必达法则使用的前提条件的理解。

“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结

慨括”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。

2

教学过程：

一、新课引入：

课题引入：1、复习极限的求解方法。

（1）利用函数的连续性求极限；

设函数

)(xf

是初等函数，定义域为

),(ba

，若),(

0

bax，则)()(

0lim

0

xfxf

xx





（2）当函数

)(xfy

在点

0

x处连续时，可以交换函数符号和极限符号，即

)()(lim

lim

0

0

x

xx

xx

fxf







（3）利用无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小求极限。

（4）利用无穷小与无穷大的倒数关系求极限。

（5）利用两个重要极限求极限，即：

1

sinlim

0





x

x

x

；e

x

x

x





)

1

1(lim或

ett

t





1

0

)1(lim

2、指出上述求极限方法的局限性，提出使用洛必达法则的必要性。

在求极限的过程当中常常遇到这样的情形，即在同一变化过程中分子

分母同时趋于零或同时趋于无穷大的情形，这时分式的极限可能存在

也可能不存在。通常分别称这两类极限为“

0

0

”型和“





”型未定

式，对于这样的未定式即使极限存在也不利用能直接应用极限法则来

计算，往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限法则或重要极限

计算的形式，但是这种变形往往很难，也往往无效，所以下面我们介

绍的洛必达法则将提供一种简便、可行、具有一般性的求未定式极限

的方法。

二、讲授新课

洛必达法则

定理1（洛必达法则Ⅰ）若函数)(),(xgxf满足条件：

(1);0)(lim,0)(limxgxf

(2))(),(xgxf在点

0

x的某个邻域内(点

0

x可除外)可导,且0)(

0





xg;

(3)A

xg

xf







)(

)(

lim(或)

则

A

xg

xf

xg

xf







)(

)(

lim

)(

)(

lim(或).

定理2（洛必达法则Ⅱ）若函数)(),(xgxf满足条件：

(1);)(lim,)(limxgxf

ydy

3

(2))(),(xgxf在点

0

x的某个邻域内(点

0

x可除外)可导,且0)(

0





xg;

(3)A

xg

xf







)(

)(

lim(或)

则A

xg

xf

xg

xf







)(

)(

lim

)(

)(

lim(或).

注:上面洛必达法则中的极限形式中,对于第一章里的任何一种极限形式都适

用.

三、例题讲解

例1求

x

x

x

2sin

lim

0

.

解此极限是"

0

0

"型，所以先对分式分子分母分别求导，符合洛必达法则Ⅰ条

件，即

x

x

x

2sin

lim

0

=

1

2cos2

lim

0

x

x

=2

例2求

x

ex

x3

1

lim

0





.

解此极限是"

0

0

"型，所以先对分式分子分母分别求导，符合洛必达法则Ⅰ条

件，即

x

ex

x3

1

lim

0





=

3

1

3

lim

0





x

x

e

例3求

2

ln

lim

x

x

x

.

解此极限是""





型，所以先对分式分子分母分别求导，符合洛必达法则Ⅰ

条件，即

2

ln

lim

x

x

x

=

x

x

x2

1

lim



=0

2

1

lim

2



xx

例4求

x

ex

x2

lim



.

解此极限是""





型，所以先对分式分子分母分别求导，符合洛必达法则Ⅰ条

件，即

x

ex

x2

lim



=

2

lim

x

x

e

4

洛必达法则可以用来求

0

""

0

、""





型未定式极限,其他形式的未定式均要化成

0

""

0

、""





型后,才可以使用洛必达法则,并且使用一次就要整理,然后判断是否可以

继续使用.洛必达法则可以使一些问题简化,但洛必达法则不是万能的,有些问题虽满

足洛必达法则条件,但是用此方法却求不出极限,所以当用洛必达法则行不通时,我们

要采用其他方法,因为不能用洛必达法则求出的极限不一定不存在。（如例6）

例5求xx

x

lnlim

0

.

解此极限是"0"型，首先将其化为""





，再按照洛必达法则Ⅱ求其极限，

即

xx

x

lnlim

0

=

x

x

x1

ln

lim

0

=



2

01

1

lim

x

x

x

)(lim

0

x

x





=0

例6求

1

sin

lim





x

xx

x

解我们容易看到，当

x

时，xxsin极限不存在，所以不满足用洛必

达法则条

件，不能对其分子分母直接求导。通过适当处理，使其分子分母极限存在，即

1

sin

lim





x

xx

x

=

x

x

x

x1

1

sin

1

lim







=1

本题虽然也满足洛必达法则但使用洛必达法则求不出极限,我们要选用其他方

法.所以对

于具体的问题要具体分析。

四、课堂练习：

1.练习：习题3-1（奇数题）

2.（1）求

xx

x

x





2

0

1e

lim…(

0

0

)

解：当0x时，有01ex和02x，这是

0

0

型未定式．由洛必达法则

xx

x

x





2

0

1e

lim=

12

e

lim

0x

x

x

=-1

（2）求

3

0

cos1

lim

x

x

x





…(

0

0

)

解：当0x时，有0cos1x和03x，这是

0

0

型未定式．由洛必达法则

3

0

cos1

lim

x

x

x





=

2

03

sinx

lim

xx

=

xx6

cosx

lim

0

5

（3）求

x

x

xln

cotln

lim

0

……(





)

解：当0x时，有xcotln和0lnx，这是





型未定式．由洛必达法

则

x

x

xln

cotln

lim

0

=

x

x

x

x1

)

sin

1

(tan

lim

2

0





=

xx

x

xsincos

lim

0

=-1

（4）求

n

xx

xln

lim



…(





)

解：当x时，有xln和nx，这是





型未定式．由洛必达法则

n

xx

xln

lim



=

1

1

lim





n

xnx

x

=0

1

lim



n

xnx

（5）求

127

13

lim

2

2





xx

xx

x

…（





）

解：

127

13

lim

2

2





xx

xx

x

=

214

16

lim





x

x

x

=

14

6

lim

x

=

7

3

五、课时小结：小结：洛必达法则使用的基本步骤为：

（1）分析未定式是“

0

0

”和“





”型；

（2）分子分母分别求导；

（3）整理

六、课后作业：习题3-1（偶数题）

七、板书设计：

第一节洛必达法则

一、洛必达法则Ⅰ

二、洛必达法则Ⅱ

例题练习（副板书）

八、课后分析：