开普勒三大定律
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2023年2月15日发(作者：生偏旁)望子成龙学校春季班（2012年）学会学习的人，是非常幸福的人
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应用一：开普勒三定律的应用
开普勒行星运动三大定律基本内容：
1、开普勒第一定律(轨道定律)：
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太
阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律(面积定律):
对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相
等的时间内扫过相等的面积。
3、开普勒第三定律(周期定律):
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期
的二次方的比值都相等。
实际应用：
1、如图所示是行星m绕恒星M运动的情况示意图，则下面的说法正确的是
A、速度最大的点是B点
B、速度最小的点是C点
C、m从A到B做减速运动
D、m从B到A做减速运动
2、哈雷彗星最近出现的时间是1986年，天文学家哈雷预言，这颗彗星将每隔一定时间就会出现，
请预算下一次飞近地球是哪一年？提供数据：（1）地球公转接近圆，彗星的运动轨道则是一个非常扁
的椭圆；（2）彗星轨道的半长轴R
1
约等于地球轨道半长轴R
2
的18倍。
3、神舟七号沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一
点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球
表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A点返回到地面B点所需的时间。
4、两颗行星的质量分别为m
1
和m
2
，它们绕太阳运动的轨道半径分别为R
1
和R
2
，若m
1
=2m
2
、R
1
=
4R
2
，则它们的周期之比T
1
：T
2
是多少？
5、2007年10月26日33分，嫦娥一号实施了第一次近地点火变轨控制，卫星进入了24小时周期椭
圆轨道运动，此时卫星的近地点约为200km，则卫星的远地点大约为（已知地球的半径为6.4×103km，
近地环绕卫星周期约为1.5h）：
A.4.8×105kmB.3.6×104km
C.7.0×104kmD.1.2×105km
8．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成
正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为
A．1.2亿千米B．2.3亿千米C．4.6亿千米D．6.9亿千米
水星金星地球火星木星土星
公转周期（年）0.2410.6151.01.8811.8629.5
R
R
0
A
B
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2
应用二：万有引力基本应用：
一、求解两物体间的万有引力
适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可
近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离．
注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理
意义是：G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．
【例1】如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，
对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？
变式：如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理求剩余部分对球外质点m的引力？
【拓展练习】
1-1、已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以
及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为
A.0.2B.2C.20D.200
二、万有引力和重力
问：已知地球质量为M，半径为R，地球自转速度增大时，赤道上的物体所受到的支持力将如何变化，
当地球的自转角速度为多少时，赤道上的物体会飘起来？
【例2】火星的质量和半径分别约为地球的
10
1
和
2
1
，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为
A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．5g
【拓展练习】
2-2.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600
N的人在这个行星表面的重量将变为960N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为
A．0.5B．2.
C．3.2D．4
三、天体表面重力加速度问题
【例3】某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝½g随火箭加速上升的过程
中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R＝6.4×103km,g
取10m/s2）
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【例4】有人利用安装在气球载人舱内的自由落体运动来确定气球的高度。已知该自由落体运动下落h所用时间为
t。求该气球此时离海平面的高度H。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。(地球表面重力加速度为g)
【例5】在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。
假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次
落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道半径为r，周期为T。火星可视
为半径为r0的均匀球体。
【拓展练习】
3-1．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初
速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计）
⑴求该星球表面附近的重力加速度g/；
⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。
四、天体质量和天体密度的计算
基本方法：星球表面重力等于万有引力（已知星球表面g）；由环绕星体相关物理量（T、v、角速度等等）
rfm
T
mrm
r
v
m
r
Mm
G2
2
2
2
2
2
2
【例6】登月火箭关闭发动机在离月球表面112km的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5min,月球的半径是1740km,
根据这组数据计算月球的质量和平均密度．
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【例7】已知火星上大气压是地球的1/200．火星直径约为球直径的一半，地球平均密度ρ地=5.5×103kg/m3，火星
平均密度ρ火=4×103kg/m3．试求火星上大气质量与地球大气质量之比．
【拓展练习】
4-1.已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运
转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地球作圆周运动，由
h
T
m
h
Mm
G
2
2
2
得
2
324
GT
h
M
⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。
⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
4-2．天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推
算出
A．行星的质量B．行星的半径
C．恒星的质量D．恒星的半径
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五、万有引力定律在圆周运动中的应用（天体环绕问题——周期、线速度、角速度等相关问题）
基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
rfm
T
mrm
r
v
m
r
Mm
G2
2
2
2
2
2
2
问：太阳系中各行星周期，线速度、角速度关系分析。
【例8】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有
引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星
间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运
行周期；（3）双星的线速度。
【拓展练习】
5-1．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中
星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m，利用地球
同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行
周期的是
A．0.6小时B．1.6小时C．4.0小时D．24小时
5-2．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速
圆周运动，则下列物理量变化正确的是
A．地球的向心力变为缩小前的一半
B．地球的向心力变为缩小前的
16
1
C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同
D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半
5-3．2007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c。这颗
围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为
地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星
球表面附近轨道，下列说法正确是
A．飞船在Gliese581c表面附近运行的周期约为13天
B．飞船在Gliese581c表面附近运行时的速度大于7.9km/s
C．人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大
D．Gliese581c的平均密度比地球平均密度小
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5-4（选做）
12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学
家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，
不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力
常量为G，由观测能够得到可见星A的速率
v
和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力
A
F可等效为位于O点处质量为m
的星体（视为质点）对它的引力，设A和
B的质量分别为
1
m、
2
m，试求m
（用
1
m、
2
m表示）；
（2）求暗星B的质量
2
m与可见星A的速率v、运行周期T和质量
1
m之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量
s
m的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率
smv/107.25，运行周期sT4107.4，质量
s
mm6
1
，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
（
kgmkgmNG
s
302211100.2,/1067.6）