双曲线第二定义
-各态历经性
2023年2月15日发(作者：江西工程职业学院)用心爱心专心
双曲线的第二定义
观察教材第57页例5我们可知双曲线的轨迹还可以用另一种形式给出，这就是双曲线
的第二定义，此定义可以快速解决某些双曲线问题，下面对其作简单介绍：
一、双曲线的第二定义
例1点
()Mxy，
与定点
(0)Fc，
的距离和它到定直线
2
:
a
lx
c
的距离的比是常数
(0)
c
ca
a
，求点M的轨迹．
解：设
d
是点M到直线
l
的距离．根据题意，所求轨迹就是集合
MF
c
PM
da
|，
由此得
22
2
()xcy
c
a
a
x
c
．化简，得22222222()()caxayaca．
设222cab
，就可化为
22
22
1(00)
xy
ab
ab
，
，这是双曲线的标准方程，所以点M的轨
迹是实轴长、虚轴长分别为
22ab，
的双曲线（如图）．
由例1可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
(1)
c
ee
a
时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，
常数e是双曲线的离心率．
对于双曲线
22
22
1
xy
ab
，相应于焦点
(0)Fc，
的准线方程是
2a
x
c
，根据双曲线的对称性，
相应于焦点
(0)Fc
，
的准线方程是
2a
x
c
，所以双曲线有两条准线．
二、第二定义的应用
例2一动点到定直线3x的距离是它到定点
(40)F，
的距离的
1
2
，求这个动点的轨迹
用心爱心专心
方程．
误：由题意知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，所以动点的轨迹是双曲
线．
又
(40)F，∵
，4c∴．
∵准线
3x
，
2
3
a
c
∴
，即22124ab，．
故双曲线方程为
22
1
1214
xy
．
析：错解中误认为曲线中心为原点．仅由焦点（即定点）
(40)F，
和准线（定直线）方程
3x
，不能得出
4c
及
2
3
a
c
．
正：由题设知离心率2e，
又定点
(40)F，
与定直线3x是双曲线相应的右焦点与右准线，
所以
2ca
，
2
1
a
c
c
，解得
24
33
ac，
．
所以双曲线中心为
8
0
3
O
，．
又2
4
3
b
，故双曲线方程为
22(38)3
1
44
xy
．
评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，
同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．