正三棱柱的性质

正三棱柱的性质

-护理实习自我鉴定

2023年2月15日发(作者：广州医药集团有限公司)

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1/9

高二数学棱柱知识精讲人教版

一.本周教学内容：

棱柱

1.棱柱的概念与性质

2.直棱柱是特殊的棱柱，具有棱柱的性质且还有自身的特点：

（1）侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高；

（2）侧面是矩形；

（3）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

（4）过不相邻的两条侧棱的侧面（对角面）是矩形。

长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。

3.特殊的四棱柱：平行六面体

①平行六面体的概念与性质

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【典型例题】

例1.斜三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱

AA

1

和底面相邻两边AB、AC都成45°角，求这个三棱柱的侧面积。

分析：求斜棱柱的侧面积一般有两种方法一是定义法，一是公式法。

解1：∵AA

1

和底面AB、AC成等角，且为45°角。

∴A

1

在底面ABC上的射影在∠BAC的平分线AG上。

又△ABC为正三角形∴AG⊥BC。

∵A

1

A在底面ABC上的射影在AG上。

∴BC⊥A

1

A又A

1

A∥B

1

B

∴B

1

B⊥BC，即侧面B

1

BCC

1

为矩形

∴S

B1BCC1

＝B

1

B·BC＝ab

又侧面A

1

ABB

1

和侧面A

1

ACC

1

都是平行四边形，全等。

解2：过点B，在侧面ABB

1

A

1

内，作BM⊥A

1

A，连结CM。

在△ABM和△ACM中，AB＝AC，∠MAB＝∠MAC＝45°，MA为公共边。

∴△ABM≌△ACM∴∠AMC＝∠AMB＝90°

∴A

1

A⊥截面BMC，即截面BMC为斜三棱柱的直截面。

说明：本题是棱柱侧面积公式的正面应用，公式正用的关键是创造公式中的应用条件，比如

作直截面，并确定其周长C

1

就是为了创造这种条件。

例2.如图所示，在正三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，E∈BB

1

，截面A

1

EC⊥侧面AC

1

。

（1）求证：BE＝EB

1

。（2）若AA

1

＝A

1

B

1

，求平面A

1

EC与平面A

1

B

1

C

1

所成二面角（锐角）

的度数。

分析：（1）着眼点：空间线面关系及正三棱柱性质的应用。

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3/9

证明：在截面A

1

EC内，过E作EG⊥A

1

C，G是垂足，如图

∵面A

1

EC⊥面AC

1

，∴EG⊥侧面AC

1

。

取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC。

∵面ABC⊥侧面AC

1

，∴BF⊥侧面AC

1

，

得BF∥EG。BF和EG确定一个平面，交侧面AC

1

于FG。

∵BE∥侧面AC

1

，

∴BE∥FG，四边形BEGF是，BE＝FG。

∴BE∥AA

1

，∴FG∥AA

1

，△AA

1

C∽△FGC。

分析：（2）着眼点：构造二面角的平面角。关键：确定二面角的棱。

解：如图，分别延长CE和C

1

B

1

交于点D，连结A

1

D。

∵∠B

1

A

1

C

1

＝∠B

1

C

1

A

1

＝60°

∴∠DA

1

C

1

＝∠DA

1

B

1

＋∠B

1

A

1

C

1

＝90°，

即DA

1

⊥A

1

C

1

。∵CC

1

⊥面A

1

C

1

B

1

，

即A

1

C

1

是A

1

C在平面A

1

C

1

D上的射影，由三垂线定理得DA

1

⊥A

1

C，所以∠CA

1

C

1

是所求

二面角的平面角。且∠A

1

C

1

C＝90°。

∵CC

1

＝AA

1

＝A

1

B

1

＝A

1

C

1

，

∴∠CA

1

C

1

＝45°，即所求二面角为45°。

如果改用面积射影定理，则还有另外的解法。

另解：设△ABC的边长为a，截面A

1

EC和底面所成二面角为θ，

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4/9

∵CC

1

＝AA

1

＝A

1

B

1

＝a

∵0＜θ＜90°，∴θ＝45°。

即平面A

1

EC与平面A

1

B

1

C

1

所成角为45°。

例3.如图，正四棱柱ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，底面边长为22，侧棱长为4E，F分别为

棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.

（Ⅰ）求证：平面B

1

EF⊥平面BDD

1

B

1

；

（Ⅱ）求点D

1

到平面B

1

EF的距离d；

本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

（Ⅰ）证法一：连结AC

∵正四棱柱ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

的底面是正方形，

∴AC⊥BD，又AC⊥D

1

D，故AC⊥平面BDD

1

B

1

.

∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，

∴EF⊥平面BDD

1

B

1

，

∴平面B

1

EF⊥平面BDD

1

B

1

.

证法二：

∵BE＝BF，∠EBD＝∠FBD＝45°，∴EF⊥BD.又EF⊥D

1

D

∴EF⊥平面BDD

1

B

1

，∴平面B

1

EF⊥平面BDD

1

B

1

（Ⅱ）在对角面BDD

1

B

1

中，作D

1

H⊥B

1

G，垂足为H

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5/9

∵平面B

1

EF⊥平面BDD

1

B

1

，且平面B

1

EF∩平面BDD

1

B

1

＝B

1

G，

∴D

1

H⊥平面B

1

EF，且垂足为H，∴点D

1

到平面B

1

EF的距离d＝D

1

H.

解法一：在Rt△D

1

HB

1

中，D

1

H＝D

1

B

1

·sin∠D

1

B

1

H.

42222

1111

BABD

17

4

14

4

sinsin

22

1

1

111







GB

BB

GBBHBD

17

1716

17

4

4

1

HDd

解法二：∵△D

1

HB

1

～△B

1

BG，

GB

BD

BB

HD

1

11

1

1

17

1716

14

4

22

2

1

2

1

1







GB

BB

HDd

解法三：连结D

1

G，则三角形D

1

GB

1

的面积等于正方形DBB

1

D

1

面积的一半，

即2

1112

1

2

1

BBHDGB.

17

1716

1

2

1

1



GB

BB

HDd

【疑难解析】

1.棱柱的概念及其与各种特殊的棱柱的包含关系是学习的难点；棱柱有两个本质特征，一

个是有两个平面互相平行，一个是其余各面每相邻两个公共边都互相平行。

用集合的关系比较容易理解棱柱与特殊棱柱及其之间的关系：

｛棱柱｝＝｛直棱柱｝∪｛斜棱柱｝；｛直棱柱｝｛正棱柱｝

｛棱柱｝｛四棱柱｝｛平行六面体｝｛直平行六面体｝｛长方体｝｛正四

棱柱｝｛正方体｝。

棱柱概念、性质结构的“纽带”是“化归”方法，无论是定义还是性质，都是把它们转化为已熟

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6/9

悉的直线、平面的位置关系，棱柱主要侧面、对角面、底面和平行底面的截面及侧棱的性质。

2.正确计算棱柱的侧面积是本节的又一难点，侧面与侧面积是两个不同的概念，侧面积等

于所有侧面面积之和。

【模拟试题】

1.设M＝{直平行六面体}，N＝{长方体}，P＝{正四棱柱}，Q＝{直四棱柱}，这些集合间

的关系是（）

2.如图，长方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，对角线BD

1

与面ABCD、面CDD

1

C

1

、面ADD

1

A

1

成角分别记为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝______。

A.1B．2C.0.5

D.不是定值，与一个顶点上三条棱的长度有关

3.正三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，求证：（1）若AB

1

⊥BC

1

，则A

1

C⊥BC

1

；（2）若AB

1

与

BC

1

成θ角，则A

1

C与BC

1

也成θ角。

4.如图，已知正棱柱ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1，点E在棱D

1

D上，截面EAC∥D

1

B，且面EAC与

底面ABCD所成的角为45°，AB＝α.。

（Ⅰ）求截面EAC的面积；

（Ⅱ）求异面直线A

1

B

1

与AC之间的距离。

5.如图，直三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA

1

＝2，D、E分别是CC

1

与A

1

B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.（Ⅰ）

求A

1

B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A

1

到平面AED

的距离。

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7/9

[参考答案]

1.解：对于特殊的几类四棱柱之间的区别与联系应熟练掌握。

答案：D。

2.解：由长方体性质可知DD

1

⊥平面ABCD，连结BD，可知BD是BD

1

在平面ABCD上

的射影，则角∠D

1

BD为BD

1

与平面ABCD成角。

cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2

答案：B。

3.解：（1）如图（1），取BC中点D，B

1

C

1

中点D

1

，连结B

1

D，CD

1

．

∵△ABC，△A

1

B

1

C

1

是正三角形，

∴AD⊥BC，A

1

D

1

⊥B

1

C

1

又∵本题棱柱是正棱柱，侧棱与底面垂直，

∴BB

1

⊥AD，BB

1

⊥A

1

D

1

，

∴AD⊥面BCC

1

B

1

，A

1

D

1

⊥面BCC

1

B

1

，

∴B

1

D和CD

1

分别是AB

1

和CA

1

在面BCC

1

B

1

内的射影

∵AB

1

⊥BC

1

，∴B

1

D⊥BC

1

∵D，D

1

分别是BC，B

1

C

1

的中心，BCC

1

B

1

是矩形，

∴B

1

D∥CD

1

，∴CD

1

⊥BC

1

，

∴A

1

C⊥BC

1

（2）设E为AC中点，O为BC

1

中点，F为A

1

B

1

的中点，如图（2），连结EB，EO，FO，

FC

1

，则OE∥AB

1

，OF∥A

1

C，故∠BOE等于BC

1

与AB

1

所成之角，∠C

1

OF等于BC

1

与

A

1

C所成之角。

word

8/9

∵AB

1

＝2OE，A

1

C＝2OF，而AB

1

＝A

1

C，

∴OE＝OF，又∵BE＝C

1

F，OB＝OC

1

，

∴△BOE≌△C

1

OF，∴∠BOE＝∠C

1

OF，

故BC

1

与AB

1

所成之角等于BC

1

与A

1

C所成之角，都是θ

4.（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC。

又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角

∴∠EOD＝45°。

DO＝

a

2

2

，AC＝a2，Eo＝[2a·sec45°]/2＝a.

故S

△EAC

＝2a2/2

（2）解：由题设ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

是正四棱柱，得A

1

A⊥底面AC，A

1

A⊥AC。

又A

1

A⊥A

1

B

1

，∴A

1

A是异面直线A

1

B

1

与AC间的公垂线。

∵D

1

B∥面EAC，且面D

1

BD与面EAC交线为EO，∴D

1

B∥EO。

又O是DB的中点，

∴E是D

1

D的中点，D

1

B＝2ED＝2a。

异面直线A

1

B

1

与AC间的距离为2a。

5.（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A

1

B与平面ABD所成

的角。

设F为AB中点，连结EF、FC，D、E、分别是CC

1

、A

1

B的中点

又DC平面ABC，CDEF为矩形

连结DE，G是ADB的重心

GDF，在直角三角形EFD中

31

3

1

22FDEFFDFDFGEF，，

于是

3

6

3

21

2



EGEF，

332222

1

EBBAABCDFC，，，

word

9/9

3

2

3

1

3

6

sin

EB

EG

EBG

BA

1

与平面ABD所成的角是

3

2

arcsin

（Ⅱ）连结A

1

D，有

EAADAEDA

VV

11





,,,FABEFEFEDABED又

ABAED

1

平面

,设A

1

到平面AED的距离为h，

则

EDShS

ABAAED





13

62

h

故A

1

到平面AED的距离为

3

62