双曲线及其标准方程
-徐悲鸿故居
2023年2月14日发(作者：优保)1
数学·选修2-1
双曲线的标准方程及其几何性质
主讲教师：刘杨
【知识概述】
一、双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F
1
、F
2
(|F
1
F
2
|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，
则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.
二、标准方程与性质
标准
方程
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)
图
形
性
质
范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A
1
(－a,0)，A
2
(a,0)A
1
(0,－a),A
2
(0，a)
渐近线y＝±
b
a
xy＝±
a
b
x
离心率e＝
c
a
，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2
实虚轴
线段A
1
A
2
叫做双曲线的实轴，它的长|A
1
A
2
|＝2a；线段B
1
B
2
叫做双曲线的虚轴，它
的长|B
1
B
2
|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关
系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
2
数学·选修2-1
【学前诊断】
1．[难度]易
双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
2．[难度]中
双曲线方程：
x2
|k|－2
＋
y2
5－k
＝1，那么k的取值范围是．
3．[难度]中
若双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1的一条渐近线方程为
x
3
＋y＝0，则此双曲线的离心率为________．
【经典例题】
例1．在平面直角坐标系xOy中，已知
ABC
的顶点(6,0)A和(6,0)C，若顶点B在
双曲线
22
1
2511
xy
的左支上，则
sinsin
sin
AC
B
=______________.
例2．已知F是双曲线
22
1
412
xy
的左焦点，A（1,4），P是双曲线右支上的动点，则
PFPA的最小值为________________.
例3．根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线
22
1
916
xy
有共同的渐近线，且过点(3,23)；
(2)与双曲线
22
1
164
xy
有公共焦点，且过点(32,2)．
例4．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F
1
，F
2
，且|F
1
F
2
|＝
213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F
1
PF
2
的值．
3
数学·选修2-1
例5．已知双曲线的中心在原点，焦点F
1
、F
2
在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4,10).
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：
12
0MFMF
；
（3）求
12
FMF的面积.
【本课总结】
解题技巧
1．双曲线中a，b，c的关系
双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、
c.易见c2＝a2＋b2，若记∠AOB＝θ，则e＝
c
a
＝
1
cosθ
.
2．双曲线的定义用代数式表示为||MF
1
|－|MF
2
||＝2a，其中2a<|F
1
F
2
|，
这里要注意两点：
(1)距离之差的绝对值；(2)2a<|F
1
F
2
|.
这两点与椭圆的定义有本质的不同：
①当|MF
1
|－|MF
2
|＝2a时，曲线仅表示焦点F
2
所对应的一支；
②当|MF
1
|－|MF
2
|＝－2a时，曲线仅表示焦点F
1
所对应的一支；
③当2a＝|F
1
F
2
|时，轨迹是一直线上以F
1
、F
2
为端点向外的两条射线；
④当2a>|F
1
F
2
|时，动点轨迹不存在．
3．渐近线与离心率
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为
b
a
＝
b2
a2＝
c2－a2
a2＝e2－1.可以看出，双曲
线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
4.求双曲线的方程
求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并
注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2
＝λ(λ≠0)．
5．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.
6．共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭
的双曲线．所以与双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为
x2
a2－
y2
b2＝t(t≠0)．
7．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”
就得到两渐近线方程，即方程
x2
a2－
y2
b2＝0就是双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1的两条渐近线方程．
4
数学·选修2-1
易错防范
1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双
曲线中c2＝a2＋b2.
2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
3．双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±
b
a
x，
y2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方
程是y＝±
a
b
x.
4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线
与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有
一个交点．
【活学活用】
1．[难度]易
双曲线中心在原点，且一个焦点为F
1
(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF
1
的中
点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()
A.
x2
4
－y2＝1B．x2－
y2
4
＝1C.
x2
2
－
y2
3
＝1D.
x2
3
－
y2
2
＝1
2.[难度]中
某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A(－
2,23)，B
3
2
，－5
，则()
A．曲线C可为椭圆也可为双曲线B．曲线C一定是双曲线
C．曲线C一定是椭圆D．这样的曲线C不存在
3.[难度]中
已知F为双曲线
x2
4
－
y2
12
＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的
最小值为________．