数学解题教学的涵义

2024年3月29日发(作者：)

数学解题教学的涵义

著名数学家和教育家G．波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题”，其实这句话的背后是学好数学必须大量的做题，并在这一漫长的过程中获取知识，积累解题经验，获得解题方法。这一过程离不开时间的保证和经验（量）的积累，更离不开科学的方法和“质”的转变。

解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”．对高中数学教学中的解题课而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且要把“题解”也作为对象，把开发智力、促进“人的发展”作为目标．

传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目．而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养．作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性提出了较高的要求．波利亚在《数学的发现》中将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的．解决问题就是寻找这种活动．”第六届国际数学教育大会报告指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境．”这类题目可以称为“问题”．“问题解决”是数学学科的一个永恒的课题．

《高中数学课程标准》中指出高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。众所周知，中学生要提高数学思维能力的重要途径之一是解题，而教师要提高学生的数学思维能力就必须进行解题教学研究。

当前解题教学的问题

中学数学解题教学目前存在以下几个误区：经调查研究，中学数学解题教学存在若干误区：（1）长期徘徊在一招一式的归类，缺少观点上的提高或实质性的突破．有时候，只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现，在解题具体操作与解题策略或数学思想方法之间缺少沟通的桥梁．（2）多是研究“怎样解”，较少问“为什么这样解”，更少问“怎样学会解”，重结果，轻过程．（3）更关注现成的、形式化问题的求解，对问题“提出”和“应用”研究不足．教学中的具体表现为：（1）概念课的教学不注重知识形成的背景和形成的过程，不注意引导学生搞清概念的来龙去脉，导致学生对概念理解还是“夹生饭”时，就被要求听老师的一招一式的例题教学，甚至被要求解大量的课外习题．学生整节课忙于抄录老师的笔记，没有任何思考的时间和空间，从而“听课”变成“抄课”，课后投入大量时间完成一知半解的习题．最后，学生学得很苦很累，但成绩毫无起色．出现这种情况，教师应该是“急于求成”了．其实，学生在对概念理解不透彻的情况下，解题时即使在“有用捕捉”的刺激下，也无法进行“有关提取”．（2）习题课的教学中，经常会出现老师上来就给出

各种类型的习题，然后老师不加任何分析，有时学生甚至连题目中的条件是什么，结论是什么都没搞清楚，就被老师“牵着鼻子走”，似乎循着老师的思路，整个过程都“明白”了，而实际上什么都没学到．如果教学中存在这些问题，那么对提高学生数学思维能力是毫无意义的．笔者认为教师应该进行解题教学研究，通过学习解题学理论来指导学生解题，避免教与学误入“歧途”．

解题教学的意义

(1)因为数学概念、定理、公式、法则是一系列包摄程度较高的观念，具有一类数学对象的共同属性，因而可用于解决一系列的数学问题。通过解题活动，学生不仅可以加深对所学知识的理解，而且还能达到训练逻辑思维的目的，根据不同的教学目标编拟不同类型的题目，能够培养学生的思维品质，提高智能和发展能力。

(2)数学概念、公式、法则、定理等是为了解决问题才产生和发展的，而用它们去解决问题却需要一定的技能，这种技能只有通过解题活动才能掌握，因此，解题教学能够帮助学生形成解决问题的技能。

(3)初学数学概念、定理、公式及法则时很容易造成对知识理解不深入，甚至产生错误的理解，而这些错误能充分地在解题活动中暴露出来，通过解题教学，教师能及时纠正和澄清学生的错误观念，使他们能正确和完整地掌握知识。

(4)通过解题教学以及对学生的解题作业分析，可以测试学生的数学认知水平，了解和评估学生的数学能力状况，为教材分析和教法调整提供有用的参考数据。

解题教学的核心

培养数学思维能力是数学教学的核心。正所谓授人以鱼不如授人以渔，数学教学的目的及时让学生学会数学思维，使得学生能够独立的解决问题，能够以数学的视角看问题。所以解题教学的核心也应如此。

解题教学的基本环节

解题教学的模式有很多，各种模式的教学环节也各不相同，这里仅以以下几种常用的教学模式为例作出说明。分别是“以点带面”、“题组教学”和“变式教学”．

以点带面：“探究—解决—拓展提高”模式

数学教材体系是以知识和数学思想方法为核心的，在解题课教学中忌就题论题，应重视培养学生的观察、分析和归纳能力．要通过探索性问题，掌握解一类题的各种方法，以达到“以点带面”触类旁通的效果．以点带面教学模式主要有五个教学环节．

（1）创设情景、导入新课．

（2）自主探究、合作学习．教师提出或引导学生发现典型的探究性问题，引导学生遵循“弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾”一般解题方法．以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以教材为基本探究内容，为学生提供探究、质疑、讨论、表达问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑活动，将自己所学知识应用于解决数学问题．

探究性问题一般是一题多解问题，必须根据教材的重点和难点编制，使学生产生认知冲突，在强烈的求知欲望下，在注意力高度集中、思想最活跃的状态中进行探究学习．

在自主探究的基础上，让学生展开小组交流，展示个体思维过程，彼此交流思想，初步解决在自主探究中遇到的认识问题和思维障碍．

教师通过观察、交谈、提问、分析、课内巡视、课堂练习和考查考试等反馈方法，及时了解学生掌握知识情况，有针对性地进行质疑和讲解．

（3）成果展示、汇报交流．以小组为单位汇报交流解题思维过程和解答过程．可以是学生“说题”，也可以是学生板演，还可是学生解答过程的投影展示，也可是学生的辩论等形式．

板演的学生通过独立思考，把自己分析和解决问题的思路与方法暴露在全班同学面前．教师针对学生的分析思路和方法进行评议，充分肯定其正确的分析方法与解题技巧，找出其存在的不足之处，提出修改方法，指出努力的方向．

结合新课程理念，成果展示还可采取“学习小组代表板演——其他小组学生评议——教师再评议”的方法．这种方法可极大地调动学生的合作意识，有利于提高学生的整体参与度．

这一环节要特别注重解题思路的分析．在学生面前暴露寻找解题方法的全过程，通过学生的发散性思维，找到解决一类问题的多种方法．

（4）反馈训练、巩固落实．通过变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论；变换问题的形式或内容；配置与新知识有关的实际应用题，让学生进行变式训练，培养学生举一反三、灵活应变、独立思考的能力．在变式训练中，对探索性问题的多种解决方法作出分析和优选，找到针对某一问题的最佳解决方案．

观点的形成、技能的掌握，应该由学生自已独立完成．这种独立性能培养他们较强的学习需要，激发起正确的学习动机．因此，这一环节要注重让学生参加解题的全过程．形成“自己能完成的不依赖他人，小组能解决的不依赖全班，学生能解决的不依赖老师”的良好习惯．

（5）归纳总结、提升拓展．组织和指导学生归纳概括知识和技能的一般结论，结合必要的讲解，揭示这些结论在教材整体中的相互关系和结构上的统一性，揭示新知识之间的内在联系，完善学生认知结构．

以点带面解题课教学模式要重视解题的态度教育．波利亚说过，发明创造的第一条规律是动脑筋和碰运气，第二条是锲而不舍直到出现一个好念头．重视对学生进行“锲而不舍”的思想教育，并以自已的言行作为学生的楷模，这是成功地进行解题教学的关键．

让学生的思维由问题开始到问题深化，始终处于积极主动状态．在教学中，教师的“导”需精心创设问题情境，组织学生进行生动有趣的“活动”，留给学生想象和思维的“空间”，充分揭示获取知识的思维过程，使学生在过程中“学会”并“会学”，优化学生的思维品质，从而得到主体的智力发展．教育是教师导引与学生知行的统一，教育过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程．交往的本质属性是主体性，是动态的表现出来的主体之间的相互作用、相互交流、相互沟通、相互理解．在这个过程中，要消除教师中心和管理中心的倾向，实现师生互动、相互沟通、相互影响、相互补充．从而达到共识、共享、共进，这就是教学相长的真谛．

题组教学：“探索—研究—综合运用”模式

题组教学就是根据学生的认知规律，针对某一节课的教学目标，合理有效地设计几个题组，将有关数学基本知识、基本技能、基本方法与数学思想溶于其中．以题目开路，引导学生对题目进行分析、讨论、研究和解答，教师借题生话，借题发挥，画龙点睛．在这些问题的解决过程中，除了解决单个的数学问题外，通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化，形成一种更高层次的思维方法，以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的．这种题组并不是几个独立数学问题的简单组合，而是注重题目之间的内在联系 ,它们的解决能启示一种客观规律 ,能引导与启发学生掌握这种规律，提高思维能力．

题组教学法实施的关键是精心编选探索性题组、研究性题组、综合性题组．这种教法实际上是一种理论探究教学法．将学生原有认识结构中的已有知识作为一种直观材料，依据这些旧知识选编习题，让学生通过对习题的观察和思考，为新知识找准适当的固定点．并通过训练，顺利完成知识的迁移．

题组教学要围绕一个“探究点”设计出不同的层次要求的题组，分别对应探索、研究、运用三个层次，作为教学的主线，教师精讲为主导，学生精练自学思考为主体，完成一个完整探究过程．该教法强调学生的主动发展，重视学生素质的自我提高，并且使学生学习时目标明确，有章可循，实际上减轻了教师和学生的负担，持之以恒，收获甚丰．教法的实施应是灵活多变的．

题组教学模式主要有“创设情景、导入新课；题组探索、自主探究；题组研究、汇报交流；题组综合、巩固提高；归纳总结、提升拓展”五个教学环节．

（1）创设情景、导入新课

（2）题组探索、自主探究

探索性题组是建立和巩固概念的知识型题．应反映出知识的基本特征，有利于形成知识的基本结构；同时，又要适合大多数学生已有的认知水平，有助于学生举一反三，有助于知识的迁移．探索性题组也可是类型要求相近题目组成的题组．学生在完成题组的过程中逐渐总结出知识的基本特征或解题规律方法．体现多题一律、多题归一．探索性题组的问题设置，一般是基本题型或通过设计较小的坡度，让学生能顺利地自主发现知识和解题方法的规律．

（3）题组研究、汇报交流

研究性题组是知识和解题方法纵横沟通的综合题型．一忌太难，二忌太杂，应紧扣知识的探究点，使学生在自学思考时跳一跳便能摘到桃子，而答案正好落在探究点上．该题组是课堂教学的重心所在．问题选择要有研究性，要有丰富内涵，既要注重结果，又要注重质量，以期“一题多解，达到熟悉；多解归一，挖掘共性”．在此环节可以小组为单位汇报交流展示解题方法和部分题的解答过程．

（4）题组综合、巩固提高

综合性题组应是多角度多层次的综合题型，在指导学生解答习题时应注意一题多变．在提高学生发散思维自取性，并使之条理化、科学化的基础上，注重培养学生的聚合思维．以使学生的思维得到全方位的发展．

对于有一定难度的问题，如果完全让学生自己去分析，存在着较大的困难．可师生共同参与，对某一具体的数学问题，边分析、边讨论，逐步解决问题，最后得出正确结论的方法．这种方法贯彻了启发式教学原则，充分调动学生的学习主动性和积极性，有利于促进师生间的信息交流，并能发现学生分析问题的错误思路、方法，及时予以纠正，进一步培养学生分析和解决问题的能力．

（5）归纳总结、提升拓展

教师的评讲、解疑、总结应是画龙点睛之笔．题组教学模式中教师的主导作用一是体现在题组的设计上；二是体现在实施控制学生的思维方向，启发学生思考，解答学生疑问，引导学生完成知识升华的过程中．教师在课堂教学中应及时注意学生的反馈信息，随时结合训练过程的进行，察颜观色，指导提示，矫正存在的问题，鼓励肯定学生的独特的做法和想法，使学生及时得到教学的反馈信息，即使失误了，也会很快地纠正失误转向正确的思维方向．充分发挥教师的教学机智，对课堂的新的意外情况及时快速地作出反应，善于因势利导，随机应变，对症下药．牢牢把握课堂教学的主导指挥棒．课堂教学中，教师还应及时抓住某些教学灵感：对知识的独特理解，创造性的实施教法，引人入胜的教学情境等等，促使教学目标更优化的实现．教师的讲应是精讲．讲知识的结构，讲问题的难点，讲学生的疑点，讲思考问题的方法．应绝对避免那种面面俱到，所谓到边沿的平铺直述．

变式教学：“一题多问、一题多解、一题多变”教学模式

在高中数学解题课的变式教学中，数学问题的设计应以变式题为主．变式训练主要有一题多问、一题多释、一题多解、一题多变等形式．

变式教学模式主要有“创设情景、引入新课，自主探究、引发变式，变式训练、逐步拓展，归纳总结、升华提高”等四个教学环节．

一题多问，就是在同一大前提下，设计平行或递进的多个问题．在没有小前提的情况下，前一问题的结论可以作为后续问题的条件使用．这种题型一般涉及多个知识点，能使学生系统地对单元基本知识点进行归纳，有利于巩固基础知识．每年高考试题中，一题多问的题目往往不止一个，足见这类题目的重要性．

一题多释，就是对同一问题、同一式子可以给出多种不同的解释．一题多释有利于学生理论联系实际，发散性地考虑数学式子的多种背景，有利于应用题的数学建模．

一题多解，就是对同一问题尽可能地鼓励学生超越常规，提出多种设想和解答．一题多解不仅可以加深学生对所学知识的理解，达到熟练运用的目的，更重要的是扩大学生认识的空间，激发灵感，提高思维的发散性和创造性．在一题多解训练中，要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法．数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念上的亲缘关系．我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通．这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的．通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的，从而培养创新精神和创造能力．课本上的许多习题，不乏精典之作，从不同的角度思考可有不同解法．因此在解题课教学中，应有目的地引导学生周密地思考是否还有别的求解途径，以求最简的解法，培养学生发散思维能力．

一题多变，就是在解题教学中善于引申问题，把思维向纵深发展，使思维达到突破常规的灵活变通的特征．引导学生对所解问题作适当的推广和改变．变条件、变结论，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例问题的教育功能，培养学生创新能力．

一题多变训练了学生思维的递进性，由条件和结论的换位，训练学生思维的变通性；由多向探索，训练学生思维的广阔性．这样让学生掌握一类题型的解法，可以达到事半功倍的效果．一题多变，让学生在做题中自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，促使他们自己去获取知识、发展能力．

解题教学的策略

数学教学离不开解题，对解题教学，教师传统的习惯性做法，是侧重于对所学知识、内容的理解和解题规范性的示范，而学生侧重于是否能解出该题，而缺乏对解题后的反思和重组改造，这样也就会错过提高解题能力的宝贵机会．而在新课程理念下，教师要成为课堂的组织者、引导者与合作者，所以解题教学必须关注学生思考探究、合作交流的能力，并以解题教学为平台，让学生主动去思考，引导他们去探究，这就对教师的解题教学能力提出了新的要求．下面就从教学实际出发，通过几则案例谈一下实施数学解题教学的几种策略．

1．变式延伸

在教学实践中，笔者深深体会到变式教学是贯彻新课程理念的有效载体，它符合学生的认知规律，在教学中能为学生提供求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则运用到各种情况中去，培养学生灵活多变的思维品质，提高数学素养，有效地提高教学效果．在解题教学中通过变式教学，开展一题多解，一法多用，鼓励并引导学生自己变题，可使学生在问题解决的过程中对概念、原理形成深刻理解，建立良好的知识结构．

案例1 从一道典型的三角习题出发进行解题变式教学：

在锐角三角形ABC中，求证

tanAtanBtanCtanAtanBtanC

此题的证明很简单，但我们的意图是选择此题作为基本题，通过探究活动获得一系列新的结论和习题，例如在锐角三角形ABC中,由均值不等式可得:

tanAtanBtanC33tanAtanBtanC

于是有

tanAtanBtanC33tanAtanBtanC

变形得

tanAtanBtanC33 从而得到以下新题:

变式1 在锐角三角形ABC中,求证

tanAtanBtanC33

我们可更深层次地探究，由于tannAtannBtannCtannAtannBtannCnZ也成立，故取n2并利用倍角公式展开便可得到:

2tanA2tanB2tanC2tanA2tanB2tanC

2222221tanA1tanB1tanC1tanA1tanB1tanC我们将tanA、tanB、tanC分别换成实数x、y、z，

则有

2x2y2z2x2y2z

2222221x1y1z1x1y1z如此，我们对n分别取2，3，„等，便可以得到：:

变式2 若xyzxyz，求证：

(1)

2x2y2z8xyz,

1x21y21z2(1x2)(1y2)(1z2)x(3x2)y(3y2)z(3z2)xyz(3x2)(3y2)(3z2)(2) .

22222213x13y13z(13x)(13y)(13z) 这样，我们在变式探究过程中展示了知识的发生、发展、形成的过程，揭示了知识的来龙去脉，使学生能抓住问题的本质，加深对问题的理解．

2．反思拓展

著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔教授指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”．因此，在数学解题教学中，采取各种有效措施引导学生进行反思性学习活动，促使学生由被动反思转为 主动反思，由不会反思变成善于反思，是提高学习效率的有效途径．解题后，要反思解决问题的知识结构和系统性，反思能否对问题蕴含的知识和方法进行纵向深入地探究？反思能否加强知识的横向联系？把问题所蕴含孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”．通过不断地拓展、联系、加强对知识结果的理解，进而形成认知结构中知识的系统性．

案例2 由一个圆锥曲线的典型例题开展的解题反思教学：

已知直线l与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，当OAOB（O为坐标原点）时，求证：直线l经过一定点T(2p,0)．

在讲完这一例题后，笔者即刻引导学生反思探究，提出了以下几个问题，并逐一解决．

反思1．例题的逆命题成立吗？（逆命题成立．）

反思2．在此例中，作OMAB，垂足为M，求动点M的轨迹方程．（此题为2000年北京市春季高考试题）

由于此时OTM恒为直角三角形，所以M的轨迹为以OT为直径的圆，于是M的轨迹为(xp)2y2p2(x0)

反思3．类似于抛物线情形，椭圆、双曲线是否有类似的结论？

我们也可得到类似的结论，仅以椭圆为例：

x2y2结论：直线l与椭圆221(ab0)交于A、B两点，M为右顶点，当aba(a2b2)MAMB时，直线l经过一定点a2b2,0．

通过问题引导学生不断反思、感悟，形成知识结构的系统性，从而促使思维整体贯通、提升，对一个题的解题教学，完成了对一类题的解决，达到事半功倍的效果．

3．挖掘探究

新课程标准明确要求，数学教学既要讲推理，更要讲道理，要通过学生自主探究基础上的有效讲解，使学生不仅知道数学知识的形式化的表达，更要把握数学的本质．能透过表面

形式看到本质是一个有创造能力的人的显著特点，但如果没有追根求源的探索精神就无法实现这一目标．可以说，有追根求源的精神是创造意识强烈的重要标记． 因此在解题教学中善于揭示问题的本质，将对培养学生追根求源的创新能力有着积极的现实意义．

下面的两则案例中，教师在用一般方法讲解后，再揭示问题的本质，更能提高学生对问题认识的深刻性．

案例4 （2008年高考浙江卷第8题）若cos2sin5,则tan=( )

（A）11 （B）2 （C） （D）2

22一般解法是利用三角变换求得，但学生解此题的错误率还是比较高的，根源在于学生没有真正理解其中的本质，如果教师在讲解时引导学生探求其本质，使学生明白问题的真谛，问题就变得很朴素自然．事实上，由于5是cosx2sinx的极小值，所以(coxs2sinx)x0，即sin2cos0，从而解得tan2. 故选B．

案例5 在正整数集中，将仅含数码0，1，2，3，4的数从小到大排成数列bn，则b11，b22，b33,b44,b510,b611,b712,b813,b914,b1020，„，b505 ．

此题一般是用排列组合解决，但教师可引导学生探究其本质，事实上数列bn是由四进制数从小到大排列构成，所以b505应该是十进制数505所对应的四进制数，故b5054010．

引导学生乐于去探究、去发现，培养学生探索思维的激情，也锻炼了学生创造性思维的灵活性、独创性．

4．辨析引导

美国教育家桑代克认为：“学习是尝试错误的过程”，所以学习也是将错误成为有价值的体验过程，错误是正确的先导，成功的开始．学生所犯错误及其对错误的认识，是学生知识宝库的重要组成部分，利用学生典型错误并进行正确诱导会收到良好的教学效果．在解题过程中，学生会经常出错的，但我们在教学中有意让它暴露出来，并加以纠正，将有利于培养学生数学思维的深刻性．

案例6 求函数y7sinx3cos2x的最大值和最小值．

学生的错解：因为

1sinx1，0cos2x1，

所以

77sinx7，33cos2x0，

所以

377sinx3cos2x14，

故

y的最大值是14，最小值为3．

对以上的错解，笔者没有作简单的否定，而是因势利导，引导学生发现错解的原因，即sinx1时3cos2x3，从而不能取得最小值3．然后给出正确的解答．

“错误是最好的老师”，在解题教学中，对学生出现的错误，教师不是立刻指明方向，而是引导他辨别方向，当学生停滞不前时，教师不是拖着学生走，而是唤起其内在的精神动力，鼓励他不断前进，这有利于培养学生良好的数学思维能力．

5．立异标新

创新是民族进步的灵魂，新课程是以创新精神和实践能力的培养为重点的，这就要求我们建立新的教学方式，促进学生学习方式的变革，引导学生质疑、调查、探究、创新．在解题教学中，在学生掌握了基本方法的同时，应有意识地创设鲜活的思维情景，激励学生不以常规、不受教材与教师传授的方法的束缚，引导学生多角度、全方位思考问题，鼓励学生标新立异、探究新解，达到锻炼、开拓学生思维的创造性．

案例7 课本的一道习题：已知A(1，0)，C(3，4)三点，这三点是否在同2)，B(1，一条直线上，为什么？

这是一道基本题，完成它是比较轻松的．但教师要引导学生尽可能地进行多方位、多层次地寻求不同解法，大部分学生的解法如下：

（1） 证明ABACBC；

（2） 证明点B在直线AC上；

（3） 证明直线AB，AC的方程相同或斜率相等．

而有一些同学，联想宽广，不但有上述解法，还得到了如下的非常规解法：

（4） 证明点C到直线AB的距离为0；

（5） 证明ABC的面积等于零；

（6） 证明点A是有向线段BC的一个定比分点．

显然后面的解法比较独特，因而更具有创造性．

6．正难则反

人们的思维的活动既有“求同”和“定势”的方面，又有“求异”和“变通”的方面，求同与求异，定势与变通是人的思维的双向性．我们习惯的思维方式是正向思维，即从条件入手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决．然而实际数学解题教学中，有些问题直接从正面求解，思维较易受阻，而从反面入手，通过举反例、用反证法等逆向思维方法易于打开思路．数学解题教学中利用思维方法的双向性培养学生思维能力，提高学生的数学智能，这是新课程标准提出的教学要求．

案例8 在函数复习时常见到的一个典型例题：已知函数ylg(x2ax1)的值域为R，求实数a的范围．

学生往往受类似问题“已知函数ylg(x2ax1)的定义域为R，求实数a的范围”的影响，总是认为a应满足条件a40，任凭教师怎样解释，有些学生就是不能理2a20)，解，这时，教师可以转换讲解角度解释，当时，函数的值域成为lg(1了4而不是R，从而说明由0求a的范围是错误的，然后再从正面分析正确解答．

在全面贯彻实施新课程的形势下，在解题教学中要对例题、习题进行全面合理的教学设计，面向全体学生，在解题教学中要对习题进行演变、反思、引申、拓展，做到由题及类，解剖一题带活一类，培养了思维，发展了能力．