2024年3月26日发(作者：)
六年级多人完成工作
多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题。解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化。
例一、 甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务。如果甲单独加工，便需要12小时完成。现在甲、乙两人共同生产了225小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务。问乙一共加工零件多少个?
【分析与解】乙单独加工，每小时加工18－112=124。
甲调出后，剩下工作乙需做(8—225)×(11848÷24)=5(小时)，所以乙每小时加工零件420÷84225=25个，则25小时加工25×25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420＝480(个)。
例二 、某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果由甲、乙两人合作，需48天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?
【分析与解】 由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20
天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天。
所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63÷3×4=84天，
即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程。
现在甲先单独做42天，相当于乙单独工作42÷3×4=56天，即乙还需单独工作112—56=56天即可完成这项工程。
例三、有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天。现在让3个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完。当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?
【分析与解】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为110+112+115=14，那么它们6天完成的工程量为14×6=32，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1。
所以32－1=12是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需12÷110=5(天)才能完成12的工程量，所以甲队在6天内撤出了5天。
所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成。
例四、一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半。现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少天?
【分析与解】 甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于
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乙队做2天。
22 即甲的工作效率是乙的3，从而乙单独做12×3=8(天)完成，所以两段所用时间相等，每段时间应是：
8÷(1+l+23)＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)。
例五、抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的15。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的18，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的18，即甲每天抄写书稿的116；
由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的18，即丙每天抄写书稿的148；于是可知乙每天抄写书稿的18－116－148＝124。
所以乙一人单独抄写需要1÷124=24天才能完成。
例六、游泳池有甲、乙、丙三个注水管。如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池。那么，单开丙管需要多少小时注满水池?
【分析与解】 乙管每小时注满水池的1138-20=40,
丙管每小时注满水池的16-340=11120。
因此，单开丙管需要1÷11120=12011=101011(小时)。
例七、一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成?
【分析与解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是18、16、112。
对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)。
即18+112－1116=24，所以甲、丁合作的工作效率为24。
所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程。
例八、一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成。
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那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?
【分析与解】 方法一：对于工作效率有：
11113 (甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即8+9－18=72为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率为21144。
而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为19－131144＝48
那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷148=48天。
方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝11121218＋9＋18＝72，所以(甲，乙，丙)=72÷2＝21144，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为21144。
那么丙单独工作的工作效率为2111144－8＝48，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天。
例九、某工程如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完成。那么这5个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程?
【分析与解】 由已知条件可得，
对于工作效率有：
(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)。
所以5个小队一起合作时的工作效率为：
（112＋17＋2×18＋142）÷3＝16
所以5个小队合作需要6天完成这项工程。
评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的。
例十、一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水?
【分析与解】 设甲管注入18吨水所需的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为“O.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为27÷18×0。
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5=0.75。
以下采用两种方法：
方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：
因此18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9吨，所以“1”
=36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水．
所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水．
方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的34。
再设甲单独灌水的工作效率为“1”，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙=34(2+丙)；所以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌时，丙也灌了27吨，那么水箱最多可容纳27+27=54吨水。
例十一、某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管。甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时。水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完。问水池中原有水多少立方米?
【分析与解】 甲每小时注水100÷10=10(立方米)，
乙每小时注水100÷15=203(立方米)，
设排水管每小时排水量为“排”，
则(“排”－10－203)×3=(“排”－10)，整理得3“排”－3×503=“排”－10,2“排”=40，则“排”=20。
所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)。
例十二、一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池。现在需要在2小时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管?
【分析与解】 记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效率为“排”，那么有：
4“进”－“排”=15， 2“进”－“排”=115。
所以有，2“进”=(15－115)=215，那么“进”=115，则“排”=115。
题中需同时打开x个进水管2小时才能注满，有：
x“进”－“排”=12，即115x－115=12，解得x=8。5
所以至少需打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满。
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例十三、蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有16池水。如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问经过多少时间后水开始溢出水池?
【分析与解】 方法一：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开l小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的13－14＋15－1706=6。
最优情况为：在完整周期后的1小时内灌满一池水．因为此时为甲管进水时间，且甲的效率是四条管子中最大的。
那么在最优情况下：完整周期只需注入1－16－113＝2池水。
所需周期数为12÷706＝307＝427
那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水171736＋60×5=6＋12＝4
剩下l－311134＝4池水未灌满，而完整周期后l小时内为甲注水时间，有4÷3＝4 (小时)。
所以，需5个完整周期即20小时，再加上334小时，即204小时后水开始溢出。
方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的13－11174＋5－6=
60。
加上池内原有的水，池内有水：17176＋60=60。
再过四个4小时，也就是20小时后，池内有水：1774560＋60×4=60，在20小时后，只需要再灌水1－45160＝4,水就开始溢出。
14÷13=34 (小时)，即再开甲管34小时，水开始溢出，所以20+34=2034(小时)后，水开始溢出水池．
方法三：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的13－14＋15－16＝760。
一个周期后，池内有水：17176＋60=60,4360有待注入；
二个周期后，池内有水：1760＋760=2460,36360即5有先待注入；
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2473129 三个周期后，池内有水：60＋60＝60，60有待注入；
四个周期后，池内有水：31738221160＋60＝60，60即30有待注入；
五个周期后，池内有水：38760＋60＝4515160，60即4有待注入。
而此时，只需注入14的水即可，小于甲管1小时注入的水量，所以有14÷13=34 (小时)，即再开甲管34小时，水开始溢出，所以20+34＝2034 (小时)后,水开始溢出水池。
评注：这道题中要求的是第一次溢出，因为在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有时增加有时又减少，所以不能简单的运用周期性来求解，这样往往会导致错误的解答，至于为什么?我们给出一个简单的问题，大家在解完这道题就会知晓。
有一口井，深20米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬6米，晚上掉4米，问蜗牛爬出井需多少时间?
例十四、一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定的。当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空。如果打开A，B两管，4小时可将水池排空，那么打开B，C两管，将水池排空需要多少时间?
【分析与解】 设这个水池的容量是“1”
A管每小时排水量是：18+每小时渗入水量；
B管每小时排水量是：110 +每小时渗入水量；
C管每小时排水量是：112 +每小时渗入水量；
A、B两管每小时排水量是：14+每小时渗入水量。
因为18+每小时渗入水量+110+每小时渗入水量=14+每小时渗入水量，因 此，每小时渗入水量是：14－（18＋110）＝140。
那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示：
于是打开B、C两管，将水池排空需要
1÷（18＋1315120-40）=1÷24=4。8（小时）
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