第三讲__排序不等式

2024年2月20日发(作者：)

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兰州一中数学组

第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题

知识、方法、技能

I．排序不等式（又称排序原理）

设有两个有序数组a1a2an及b1b2bn.

则a1b1a2b2anbn（同序和）

a1bj1a2bj2anbjn（乱序和）

a1bna2bn1anb1（逆序和）

其中j1,j2,,jn是1，2，…，n的任一排列.当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号（对任一排列j1,j2,,jn）成立.

证明：不妨设在乱序和S中jnn时（若jnn，则考虑jn1），且在和S中含有项

akbn(kn),则akbnanbjnanbjnanbn. ①

事实上，左－右=(anak)(bnbjn)0,

由此可知，当jnn时，调换Sa1bj1akbjkanbjn（jnn）中bn与jn位置（其余不动），所得新和S1S.调整好an及bn后，接着再仿上调整an1与bn1，又得S2S1.如此至多经n1次调整得顺序和

a1b1a2b2anbna1bj1a2bj2anbjn ②

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这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当a1a2an或b1b2bn时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在jn及k，使bnbjn,anak.这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立.

类似地可证“乱序和不小于逆序和”.

II．应用排序不等式可证明“平均不等式”：

设有n个正数a1,a2,,an的算术平均数和几何平均数分别是

An

a1a2an和Gnna1a2an

n此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到

Hnn111a1a2an，

和平方平均（在统计学及误差分析中用到）

Qn22a12a2an* 这四个平均值有以下关系HnGnAnQn. ○n其中等号成立的充分必要条件都是a1a2an.

下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：AnGn.

记x1

aaaa1aa,x212,,xn12nn1；

GGG

y1111,y2,,yn.

x1x2xn 由于数组x1,x2,,xn和数组y1,y2,,yn中对应的数互为倒数，由排序不等式得

x1y1x2y1xnyn（逆序和）



x1ynx2y1,xnyn1，

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即

naa1a2n.

GnGnGn 从而AnGn.等号当且仅当x1x2xn或y1y2yn时成立，而这两者都可得到a1a2an.

下面证明GnHn.对n个正数111,,,应用GnAn,得

a1a2an

111a1a2an111n.

na1a2an即GnHn.（符号成立的条件是显然的）.最后证明AnQn,它等价于

22n(a12a2an)(a1a2an)20.

而上式左边=(a1a2)2(a1a2)2(a1an)2(a2a3)2(a2an)2

(an1an)20，于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见，AnQn对一切a1,a2,,anR成立.

III．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.

柯西（Cavchy）不等式：设a1、a2、a3，…，an是任意实数，则

2222(a1b1a2b2anbn)2(a12a2an)(b12b2bn).

等号当且仅当bikai(k为常数，i1,2,,n)时成立.

证明：不妨设ai(i1,2,,n)不全为0，bi也不全为0（因为ai或bi全为0时，不等式222222显然成立）. 记A=a1a2an，B=b1b2bn.

且令xiaib,yii(i1,2,,n),

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222222则x1x2xn1,y1y2yn1.于是原不等式成为

x1y1x2y2xnyn1.

222222即2(x1y1x2y2xnyn)x1x2xny1y2yn.它等价于

(x1y1)2(x2y2)2(xnyn)20.

其中等号成立的充要条件是xiyi(i1,2,,n).从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是bikai(kA).

BIV．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.

切比雪夫不等式：若a1a2an，b1b2bn ，

则a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn.

nnn

证明：由题设和排序不等式，有a1b1a2b2anbn=a1b1a2b2anbn，

a1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1，

……

a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1.

将上述n个不等式叠加后，两边同除以n，即得欲证的不等式.

2赛题精讲

I．排序不等式的应用

应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.

例1：对a,b,cR，比较abc与abbcca的大小.

333222 【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.

【略解】 取两组数

a,b,c;a2,b2,c2.

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故

不管a,b,c的大小顺序如何，abc都是同序和abbcca都是乱序和，333222a3b3c3a2bb2cc2a.

【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.

a2b2b2c2c2a2a2b2c2. 例2：a,b,cR，求证abc2c2a2bbccaab【思路分析】 应先将a、b、c三个不失一般性地规定为abc0.

【略解】由于不等式关于a、b、c对称，可设abc0.

于是abc,222111.

cba2111111.

b2c2(逆序和)a2b2c2（乱序和）abcbca2及abcabc.

abccab 由排序不等式，得a

以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组

a3b3c30,及111，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成.

bccaab 【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组.

例3：在△ABC中，试证：3aAbBcC.

abc2【思路分析】 可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.

【详解】 不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得

aAbBcCaAbBcC,aAbBcCbAcBaC,

aAbBcCcAaBbC.

相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，

得aAbBcC ①

abc3又由0bca,0abc,0acb,有

0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(3C)(abc)2(aAbBcC).

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得aAbBcC. ②

abc2由①、②得原不等式成立.

【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.

例4：设a1,a2,,an是互不相同的自然数，试证1【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.

【略解】将a1,a2,,an按由小到大的顺序排成aj1aj2ajn其中j1,j2,,jn是ana11a12.

222n2n1，2，…，n的一个排列，则aj11,aj22,ajnn.于是由排序不等式，得

ajnaj2ana211a122aj1221.

2n2n2n例5：设b1,b2,,bn是正数a1,a2,,an的一个排列，求证

aa1a2nn.

b1b2bn 【思路分析】 应注意到ai11(i1,2,,n)

ai 【略证】不妨设a1a2an，因为a1,a2,,an都大于0. 所以有111，

a1a2an 又111111,,,是,,,的任意一个排列，于是得到

b1b2bna1a2an111111a2ana1a2an.

a1a2anb1b2bn

na1【评述】 此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.

例6：设正数a,b,c的乘积abc1，试证：(a1)(b1)(c1【略解】设a1b1c1)1.

a

xyz,b,c，这里x,y,z都是正数，则原需证明的不等式化为

yzx(xyz)(yzx)(zxy)xyz,显然xyz,yzx,zxy中最多只有一个文案大全

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非负数.若xyz,yzx,zxy中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若xyz,yzx,zxy均为正数，则x,y,z是某三角形的三边长.容易验证

1(xyz)(yzx)(zxy)[(x2(yzx)y2(zxy)z2(xyz)].

3故得(xyz)(yzx)(zxy)xyz.

【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a、b、c的乘积

abc1,证明1113.

a2(bc)b2(ca)c2(ab)2 证明：设a111,b,c,则xyz1，且所需证明的不等式可化为

xyzx2y2z23，现不妨设xyz，则

yzzxxy2

xyz，据排序不等式

yzzxxyx2y2z2xyzzxy得

yzzxxyyzzxxyx2y2z2xyzyzx及

yzzxxyyzzxxy两式相加并化简可得

x2y2z22()xyz33xyz3.

yzzxxy例7：设实数x1x2xn,y1y2yn,z1,z2,,zn是y1,y2,,yn的一个

置换，证明：

(xi1niyi)(xizi)2.

2i1n

【略解】 显然所需证不等式等价于xyxz,这由排序不等式可直接得到.

iiiii1i1nn【评述】 应用此例的证法可立证下题：

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nak1设ak是两两互异的正整数（k1,2,)，证明对任意正整数n，均有2.

i1ki1kn 证明：设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，使b1b2bn，则从条件知对nnnakbk1每个1kn,bkk，于是由排序不等式可知22.

i1ki1ki1kII．柯西不等式的应用

应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式.

222xnxnx12x21例8：设x1,x2,,xnR，求证：x1x2xn.

x2x3xnx1【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.

【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.

【详解】 ∵x1,x2,,xn0，故由柯西不等式，得

222xnxnx12x21(x2x3xnx1)()

x2x3xnx1

(x2x1x2x3x2x3xnxn1xnx1xnx1)2

(x1x2xn1xn)2，

222xnxnx12x21∴x1x2xn.

x2x3xnx1

【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.

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针对性训练题

1．设a、b、cR，利用排序不等式证明：

（1）abab(ab）；

（2）abc（3）2a2b2cabbaabcbcacab；

abc3；

bccaab2a12b12c12a10b10c10. （4）bccaab2．设a、b、c是三角形三边的长，求证：*abc3.

bcacababc3．已知a、b、cN，并且bca,cab,abc,求证：

(1bcacababc)(1)(1)1.

abc*4．设nN,n1,求证：CCCn2文案大全

1n2nnnn12.

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5．若a0,b0,且a2b6,求lga2lgb的最大值.

6．若a2b12,求22ab1的最小值.

7．已知xy1(x1),求u(x,y)1x1的最小值.

3y8．x2y1,求u(x,y)x2y的最值.

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