2024年2月12日发(作者：)
第15讲 浓度问题
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我们知道，将糖溶于水就得到了糖水。我们把糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的质量不变，那么糖加的越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的浓度（又叫含糖量）。类似的，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精浓度。这一比值一般我们将它写成百分数。
溶质、溶剂、溶液和浓度具有如下的基本关系式：
溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
浓度=溶质质量÷溶液质量
溶液质量=溶质质量÷浓度
溶质质量=溶液质量×浓度
重点·难点
浓度问题是围绕溶质、溶剂、溶液及浓度展开的。解题过程中我们要仔细分析题目，分清在变化前后，谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量，这是解题的突破口，也是本节的重点。
学法指导
浓度问题包括以下几种基本题型：
（1）溶剂的增加或减少引起浓度变化。面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不变的，据此便可解题。
（2）溶质的增加引起浓度变化面以过种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的，据此便可解题。
（3）两种或几种不同溶度的溶液配比问题。面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合后溶液的溶质质量相等，据此便可解题。
总之，解答浓度问题，要注意题目中条件与问题的关系，找出所隐含的不变量，问题就迎刃而解了。
经典例题
[例1]现有浓度为10%的盐水8千克，要得到浓度为20%的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？
思路剖析
要解决这个问题，我们首先想到的是向溶液中加适量食盐，这样溶质增加，浓度变大。其实，反过来想，我们可以减少溶剂质量即将盐水溶液中的水蒸发掉一部分，同样可以达到将盐水的浓度改变为20%的目的。
若采用加盐的方法：由于加盐前后，溶液中所含水的量没有改变，我们利用溶液等于溶剂的量除以溶剂在溶液中的百分比即可计算出加盐溶液的质量。加盐后与加盐前溶液质量的差值就是所加入的盐的质量。
若采用蒸发的方法：由于蒸发前后溶液中所含盐的质量不变，依据溶液的量=溶质的量÷浓度，即可计算出蒸发后溶液的量，蒸发前后溶液质量差值就是蒸发掉的水的质量。
解答
（1）采用加盐法：加盐前，溶液浓度是10%，所以溶液中溶剂（水）所占百分比为1-10%=90%。溶液中水的质量为8×90%=7.2（千克）。
加盐后，溶液的浓度是20%，所以这时溶液的质量是7.2÷（1-20%）=9（千克）。所以加入的盐的质量为9-8=1（千克）。
（2）采用蒸发的方法：8千克浓度为10%的盐水中所含盐的质量为8×10%=0.8（千克）。
浓度为20%的盐水溶液质量为0.8÷20%=4（千克）
所以，蒸发掉一部分水后，溶液的质量为8-4=4（千克）。
[例2]把浓度为20%、30%、和45%的三种酒精溶液混合在一起，得到浓渡为35%的酒精溶液45千克。已知浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍。原来每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？
思路剖析
从“浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍”可知，无论它们各取多少，它们之间的用量的比总是3∶1，那么混合后得到一种新的酒精溶液，其浓度为：（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5%，这样原题变为“把浓度为 22.5%和45%的两种酒精溶液混合在一起，得到浓度为35%的酒精溶液45千克。求每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？”
解答
浓度为20%与30%的两种酒精按3∶1的比例混合后所得到酒精溶液的浓度过为（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5%
浓度为45%的酒精用量为
（45×35%-45×22.5）÷(45%-22.5%)=25（千克）
浓度为30%的酒精用量为（45-25）÷（3+1）=5（千克）
浓度为20%的酒精用量：5×3=15（千克）
答：浓度为20%、30%、45%三种酒精溶液分别用了15千克、5千克、25千克。
[例3]在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，再加入多少千克酒精，浓度变为50%？
思路剖析
第一次往浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%。在这个过程中，溶液中纯酒精的质量不变，我们只要计算出5千克浓度为30%的酒精溶液中所含纯酒精的量，用这个量去除以加水前后溶液浓度的差值，即可计算出原有酒精溶液的量。第二次加入的是酒精，根据加入纯酒精前后溶液中含水的量不变，可以求出纯酒精溶液的质量，进而求出加入纯酒精的质量。
解答
浓度为40%的酒精的质量为5×30%÷（40%-30%）=15（千克）
加酒精前溶液中含水的质量为（15+5）×（1-30%）=14（千克）
加纯酒精后溶液的质量为14÷（1-50%）=28（千克）
需加入纯酒精的质量为28-（15+5）=8（千克）。
答：需加入8千克的酒精。
[例4]将浓度为20%的盐水与浓度为5%的盐水混合，配成浓度为10%的盐水60克。需要20%的盐水和5%的盐水各多少克？
思路剖析
根据题意，将20%的盐水与5%的盐水混合，配成10%的盐水，说明混合前两种盐水中盐的质量的和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间的关系列方程解答。
解答
设20%的盐水有x克，则5%的盐水有（60-x）克
20%x+(60-x)×5%=60×10%
20%x+60×5%-5%x=6
解得x=20
60-20=40（克）
答：需要20%的盐水20克，5%的盐水40克。
[例5]甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次甲容器中的部分酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合溶液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精体积分数为62.5%，乙容器中纯酒精体积分数为25%。问第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？
思路剖析
要求出第二次从乙容器倒入甲容器的混合液有多少升，必须先求出第一次从甲容器倒入多少升纯酒精到乙容器，又知，乙容器里的纯酒精含量为25%，这样就易求出甲容器倒入乙容器的溶液的数量。
解答
第一次从甲容器倒入乙容器的纯酒精是
15÷（1-25%）-15=5（升）
甲容器现有纯酒精11-5=6（升），乙容器有浓度为25%的酒精溶液15+5=20（升）。
设从乙容器倒入甲容器的混合液为x升，列方程
（6+x）×62.5%=6+25%x
解这个方程得 x=6
答：第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6升。
[例6]有甲、乙、丙三个容量为1000毫升的容器。甲容器有浓度为40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升。先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器。这时甲、乙、丙容器盐水的浓度各是多少？
思路剖析
本题由于液体来回倒入，所以盐水浓度比较大。可以采取画表格的办法，列出每次倒后的浓度，边分析边填表，思路比较清晰，易得结果。
解答
甲
乙
丙
开始
第一次
40%的盐水400毫升
水400毫升
20%的盐水400毫升
40%的盐水200毫升
15%的盐水800毫升
20%的盐水200毫升
第二次
27.5%的盐水400毫升
15%的盐水400毫升
17.5%的盐水400毫升
答：最后甲容器中盐水的浓度是27.5%，乙容器中盐水的浓度是15%，丙容器的盐水浓度是17.5%。
[例7]A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，再混合后又从B中取出10克倒入C中，现在C中的盐水浓度是0.5%。最早倒入A中的盐水浓度是多少？
思路剖析
根据题目中的“现在C中的盐水浓度是0.5%”的条件，可以求出现在C管的盐水中盐的质量。又因为C管中原来只有30克水，它的盐是从B管里取出的10克盐水中来的，由此可求出B管里30克盐水中含多少克盐。而B管里盐又是从A管进而取出的10克盐水中来的，由此可求出A管里20克盐水中共有多少克盐。而A管里的盐就是某种浓度的盐水中的盐，用盐的质量除以盐水的质量（10克）即可求出盐水的浓度。
解答
☆解法一：现在C管中盐的质量为（30+10）×0.5%=40×0.5%=0.2（克）
倒入B管后，B管中的盐的质量为0.2×[（20+10）÷10]=0.2×3=0.6（克）
倒入A管后，A管中的盐的质量为0.6×[（10+10）÷10]=0.6×2=1.2（克）
所以，最早倒入A中的盐水浓度是1.2 ÷10=0.12=12%
☆解法二：设最早倒入A中的盐水浓度为x，因此盐水中有盐10x。A管中盐水的浓度为，
B管中盐水的浓度为，
C管中盐水的浓度为，
根据题目中的已知条件“现在C中盐水的浓度是0.5%”，可以列出方程
可解得x=12%
答：最早倒入A中的盐水浓度是12%
[例8]A种酒精中纯酒精的含量为40%，B种酒精中纯酒精的含量为36%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合后得到纯酒精含量为38.5的酒精11升。其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升？
思路剖析
因为题目中B种酒精比C种酒精多3升，我们立即想到，如果去掉3升B种酒精，那么B种、C种酒精同样多。这时混合溶液中纯酒精的含量为；11×38.5%-3×36%=3.155（升）。
然后用假定法解答，设8升全部为A种酒精，那么纯酒精为8×40%=3.2（升），比实际多3.2-3.155=0.045（升）纯酒精。
这是因为把B、C混合液含的纯酒精量为（36%+35%）÷2=35.5%，也当成A种酒精40%了。那么0.045升中含有多少个（40%-35.5%），就有多少升B、C混合液。由此例可求解。
解答
☆解法一：由上述分析可得8-[（11-3）×40%-（11×38.5%-3×36%）]÷[40%-（36%+35%）÷2]=7（升）
☆解法二：在11升混合液中，加入3升C种酒精，这时纯酒精的含量为：11×38.5%+3×35%=5.285（升）
假定14升全为B、C混合液，那么含纯酒精为：14×35.5%=4.97（升），比实际少5.285-4.97=0.315（升）
这是因为把A种酒精误认为B、C混合液了。
所以，类似于解法一，列出综合列式为
（11×38.5%+3×35%-14×35.5%）÷[40%-（36%+35%）÷2]=7（升）
答：A种酒精有7升。
点津
浓度问题中溶液的浓度是变化的，任何题型都是围绕浓度展开的。然而我们却要弄清楚到底是谁引起了浓度的改变，是溶质呢，还是溶剂，或是两者都发生了改变。这便是我们解题中易错之处，只要弄清了这一点，问题才能够顺利解决。如例6，我们就采用了画表格的方法，使变化一目了然，易于求解。在解题中，我们还常用假设法，如例8。
发散思维训练
1．浓度为10%的糖水300克，要把它变成浓度为25%的糖水，需要加糖______克。
2．有浓度为2.5%的盐水200克，为了制成浓度为5%的盐水，从中要蒸发掉______克水。
3．一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满，再倒5升，再用水加满，这时容器内的溶液的浓度是______。
4．有一堆含水量14.5%的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10%，现这堆煤的重量是原来的百分之______。
5．有甲、乙两个杯子，甲盛水，乙盛酒精。先将甲杯中的水倒进乙杯，使乙杯中液体增加一倍，调匀；再将乙杯中酒精溶液倒入甲杯，使甲杯中液体增加一倍，调匀；再将甲杯中酒精溶液倒进乙杯，使乙杯中液体增加一倍……如此倒了5次，最后乙杯中的酒精溶液的浓度是______。
6．甲容器中有浓度为2%的盐水180克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙中取出240克盐水倒入甲，这时，甲、乙两个容器内的食盐量相等。乙容器中原有盐水多少克？
7．有浓度分别为60%和30%的盐水，要配制成50%的盐水900克，应在这两种盐水各取多少克？
8．一满杯水中溶有10克糖，搅匀后喝去；添入6克糖，加满水搅匀，再喝去；添入6克糖，加满水搅匀，又喝去；再添入6克糖，加满水搅匀，仍喝去，那么此时杯中所剩的糖水中有多少克糖/
9．白色容器中有浓度为12%的盐水50克，黄色容器中有500克水。把白色容器中盐水的一半倒入黄色容器中；混合后，再把黄色容器中现有盐水的一半倒入白色容器中；混合后，再把白色容器中的盐水倒入黄色容器，使两个容器盐水一样多。问最后黄色容器中的盐水浓度是多少？
发散思维训练
1．解：
浓度为10%的糖水300克含水为300×（1-10%）=270（克），在加入糖的前后，溶液中溶剂即水的质量是一样的，都是270克。假设加糖x克，列方程得（x+300）×（1-25%）=270，解方程得x=60（克）。
2．解：
浓度为2.5%的盐水200克含盐的质量为200×2.5%=5（克），在蒸发的前后，盐的含量是不变的。我们设要蒸发掉x克水，据此列方程得（200-x）×5%=5，解方程得x=100（克），即要蒸发掉100克水。
3．解：
第一次倒出2.5升，用加满后，酒精浓度为，第二次倒出的纯酒精为5×75%=3.75（升）。所以两次共倒出纯酒精2.5+3.75=6.25（升）。所以，此时酒精溶液的浓度为4．解：
。
设原有含水量14.5%的煤100吨，则有水分14.5吨。又设风干掉的水份是x吨，则由含水量得到方程是原来煤的95%。
5．解：
，解这个方程得x=5（吨）。现在煤的重量是100-5=95（吨），第一次后，乙杯中纯酒精还有，酒精浓度为50%，第二次后，甲杯中纯酒精占杯中酒精溶液的，浓度为25%；第三次、第四次、第五次后，纯酒精占乙、甲、乙杯中酒精溶液的，所以，第五次后，乙杯中酒精溶液浓度是34.375%。
6．解：
甲容器中原有食盐180×2%=3.6（克），甲容器中现有食盐3.6+240×9%=25.2（克），又知此时甲、乙两容器内食盐量相等。乙容器的浓度为9%，设现有乙溶液x克，则列方程得x·9%=25.2，解方程得x=280（克），所以乙容器中原有盐水240+280=520（克）。
7．解：
要求出60%和30%的盐水各取多少？即要求出两个未知量。我们先可以用假设法先求一个量：假设取的900克都是浓度为60%的食盐水，盐的重量是900×60%比实际上900×50%多90克，1克60%的盐水比1克30%的盐水含盐量的重量多1×60%-1×30%=0.3（克），需30%盐水90÷0.3=300（克），那么需60%的盐水900-300=600（克）。
8．解：
根据题目，我们把原有的10克糖水和后加入的糖分别考虑。杯中原有10克糖，喝完第四次后还剩；第一次加入的6克糖，喝完第四次后还剩；第二次加入的6克糖，喝完第四次后还剩；第三次加入的6克糖，喝完第四次后还剩。所以，当第四次喝完后，杯中所剩糖水中有糖。
9．解：
从白色容器中倒一半给黄色容器后，黄色容器中有盐水750克，其中含盐。
从黄色容器中倒一半给白色容器后，白色容器中有盐水250+375=625（克），其中含盐30+15=45（克），黄色容器中含盐为30-15=15（克）。
从白色容器中倒入625-500=125（克）给黄色容器，其中含盐色容器中溶液浓度为（15+9）÷500×100%=4.8%。
。最后黄
