2024年2月10日发(作者：)
四年级暑假应用题讲座
第一讲 奇妙的运算符号
例题1 选择＋、－、×、÷（ ）把七个5练成结算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5。
例题2
在十六个8的某些数字之间添上＋、－、×、÷，使结果分别等于1998、1999和2000.
练习1 分别选择＋、－、×、÷（ ）连结四个3，使下列各式成立。
（1）3 3 3 3 =1
（2）3 3 3 3 =2
（3）3 3 3 3 =3
（4）3 3 3 3 =4
（5）3 3 3 3 =5
练习2
在6666666中添上适当的运算符号及括号组成一个得数是1998的算式。
6 6 6 6 6 6 6=1998
热身演练
同步1 在下列算式中适当地填入＋、－、×、÷及（ ），使等式成立。
（1）9 9 9 9 9=16
（2）9 9 9 9 9=17
（3）9 9 9 9 9=18
（4）9 9 9 9 9=19
（5）9 9 9 9 9=20
同步2 在下面的式子里加上括号，使它们成为正确的等式。
（1）7×9＋12÷3－2=23
（2）7×9＋12÷3－2=75
（3）7×9＋12÷3－2=47
（4）7×9＋12÷3－2=35
拓展演练1
拓展1 在下面各数之间添上运算符号或括号，使等式成立。
（1）1 2 3 4 5=0
（2）1 2 3 4 5=1
（3）1 2 3 4 5=2
（4）1 2 3 4 5=3
（5）1 2 3 4 5=4
（6）1 2 3 4 5=5
拓展2
（1）在下面各数之间添上运算符号或括号，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 9=100
（2）9○8○7○6○5○4○3○2○1=29
在上面算式的“○”中填上“＋”或“－”使计算结果等于29，共有（ ）种不同的填法。
第二讲 加减法中的简便运算
示范赛题
示范1
用简便方法计算下列各题。
（1）9898＋203= （2）1225－996=
（3）1408－（408－195）= （4）（6524＋115＋835）－524=
示范2
用简便方法计算下列各题。
（1）9＋99＋999＋9999＋99999=
（2）1－2＋3－4＋5－6＋„＋1991－1992＋1993=
（3）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋„＋100=
迁移演练
迁移1
用简便方法计算
（1）516－56－44－16
（2）2356－（356＋287）
（3）8＋98＋998＋9998＋99998
迁移2
1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋„1990－1991－1992＋1993＋1994－1995－1996＋1997＋1998.
热身演练
热身1
（1）2345＋3198＋7655＋6802
（2）3842－433－1567－842
热身2
699999＋69999＋6999＋699＋69
拓展演练
拓展1
9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋99999.8
拓展2
（1）899998－799999＋89998－79999＋8998－7999＋898－799＋88－79
（2）1＋2＋3＋4＋„＋1998
第三讲 乘除法中的简便运算
示范赛题
示范1
用简便方法计算下列各题
（1）37×5×20= （2）25×（23×4）=
（3）25×32×125= （4）56×165÷7÷11=
（5）1111×9999=
示范2
计算99999×7＋11111×37
迁移演练
迁移1
用简便方法计算
（1）87×2×50
（2）125×（8×34）
（3）36×8×125×25
（4）123×456÷789÷456×789÷123
（5）33333×33333
迁移2
用简便方法计算
9999×2222＋3333×3334
热身演练
热身1
19971997×1996－19961996×1997
热身2
153×46＋71×54＋82×54
拓展演练
拓展1
计算 1999＋999×999
拓展2
计算 19981999×19991998－19981998×19991999
第四讲 四则混合的简便运算
示范例题
示范1
在□里填上适当的数。
（1070＋□×289）÷18=509
示范2
（1）小冬在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是700，正确的商是应是多少？
（2）乘数是10，积比被乘数多630，被乘数是多少？
迁移演练
迁移1
在□里填上适当的数。
□×100＋6×37=285.4
迁移2
（1）在一道减法式中，被减数被减数多1998，差比减数小56.被减数是（）。
（2）两个数的和是91，小玲在抄题时将其中一个加数个位上的“0”丢掉了，结果算出的和是37，这两个数分别是（ ）和（ ）。
热身演练
热身1
在□里填上适当的数：若435×□÷35=870，则□=
热身2
被减数、减数、差之和为80，减数与差相等，减数是几？
拓展演练
拓展1
在□里填上适当的数。
38×65－□=9.65×10
拓展2
（1）在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而差是减数的3倍，那么减数是
（2）（2）被减数、减数与差相加得536，已知差是减数的
1那么差是
3
第五讲 找规律填数
示范赛题
示范1
找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适合的数。
（1）1,5,11,19,29，（），55.
（2）6,1,8,3,10,5,12,7，（），（）。
示范2 观察下面各题中所给出的数的排列规律，然后填出各题中所缺的数。
（1） （ 2 ）
24 60 84 5 45 9
4 1 0 3
（） （）
6
7 56 8
（3）
1
8
3
4
12
2
3
5
8
22
（）
60
示迁移演练
迁移1
（1）找规律填数。
7、8、14、16、21、24、（ ）（ ）
（2）按规律填数
①1536， ，96,24,6
②2，5，10，13，26，29， ，
(),③，，，，3,
1214
迁移2
观察下列算式的规律，在（ ）中填上符合同样规律的数。
221＋33222＋54232＋75242＋9
热身演练
热身1
2242（）＋（）
按规律填数
（1）0,2,6,12,20,30，（ ）；
（2）1,3,7,15,31，（ ），127；
（3）12,19,33,61,117，（ ）；
热身2
按下图规律排列的一个数表，已经写出了前五行，第七行所有数的和是多少？
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
拓展演练
拓展1
1949、甲、乙、丙、1997是按规律排列的五个数，已知1997－丙=丙－乙=乙－甲=甲－1949其中甲是乙是 ，丙是
拓展2
有一串数1，7,13,19,25，„„这列数的第1998个数是
A B C
第六讲D
巧数线段和图形E
示范1
数一数图中有多少条线段？
示范2
（1）图中共有多少个长方形？
（2）图中各小格都是正方形，图中共有（ ）个正方形。
(1)图
（2）图
迁移演练
迁移1
，
下图中有多少个三角形？
迁移2
（1）图中有多少个长方形（ ）
A.20 B.40 C.80 D.150
（2）图中有 个正方形？
热身演练
热身1
下图中共有 条线段， 个三角形。
热身2
下图中共有（ ）个长方形
拓展演练
拓展1
1
下图中一共有（ ）个长方形，（ ）三角形，（ ）个梯形，（ ）个平行四边形。
2
6
图中连接圆上的点可作几条直线？
3
5
4
终点
第7讲 巧求周长
示范1
小玲和小平在一个游乐坪上比赛，二人都从起点出发，小玲沿A路行走，小平沿B路行走，两人速度相同，问小玲和小平谁先到终点。
B
示范2
用4个一样大的长方形和一个小正方形拼成一个边长是33厘米的大正方形，已知长方形的长是宽的2倍。求小正方形的周长。
起点
A
迁移1
广场中有一个演出台如图所示（单位：米），请你求出它的周长。
迁移2
一个长方形被分成3个大小形状完全一样的长方形，每个小长方形周长是24厘米，求这个正方形的周长。
热身1
已知周长320厘米的长方形的四个角上是四个小正方形，求阴影部分的周长。
热身2
四个同样大小的长方形拼成一个大正方形和一个小正方形，大正方形周长40厘米，小正方形周长24厘米，长方形的长和宽各是多少厘米？
拓展1
大长方形中每个小正方形的周长都是4厘米，求这个大长方形的周长。
15
15
0
5
5
拓展2
下图是由六个正方形重叠起来的，连接点正好是正方形的中点，正方形边长是a，图的周长是多少？
第八讲 巧求面积
示范1
下图是一块菜地，请你求出它的面积。
80
80
①
20
②
20④
③
示范2
3厘米
一个正方形边长增加3厘米，面积就增加39平方厘米，原来的正方形的面积是（ ）平方厘米。
50
20
20
50
3
厘米
①
② ③
迁移1
下图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
A.40 B.30 C.20
迁移2
一个正方形，如果边长增加1厘米，那么面积增加17平方厘米。这个正方形原来面积是（ ）平方厘米。
热身1
已知大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形比小正方形的面积大96平方厘米，分别求出大、小正方形的面积。
热身2
将一个长方形的长增加1厘米，宽增加3厘米就变成一个正方形，面积增加33平方厘米，求原长方形的面积。
拓展1
大、中、小三个正方形，边长都是整厘米数，小正方形的周长比中正方形的边长大，把这两个正方形放在大正方形中（如下图），大正方形露出部分的面积是28平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？
拓展2
如图，正方形的边与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是
第九讲
A
D
C
B
一笔画
示范1
下图是一个公园的平面图①，要使游客通过每条路且不重复，问出入口应设在哪里？
G
I
F
J
E
A
D
B
示范2 世界名题“哥尼斯堡七桥问题”
C
18世纪的欧洲有个哥尼斯堡城，瑞格尔河穿过这个城市，
河上有两个岛，在岛与岛之间及陆地B、C与岛之间有7座桥，不少人热衷于一个有趣的数学游戏:一个游
人怎样才能走遍七座桥，每座桥只能经过一次，最后又回到出发点？
迁移1
公园有9块花园，水源在A处（如图所示），现在要修渠引水浇地，修的水渠不许交叉，路线要最简捷，还要浇遍9块地，你说这条水渠怎样修？
A
迁移2
下图中有A、B、C、D、E、F六个小岛，各岛之间共有15座桥，现在要从A岛出发，不重复地走遍十五座桥，能走吗？若能则该怎么走？
热身1
能否一笔画出一条线路，使它和下图中的八条线段都相交一次，且不准在端点相交？
热身2
在六面体的顶点B上有一只蚂蚁，它与顶点E上的另一只蚂蚁约定，在爬速相同时爬过所有的棱线之后，最后到终点D，问哪知蚂蚁获胜？
D
A C
B
拓展1
农技试验田里用纵横的田埂划分成9个作物对比区（见图所示）。农技员过桥后，能不能不走重复的路，把E
试验田的田埂走一遍？若不能，请找出一条走重复路线最少的捷径来。
拓展2
一位邮递员每天骑自行车去送信，他投送信件的街道如下图所示，图上数字表示街道的千米数，他从邮局出发，走遍街道后回到邮局，问走什么样的路线最合理？最少走的是千米？
第十讲 “将军饮马”与最短路线
示范1 世界名题“将军饮马”
古希腊亚地山里亚城有一位著名的学者，名叫海伦，他精通数学 物理，聪慧过人。有一天，一位远道而来的将军向他请教一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再去B地马棚，如图（a）所示，走什么样的路线最短？海伦听了将军的问题，稍加思索便回答了这个问题，将军听了后恍然大悟。现将海伦的回答记录如下。
A
B
A
B
乙
乙
C
示范2
B„
a）有一只壁虎要从长方体一面的A点，爬到邻近另一面上B点吃一只蚊子，如图（，试问：它该怎么爬路(a)
(b)
程最短？
l
B
l
C
B
A
A
(a)
(b)
迁移1
一个自来水厂，计划在江边建一个抽水塔（如图所示），i给AB两个储水池供水，要你设计一条路线，使得自来水管长度最短
迁移2
A
B
圆柱体侧面上两点A和B，一只小蚂蚁从A点出发爬到B点吃糖，如何选择爬行路线路程最短？
B
热身1
A
如下图，要在两条街道AB CD上设立两个邮筒，K处事邮局，邮递员从邮局出发，从两个邮筒里取出信件后再回到邮局，问邮筒应该设在何处，方能使邮递员所走的路程最短？
B
A
K
C
热身2
D
一个居民小区有四栋楼房ABCD（如下图），现在立一个邮亭，为使四栋楼的居民到邮亭的距离之和最短，邮亭应设在哪两栋楼之间？
拓展1
在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，如下图所示，共有五个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓A B C D
库存有20吨货物，五号仓库存有50吨货物，其余两个仓库是空的，现在想将所有的货物集中放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？
拓展2
如下图，一块长方体木块上，一只小蚂蚁从木块的A三点出发爬到B点，AB均为所在棱长的中点，如何选
二 五
一 四
择爬行路线，路程最短？最短路程为多少？（单位：厘米）
10吨 20吨 50吨
B
8
8
第十一讲 图形性质的判断概括
A 4
示范1
根据下面跑表的前面五个图形的变化规律，画出第22个图。
示范2
将围棋子如图所示那样排列，最外一层的三边上应排围棋子多少个？
迁移1
请按照已有的五个图形的变化规律，画出第⑥个图形
① ② ③
迁移2
如图，大中小三个等边的六边形，其中有一边已点上黑点，如果其余五边都按相同数量点上墨点，还要点的是个呢？
⑥
④ ⑤
热身1
找出下面图形变化的规律，再在？处填上适当的图形。
热身2
?
如下图，同样大小的立方体木块堆放在房间的一角，一共垒了十层，那么在这十层中看不见的木块共有
个
拓展1
下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图
(2)
(1
)
拓展2
(3)
(4)
（5）
在下图中梯形的数量比三角形的数量多（）个。
第十二讲 计量推理和方程
示范1
黑白花三个大小一样，但重量不一样的球，在台秤上两个两个一起称，已知黑白两球共重110克，白花两球共重130克，花黑两球共重150克，请你推算出这三种球各重点是克？
示范2
已知 2个○=3个□ 求○=？□=？
2个○＋3个□=12
迁移1
（1）一个大球 两个中球 三个小球共重140克，一个大球 四个中球 三个小球共重146克，那么一个中球重点是克？
（2）○＋○＋★＋★＋★=19
○＋○＋★＋★＋★＋★=22
迁移2
2x3y已知2x3y12
求x?y?
热身1
一头象的重量等于6头牛的重量，2头牛的重量等于3匹马的重量，1匹马的重量等于5只羊的重量，一头象的重量等于几只羊的重量？
热身2
从下面的图中你能推算出1只菠萝的重量等于几只桃子的重量吗?
拓展1
下面每块积木重40克，怎样求出一支香蕉比一个苹果轻多少克？
拓展2
9个重量全不一样的球排成3×3的方阵，用两种方法算球，这样共挑出3个“重球”，并从这3个“重球”中选出最轻的球，叫做“重球里的轻球”，记为A球（2）从每列中，挑选
这一列中最轻的一个球，这样共挑出3个“轻球”，并从这3个“轻球”中选出最重的球，叫做“轻球里的
重球”记为B球。
请问：这两种球，到底谁重？
第十三讲 分析推理问题
示范1
有三个小姑娘穿着崭新的连衣裙去参加游园会，一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的，但不知道哪一个姓王，哪一个姓李，哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓王的既不是穿红的也不是穿花裙子的，你能猜出这三个小姑娘各姓什么？
示范2
小明家养了一些鸡，当鸡在吃米的时候，两个在两个左边，两个在两个右边，两个在两个两旁，两个在两个中间，小明家一共养乐点是只鸡？
迁移1
小王 小张 小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士。现在知道：小李比战士年龄大，小王和农民不同岁，农民比小张年龄小，那么，谁是工人，谁是农民，谁是战士？
迁移2
红盒子比白盒子大，蓝盒子比黄盒子大，但比黑盒子小，黄盒子比白盒子大，黑盒子比红盒子小，按从大到小排出各色盒子的顺序。
热身1
甲乙丙丁与小华五人参加兵乓球比赛，都要比赛一局，到现在为止，甲已经赛了4盘，已赛罗3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，小华赛了几盘？
热身2
有一个立方体，它的六个面上写有1 2 3 4 5 6 这几个数字，图 ABC是从三个不同角度观察立方体时间到的情形，请你想一想立方体上数字124的对面分别是什么数？
1
4
2
拓展1
2
6
5
3
5
1
有9枚金币，其中有一枚是假的，它比真金币轻一点，请问最少称几次可以找到这枚假币？
拓展2
左面的一个立方体展开图是右面哪一个立方体展开后的图形？
第十四讲 火柴棍游戏
示范1
移动一根火柴棍，使等式成立。
（1）×= （2）＋=
（3）＋= （4）×=
示范2
移动一根火柴棍使下面不等式成立。
－＋＞
迁移1
移动一根火柴棍，使等式成立。
（1）×=
（2）×=
迁移2
移动一根火柴棍使下面不等式成立。
×＞
热身1
下图用火柴棍已摆成一个正确的等式。现在请你移动一根火柴棍使等式仍然成立。移动后的等式为（ ）
＋=
热身2
有一个由8根火柴棍组成的长方形（见下图），再给你2根火柴棍，请你重新摆一个长方形，使新的长方形的面积比原长方形面积曾加一倍。
拓展1
请你用9根火柴摆出六个正方形。（画图表示）
拓展2
你能用6根火柴棍组成4个一样大的等边三角形吗？（火柴不许折断）
第十五讲 数字算式谜
示范1
将0、1、2、3、4、5、6这七个数填在圆圈和方块内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。○×○=□=○÷○
示范二
在下列两式中填数，使其成立。
□□ □0□
× 3 5 × □7
3 3 □ 5□3□
1 □ 8 6□□□
□□ □□ □□ 0 3□
迁移1
将1、2、3、4、5、6、7、8分别填入下式中的□中，使等式成立。
□×□－□=96÷□□＋□=□
迁移2
填上适当的数字使下式成立。
8□ 5 7
× 4 6 × □2
49□ 1□4
3□2 39□
3□1□ 41□4
热身1
在□中填上数字，使下面的算式成立。
□□5 □6□
× □□□ × □7
9 □□ □□□6
□□□ □□ 2
1 □□ 2 5 □□□□
热身2
在□中填上数字，使下面的算式成立。
□□5
× □□□
1□□□
□□□
1 □□0 5
（2）提示：下式须根据积的位数来推测商和除数的大小。
□7□6
□2 □□□□□□
□□□
□□
□□
□□
□□
0
拓展1
在下列算式中等的□填数，使下面的算式成立。
1□ 1 □
× □□ × □□
□5□ □8□
□□□ □□
□8□□□ □8□□
拓展2
在下面的算式中，填入合适的数字使算式成立。
□4□□
□□ 1 33□□□
□□7
□□□
□□6
□□□
□□7
□□□
□□5
0
（2）提示：下式须根据积的位数类推测商和除数的大小。
□8□□
□□□□□□□□
□□□
□□
□□
□□□
□□□
0
第16讲 文字算式谜
示范1
确定下面算式中汉字所代表的数字，使算式成立。
羊年大吉4吉大年羊吉大43年羊吉3羊3羊0示范2
右边算式中字母代表数字而且首位数字不为零。试确定各个字母是什么数字。
ABCC
DBC迁移1
求下式中A、B、C、D、E、F各自所代表的数字。
ABCFDABCF5
DEE迁移2
下式中的汉字各代表什么数字？并完成下式。
爱科学爱科学6
02
热身1
下式中的汉字各代表什么数字，算式才会成立？
先进更先进先
好好好好好好
热身2
喜庆澳门回归祖国国喜喜喜喜喜喜喜喜喜
0
拓展1
下面算式中的汉字各代表什么数字算式才能成立。
快乐迎奥赛快乐迎奥赛快乐
迎奥赛拓展2
下面算式中的字母各代表什么数字算式才能成立。
ABFF
BCDCEA
HAAAGIG第十七讲 巧剪妙拼趣味图形
示范1
将一块长16厘米、宽9厘米的长方形纸片，剪成形状大小都相同的两块，然后拼成一个正方形。
6
示范2
1 1
观察右图中的甲乙两个图形，将其中一个剪成三块，然后全部拼在一起，并拼成一个正方形。
2 2
3 3
5 甲
1 6 1
10
迁移1
请将下图所示的图形分割成4块，每块的形状和大小都相同，然后将它们拼成一个正方形。请在原图上标明分割线并画出拼合图。
迁移2
将甲图形分割成大小相等形状相同的4块与乙图形拼成一个正方形。标明分割线并画出拼合图。
热身1
将下图剪成两块，然后拼成一个正方形。
热身2
将甲图形分割成大小相等形状相同的4块，然后与乙图形一起拼成一个正方形。标明分割线并画出拼合图。
拓展1
下面是“俄罗斯方块”的游戏中七种图形，它们每个都是面积为4的图形。（图上显示每种图形各占4个小方格）
用这七种图形各一个，能否拼出下面的A图或者B图。
拓展2
如果用上图的七种“俄罗斯方块”的图形每一种四件，是否各能拼成一个4×3的正方形？（拼时同样不能翻转）试画出拼合图。
第十八讲 分类列举与树形图
示范1
从1、2、3、4、5、6这六张数字卡片中任意挑出三张排成一个能被6整除的三位数，可以排出多少个数？
2
示范二
右图中有6个点、9条线段。一只甲虫从AF点，但不能重复经过同一点或同一段线段，4
点出发要沿线爬到2
这只甲虫最多有几种走法？
乙
甲
迁移1
从0、7、4、2四张数字卡片中，挑选三张排成三位数，能排出多少个不同的三位数？
迁移2
如图，小明住在A点的位置，B点是学校的位置，小明从家上学只许向右或向下两个方向走，他有多少条上学的路线？
热身1
用4、5、6三个数字可以组成多少个不同的三位数？从小到大排列564是第几个？
热身2
现有红、黄、白色三只球，按照颜色不同从左到右排成一行，共有几种排法？
拓展1
“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写。把这三个字母写成三种不同的颜色，现在共有五种不同颜色的笔，问能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”。
拓展2
一个学生暑假去甲、乙、丙三个城市旅游，他今天在这个城市，明天就得到另一个城市。第一天他从甲城开始，第五天人仍然回到甲城。问这个同学有多少条游览路线？
第十九讲 合理安排统筹好
示范1
早上6点钟起床后，到7点上学的1个小时内，小红必须完成以下工作：叠被3分钟，刷牙洗脸8分钟，读外语30分钟，吃早饭10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。请你用统筹方法，为小红同学设计一张合理的数学图表，算一算需要几分钟？
示范2
用一只平底锅煎饼，每次只能放两只饼，剪一只需2分钟（规定正反面各需1分钟），问煎3只至少需要几分钟？
迁移1
妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要1分钟，烧开水要15分钟，洗水壶要1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶？
迁移2
理发室里有一位理发师，同时来了甲、乙、丙三位顾客，根据他们所需理的发型，分别需要10、12和20分钟，若要使这三位顾客理发和等候所用时间总和最少，合理的顺序为
，最少时间是
热身1
城东小学6个班的师生秋游，一班师生共49人，二班师生共44人，三班师生共41人，四班师生共46人，五班师生共45人，六班师生共42人。现在要求各班师生同坐一趟船，全校师生分三次过河，应怎样安排？
热身2
秋游时小明这一组的人自己动手烧烤鱼，火上每次只能放4条鱼，烧熟一条鱼要4分钟（每面各要2分钟），
可是他们烧烤6条鱼只用了6分钟，他们是怎么干的呢？
拓展1
60个同学去军训，他们夜宿搭的帐篷正好位于五边形的五个顶点上（如下图），图中圆圈内的数字表示每个帐篷的人数，班主任想将五个篷内的人数调整为一样多，怎样调整最简便？
拓展2
有157吨货物从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升。问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？
第二十讲 最大和最小问题
示范1
用1、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数，使它们乘积最大□□□×□□□=
示范2
一个自然数n，各位数字之和是300，要使n最小，n应当是（）位数，它的首位数字应当是（）
迁移1
（1）用9、8、7、6、5、4这六个数字组成两个三位数，使它们的乘积最大，最大乘积是（）
（2）将40颗珠子分别放进8个盒子里，要使每个盒子里都有珠子，那么其中的一个盒子里，最多能有多少颗珠子？
迁移2
一个自然数n，各位数字和是2008，要使n最小，n应是几位数，它的首位数字是多少？
热身1
五个人种88棵树，他们种树的棵树各不相同，那么五个人中种树较多的2人，所种树的棵树之和最少是
棵。
热身2
将3支红筷子，9支黄筷子，18支绿筷子，2支白筷子和1支黑筷子放入一个布袋里，一次至少摸（）支才能保证有两双颜色相同的筷子。
拓展1
黄气球2元钱3个（不能拆开卖），花气球3元钱2个（也不能拆开卖），学校想买两种气球各花同样多的钱，总钱数在50元以内，最多能买气球多少个？
拓展2
有10只羊，每只羊的重量不少于32千克，其中任何8只羊的总重量不少于260克，这10只羊的总重量至少有（）千克。
第二十一讲 有趣的数阵图
示范1
将1~7七个数分别填入右图的各个圆圈中，使每条直线上的三个圆圈内的数之和相等。
示范2
将1~9这九个连续自然数分别填入右图三角形各边上的圆圈中，使每条边上四个数字之和等于20，应如何填。
迁移1
将1~11这十一个数分别填入下图中，使每条直线上的三个数的和相等。
迁移2
在下图的圆圈中填入1~8这八个数字，使每条边上三个数之和都是15.
热身1
把1~7七个数字填入下图的圆圈中，使每条半径和每个圆周上的三个数之和都相等。
热身2
将20~25这六个数分别填入下图的圆圈内，要求每条边上的三个数之和S都相等，那么S的最大值是 。
拓展1
把3~11这九个数字分别填入下图的圆圈中，使每条直线上三个数的和都等于21.
拓展2
将0~9这十个数分别填入下图的10个小圆圈内，使得各个黑三角形三个顶点内的数之和全都相等。
第二十二讲 综合法解决问题
示范1
学校将一批图书奖励给一批优秀学生。如果每人给6本，还多出15本；如果每人给9本，又少了21本。试问有多少本图书又有多少同学获奖？
示范2
甲、乙、丙三个同学到书店购买图书。已知甲、乙两人共带钱46元，乙、丙两人共带钱47元，甲、丙两人共带钱51元。三人买书用去的钱数相等，并且恰好用完了三人所带去的钱。问：带钱最多的同学代替带钱最少的同学付了多少元钱？
迁移1
甲在共用炉灶上出柴3担，乙出柴5担，丙无柴可出。经商定后丙付钱8元，问甲、乙各应分得多少元才合理。
迁移2
甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，问甲班和丁班共多少人？
热身1
买来一批水果，分给幼儿园的小朋友，如果每人分5个苹果，那么还剩余32个，如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果。这批苹果有多少个？
热身2
甲乙两个车间共有94个工人，每天共生产1998把竹椅。由于设备和技术的不同，甲车间平均每个工人每天只能生产15把竹椅，而乙车间平均每个工人每天可以生产43把竹椅，甲车间每天竹椅的产量比乙车间每天竹椅的产量要多多少把？
拓展1
加工一批零件，原计划每天加工15个，若干天可以完成。当完成加工任务的3时，采用新技术，效率提高520%。结果，完成任务的时间提前10天。这批零件共有多少个？
拓展2
小明步行45分钟可从甲地到乙地，小华乘车这15分钟可从乙地到甲地。当小明和小华在路上相遇时，小明已经走了30分钟，小华接小明返回乙地，还需要多少分钟？
第二十三讲 分析法解决问题
示范1
印刷厂计划在25小时内印刷笔记本10800本，由于改进了技术，每小时比原计划多印刷108本。问可比原计划提前几小时完成任务？
示范2
海南百货商场委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元。如果损坏一只，不但不给运费还要赔偿损失5.1元。结果运输队获得运费383.5元。问损坏了花瓶多少只？
迁移1
甲骑自行车从A城到B城，到B城后立即骑车返回A城，乙乘火车从A城到B城，到B城后立即步行返回（假设公路铁路激励相等）。现知火车速度是每小时66千米，步行速度是每小时6千米。若两人往返的时间相等，求骑自行车的速度。
迁移2
一艘船顺流而下，速度是每小时6千米，逆流而上每小时4千米。求往返于两地相距72千米的码头间的平均速度。
热身1
某商品每件成本72元，原来按定价出售，每天可售出100件，每件利润为成本的25%，后来按定价的90%出售，每天销售量提高到原来的2.5倍，照这样计算，每天的利润比原来增加多少元？
热身2
要修两段同样长的公路，修路队修第一段路时，平均每天修0.5千米，修好全部公路，总平均每天修路多少千米？
拓展1
甲乙两列火车的速度比是5：4。乙车先发，从B站开往A站，当火车走到离B站72千米的地方时，甲车从A站发车往B站，两列火车相遇的地方离A、B两站的距离之比是3:4，问A、B两站之间的距离是多少千米？
拓展2
一辆小汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原来时间提前1小时到达。如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。甲乙两地相距多少千米？
第二十四讲 作图分析法解决问题
示范1
甲向乙借款10元，乙向丙借款20元，丙向丁借款30元，丁向甲借款40元。某日四人会面，你能用最简便的手续了清他们之间的债务吗？
示范2
哥哥的年龄和妹妹现在的年龄一样时，妹妹是9岁；妹妹的年龄和哥哥现在的年龄一样时，哥哥是24岁，兄妹两人现在各是多少岁？
迁移1
用5元3角钱买西瓜和甜瓜，西瓜7角一个，甜瓜4角一个，钱要正好用完，还要尽量多买甜瓜，应买多少个西瓜？多少个甜瓜？
迁移2
把一堆棋子分别放在两个盒子里，甲盒子里的棋子数比乙盒子里的棋子数多5个。如果把甲盒的棋子拿出10个放入乙盒，这时甲盒里的棋子数正好等于乙盒的一半。这堆棋子共有多少个？
热身1
东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余12个同学；如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加一个，则少9人。算一算东风小学仪仗队有多少个学生？
热身2
A、B两地相距540千米。甲乙两车往返行驶于A、B两地之间，都是到达一地之后立刻返回，乙车较快。设两车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么，到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
拓展1
五个小碗放成一排，其中有两只小碗内各有一个相同的兵乓球，请问有多少种放法？
拓展2
甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的2，两人相遇后继续前行，甲到B地、乙到3A地后立刻返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距多少
千米？
第二十五讲 转化变换法解决问题
示范1
求一个除以5而余3，除以6而余4，除以7余5且最接近200的整数。
示范2
搬运一堆货物，甲、乙两人合做6天后，余下部分由甲单独做需10天完成，由乙单独做需15天完成。如果全部由甲单独搬运，需多少天完成？
迁移1
一百余粒水果糖，3粒一堆余2粒，5粒一堆余4粒，7粒一堆余6粒。这堆水果糖至少有多少粒？
迁移2
一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次。它一连几天运了112次，平均每天运了14次。问这几天中有几天下雨？
热身1
父亲今年36岁，儿子6岁。当父亲的年龄数是儿子的3倍时，是几年前或者是几年后？
热身2
村里熟了西瓜，男女老少品尝它，小伙每人吃一个瓜，姑娘两人份一个瓜，老人一个瓜三人吃，四个小孩吃一个瓜。男女老少四个组，一共吃了五十个瓜。各组人数都相同，每组几人品尝瓜？
拓展1
买2个篮球的钱可以买6个排球，买6个足球的钱可以买3个篮球，买排球、足球、网球各1个的钱可以买1个篮球。那么，买1个篮球的钱可以买多少个网球？
拓展2
某人有3千克菜籽，他要到油坊换油。甲油坊100千克菜籽可以换油34千克；乙油坊100千克菜籽可换油32千克和菜饼50千克（菜饼每千克可卖0.4元）；丙油坊100千克菜籽可换油33千克和菜饼35千克；丁油坊收购菜籽每千克3.80元，菜籽油每千克12元。问他到哪个油坊换油最合算？
第二十六讲 倍数问题
示范1
甲乙两个车间每日生产皮鞋884双，卖家车间的产量是乙车间的3倍，两个车间每日各生产皮鞋多少双？
示范2
希望小学开展课外活动，报名参加数学的同学比报名参加英语的同学多72人，学数学的同学是学英语的同学的4倍，学数学与学英语的各有多少人？
迁移1
三块钢板共重207千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍，三块钢板个重多少？
迁移2
红星果园在山坡上种了一批核桃树和枣树，核桃树的棵树是枣树的2倍还多95棵，核桃树比枣树多种了1455棵，两种树各种了多少棵？
热身1
王老师共买回83个球，其中篮球是足球的2倍，足球比排球多5个，这三种球各有多少个？
热身2
甲仓有粮32吨，乙仓有粮57吨，甲仓每天存入4吨，乙仓每天存入9吨，几天之后乙仓的粮食是甲仓的2倍？
拓展1
被除数、除数、商、余数的和是501，商17余8.求被除数和除数个是多少？
拓展2
有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4倍，大、中、小三筐各装菠萝多少千克？
第二十七讲 智能形问题
示范1
用绳子测量井深，把绳子三折量，井外余4尺；把绳子四折量井外余1尺，问井深、绳子各多少尺？
示范2
一只青蛙从19米深的井底往上爬，白天爬3米，晚上睡觉时下滑2米，第几天爬上井口？
迁移1
小黄和小兰都想买《科学家的故事》这本书。小黄缺1分钱，小兰缺4角2分钱；用他们两人的钱合买一本，钱还是不够。问这本书的价格是多少？
迁移2
蜗牛沿着9米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上它又下降4米，问蜗牛爬到柱顶需要几天几夜？
热身1
猫狗赛跑，在相隔100米的两树间，有一只小狗和一只小猫在赛跑，小狗每次跳3米，小猫每次跳2米，但小狗跳2次的时间，小猫可以跳3次，如果要求在两树间跑一个来回，谁先到达终点？
热身2
甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离100千米，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带着一只狗，狗每小时走10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又调头朝甲跑去，碰到甲时又往乙那边跑，直到两人相遇，问这条狗一共走了多少千米？
拓展1
牛顿巧排九树阵。著名数学家和物理学家牛顿提出的一道题目：九棵树，栽十行，每行栽3棵，你能用图示意怎样排列的吗？
拓展2
奇迹园中有摇钱树，上面长有金币（不同树上的金币数目可能不同），每天夜里每棵树上都长出一块新的金币。3月1日时，这些树上共张有1000块金币。3月里的某一天，布拉基诺又新种了一棵摇钱树，到3月31日时，所有的树上一共长有1993块金币。试问，布拉基诺是在哪一天又新种了一棵摇钱树？别忘记论证你的答案。
第二十八讲 对应排序与概括规律
示范1
观察画等边三角形的步骤一、二、三„„按这种方法画33个三角形要添多少条线段？
示范2
在一个边长为20厘米的等边三角形中，把每边的长度平均分成10份，然后按分点画出如图的图形，试问一共画出了多少个小正三角形？
迁移1
有一个三角形,想一想：如添20条直线，得到的图形，一共有多少个三角形？
迁移2
下图是一个边长为4厘米的正方形，我们称它为第一正方形。依次连接四边的中点，得到第二个正方形，继续这样下去，得到第三个、第四个、„„正方形，求第一个正方形至第五个正方形的面积和是多少？
热身1
有同样大小的红、白、黑珠共180个，按照先红5个，再白5个，再黑3个排列着。试回答：）（1）黑珠共有几个？（2）第158个珠是什么颜色？
热身2
根据前三组数字关系，请填个正确的答案在问号筐里。
拓展1
如下图，将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯„„问拐第二十个弯的地方是哪一个数？
拓展2
下面这张发票被墨汁污损了三处（用黑色圆点表示）。请算出育英中学买了几块小黑板？（列式计算）
第二十九讲 观察类比与观察比较
示范1
下图中每个小正方形的面积都是1平方厘米，问阴影部分的面积是多少平方厘米？
示范2
比较下面米字格及其右图，数出右图中的三角形个数。
迁移1
已知右图中大正方形边长是6厘米，中间小正方形边长是4厘米。求阴影部分的面积。
迁移2
教室里有四个书柜，每个书柜都有四格书，每格上都标明了书的册数，一天老师问小明和小刚“不许用加法计算，你们能很快告诉我，这四个书柜里，哪一个书柜的书多一些？”两个人看了看书柜上的数字，想了想齐声说：“四个书柜的书同样多！”老师高兴地说：“完全正确！”你说一说他们是怎么想出来的？
热身1
先观察下面个算式，找出规律，然后填数。
9×9＋7=88
98×9＋6=888
987×9＋5=8888
9876×9＋（）=88888
（）×9＋（）=888888
热身2
按照下列数的变化规律，写出□和（）里的数。
拓展1
这个柜子里，放着大、中、小三种瓶子，全部装满了水，现在知道小瓶子里的水是1斤；柜子中每一格上的各种水瓶的总容量是相同的，柜子里共有多少水？
拓展2
下面的长方形中，画了两种不同颜色的三角形，哪种颜色占的面积大？
第三十讲 逆推法解决问题
示范1
王奶奶说：“把我的年龄加上22，再用5除，然后减去10，再乘以10，恰好是100岁。”王奶奶现在有多少岁？
示范2
袋子里有若干个球，小方每次拿出其中的一半再放回2个球，这样共操作了5次，袋中还有5个球，问袋中原有多少个球？
迁移1
有一筐桔子，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少2个，筐中还剩20个，筐中原有桔子多少个？
迁移2
猴子吃桃子，第一天吃了一半又一只，第二天吃了余下的一半又一只，第三天也吃了余下的一半又一只，第四天、第五天都分别吃了前一天余下的一半又一只，最后只剩下一只桃子，问原来有多少只桃子？
热身1
小王在书店买一本《词语手册》，用去他所带的钱的一半少1元2角，又买了《智力竞赛题》，用去所剩钱的一半少2元7角，最后买《儿童小说选》，用去他所剩钱的一半多4元4角，小王正好还剩下1角钱。问小王原来共带去多少钱？
热身2
A、B、C三个人各有若干粒玻璃弹子，他们约定互相赠送，先由A送给B、C，所给的弹子数等于B、C原来各自的弹子数；依同法再由B给A、C现有的弹子数，后由C给A、B现有的弹子数，互相送完之后每人恰好各有64粒弹子，问原来他们各有多少粒弹子？
拓展1
沈军带了一些钱上街，他到书店买了一本故事书，正好用去所带钱的一半，他又到百货店买了4块肥皂，又用去了剩下钱数的一半多4角，沈军这时还剩1元6角。问沈军上街带去了多少钱？
拓展2
甲、乙、丙、丁各有棋子若干枚，甲先拿出自己棋子的一部分分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子各增加一倍；然后乙也把自己的棋子的一部分以同样的方式分给了丙丁；丙也把自己棋子的一部分以同样方式分给了甲、丁；最后丁也以这种方式将自己的棋子给了甲、乙。这时四人的棋子都是16枚，问原来甲、乙、丙、丁四人各有棋子都是枚？
第三十一讲 方阵问题
示范1
学校正方形操场四周插上彩旗，四个角上都要插上一面彩旗，使每边有9面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗？
示范2
在广场中心塔的周围，用300盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，求最外面一层每边有鲜花多少盆？
迁移1
一个正方形棋盘每边7枚棋子（四个角都要有一枚），问一共有多少枚棋子？
迁移2
有360名学生表演团体操，想排成6层中空方阵，最外层每边应排多少人？
热身1
有若干枚棋子，正好排成每边8枚的正方形实心方阵，棋子的总数有多少枚？棋子的外层有多少枚？
热身2
厨房地面是长为3米的正方形，今用边长15厘米的正方形红瓷砖沿边往里铺5层，问共需要红瓷砖多少块？
拓展1
16只兔子分装在8只笼子里，排成正方形方阵（如下图），每只笼子里放2只，每边放6只，现在要使每边变成5只，该怎样调整笼中的兔子？（不许拿走兔子）
拓展2
有若干学生，列成三层中空方阵还多9人，在中空处增列一层缺少7人，求学生的总人数。
第三十二讲 体育竞赛胜负推理
示范1
王、张、李、赵、孙五位选手进入围棋决赛圈。决赛采用单循环制，即每两人都要比赛一盘，到现在为止，王已赛过4盘，张3盘，李2盘，赵1盘，问此时孙选手赛了几盘？
示范2
一次足球友谊杯赛有甲乙丙丁四个队参加，规定每两队赛一场。胜得2分，平各得1分，负不得分。比赛结果乙队得5分，丙队得3分，甲队1分，所有场次共进球9个，乙队最多共进4个。丙队共失球3个。丁队一球未进。甲队和丙队那场打成2：3，问甲队与乙队那场打成几比几？
迁移1
A、B、C、D四人进行象棋赛，每两个人比赛一盘，到午饭时，A已下了3盘，B已下了2盘，D已下了1盘，问C下了几盘？
迁移2
四名田径运动员参加三项全能比赛。规定每项第一名得5分，第二名得3分，第三名得2分，最后一名得1分。赛完后统计总分，甲得10分，乙得12分，丙得4分，丁得7分。试列出各项名次榜的一种可能情况。
热身1
甲乙丙丁四人进行网球公开赛，每2人赛一场，结果甲胜丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，那么丁胜了几场？
热身2
甲、乙、丙三个足球俱乐部进行单循环赛来决定哪个队小组出线，下表给出了比赛部分结果，请根据已有数据填满下表，并给出各场比赛比分。
拓展1
实达、国安、申花三支足球队举行邀请赛，每两队各赛一场。已知国安队一球未进还打平了一场。申花队总进球数是1，总失球数是2，并且恰好胜一场。按规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。实达队得了多少分？
拓展2
A、B、C、D、E、F六支篮球队进行比赛，每个队都已经赛过三场。A队三战积6分，B队三战三败，，C队三战三平，D、F两队赛过一场，D队三场比赛只积1分。比赛规定胜1场得2分，平一场得1分，负一场得0分。你知道E队的三场比赛是与哪些队进行的？胜负如何？
