初三数学讲座

2024年1月11日发(作者：)

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初三数学讲座

2011年 元月

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一、关于二次根式的问题

例1、 已知a、b为两个连续整数，且a＜7＜b，

则ab= .

例12、不改变根式的大小把(a1)1a根号外的因式移入根号内，正确的是 （ ）

A.

1a B.

a1 C.

a1 D.

1a

abab2ab5例3、已知：，，求ba的值.

.

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解：∵

abb同号，

20，∴

a、又

ab50，∴

a0，b0，

ababaabbab原式==

baabab(ab)2(5)52. ==22ab

原式=ab2()ba=ab2

ba

25a2b2(ab)2ab222===2.

abab

例4、若有理数x、y、z满足 试确定(xyz)的值.

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1xy1z2(xyz)，

23

.

解：将已知等式移项，并配方得：

(x2x1)(y12y11)(z22z21)0

(x1)(y11)(z21)0

x10，y110，z210

222

x1，y2，z3，

3(123)所以

(xyz)==125.

3

.

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例5、如图，C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.

(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式x4(12x)9的最小值.

22

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A

D

B

C

E

.

解: (1)(8x)25x1

(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小

(3)如下图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连结AE交BD于点

2222x4(12x)9的最小值. 的长即为代数式A

F

B

C

D

E

过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,

则AB=DF=2,AF=BD=8.

所以AE=12(32)=13

22x4(12x)9的最小值为13. 即

.

22

.

20x1x1x21成立. 例6、已知：，说明

分析：在△PAB中，x11x2

2x1x21 所以2A1-x

2x2+1Px1B1C二、关于一元二次方程的问题

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2a例7、若关于的二次三项式16aka25是一个完全平方式则k的值可能是 ;

解：令16aka250

∵关于a的方程有两个相等的实数根，

∴Δ=

k416250，即k=40或-40

22

例、设m为有理数，k为何值时，方程

.

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x4mx4x3m2m4k0

的根为有理数？

解：一元二次方程有有理根，说明其判别式应该是一个完全平方式，

22(44m)4(3m2m4k)

=1632m16m12m8m16k

=4m24m1616k

=4(m6m4k4)

方法1、观察法

∵m6m4k4是完全平方式，

.

2222222

.

5 ∴4k49，k4

方法2、待定系数法

2222m6m4k4(mr)m2mrr设=，

5比较m的系数可得

k4

方法3、配方法

2(m3)4k49，

m6m4k4=25

4k490，k4

方法4、判别式法

∵m6m4k4是完全平方式，

5∴364(4k4)0，k4

2

22x例8、已知关于的方程(mm)x2mx10①

有两个不相等的实数根.

(1)求m的取值范围;

(2)若m为整数，且m3,

a是方程①的一个根，求 .

.

2a12a3a3代数式的值.

42

2m2m0解：（1）

04m24(m2m)0，4m0，m0，

m0且m1；

22x4x10，m2(2) 由题意得 ，方程为即2a4a10，

.

2

.

22a122a3a3

44a=4a13a43

=a1a32.

例9、若12m60,且关于x的方程

x2(m1)xm0的两根均为整数，

试求整数m的值。

.

22

.

解：依题意，[2(m1)]41m4(2m1)必为完全平方数.

∴2m1必为完全平方数且是奇数.

2212m60,∵ ∴52m111

22∴2m17或2m19.

∴m24或m40.

经检验m24或m40均符合题意.

∴m24或m40.

.

22

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例10、已知：关于x的一元二次方程

x(2m1)xmm20．

（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根x1，x2满足求m的值．

2(2m1)4(mm2)

解：（1）224m4m14m4m890

22m2x1x21m1，2不论m取何值，方程总有两个不相等实数根

(2m1)9(2m1)32（2）由原方程可得x1，

22 ∴

x1m2，x2m1 ∴

x1x23

.

.

m2m231xx112 又∵

m1

m1∴

∴

m4

经检验：m4符合题意．∴

例11、如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是

Rt△ABC和Rt△BDE的三边长，

易知AE2c.这时我们把形如

ax22cxb0的方程称为

m的值为4．

关于x的“勾系一元二次方程”.

请解决下列问题：

（1）构造一个“勾系一元二次方程”: .

（2）证明:关于x的“勾系一元二次方程”

ax22cxb0必有实数根；

.

.

（3）若x1是 “勾系一元二次方程”

ax2cxb0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求△ABC的面积.

解：（1）例如：3x52x40 ，

只要

22a、b、c满足abc即可.

2222(2c)4ab2(c2ab) （2）22(a2b22ab)2(ab)2 .

.

2(ab)0，∴

 ∵

0 .

∴ “勾系一元二次方程”必有实数根.

.

（3）∵

x1是“勾系一元二次方程”

ax22cxb0的一个根，

∴

ab2c0. ∴

ab2c .

又∵ 四边形ACDE的周长是62，

∴

2(ab)2c62.∴

c2.

∴

ab4.

222(ab)(2c)2c8， 解法一：∵

22∴

ab2ab8.∴

ab2.

221∴

SABC=2ab1

1解法二：∴

SABC=2(S四边形ACDESABE)

111212(ab)c(84)1=22.

2=4

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三、关于旋转变换的问题

例12、如图1，在网格中有一个四边形图案．

（1）请你画出此图案绕点O顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，•你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；

（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；

（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．

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图1

解（1）如图2，正确画出图案。

（2）如图，S四边形AA1A2A3

=S四边形BB1B2B3-4S△BAA3

=（3+5）2-4×1×3×5=34．

2故四边形似AA1A2A3的面积

为34．

.

.

（3）结论：AB2+BC2=AC2

或勾股定理的文字叙述。 图2

例13、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；

（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）

.

.

O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，请你画出以格点

为顶点，OA，OB为勾股边且对角线

相等的勾股四边形OAMB；

y

（3）如图（2），

将△ABC绕顶点B按顺时

B

针方向旋转60，得到△DBE，

连结AD，DC，∠DCB30．

O

222DCBCAC求证：，

即四边形ABCD是勾股四边形．

A

图（1）

x

C

D

A

60

B

E

图（2）

（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）

.

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4)或M(4，3)． （2）答案如图所示．M(3，

C

M

D

B

M

60

A

B

O

A

x

（3）证明：连结EC△ABC≌△DBE

ACDE，BCBE∠BCE60222y

E

ECBC，

∠DCB30∠DCE90

∠CBE60222DCECDEDCBCAC，

即四边形ABCD是勾股四边形

例14、 如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连结AD，以AD为一边且在AD的 .

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右侧作正方形ADEF．

（1）如果ABAC，∠BAC90，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF与BD所在直线的位置关系为

________，线段CF与BD的数量关系为 ；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果ABAC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由．

.

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简单解法：（1）①垂直，相等；

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．

如图2，易证△DAB≌△FAC ，∴CF＝BD ，

∠ACF＝∠ABD．易得∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90º，

即 CF⊥BD.

（2）当∠ACB＝45º时，CF⊥BD.

（如图4）过点A作AG⊥AC

交CB或CB的延长线于点G，

则∠GAC＝90º，

∵∠ACB＝45°,

∠AGC＝90°—∠ACB＝45°，

∴∠ACB＝∠AGC. ∴AC＝AG.

∵点D在线段BC上，

∴点D在线段GC上，由（1）①可知CF⊥BD.

.

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例15、已知：PA2，PB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）如图1，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD

的

最大值，及相应∠APB的大小.

图1

.

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解：（1）①如图2，作AE⊥PB于点E．

从而在Rt△ABE中， ∴

ABAE2BE210．

（2）如图2，因为四边形ABCD为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△PAB，

可得△PAD≌△PAB，

∴

PP2PA2．

∴

DP'CPDPBPP2PB2224225．

EAB图2

P如图3所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△PAB， PD 的最大值即为PB的最大值.

∵ △PPB中，PBPPPB，PPPB4，且2PA2，

P、D两点落在直线AB的两侧，

∴ 当P、P、B三点共线时，PB取得最大值（如图D4）.

D .

CP'AAC

.

此时PBPPPB6，即PB的最大值为6.

此时∠APB=180°－APP=135°

四、关于圆的问题

例16、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，

且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，

点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，

DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）

.

.

A、C、

5a

2 B、1

D、a

OEACBD32

解：如图，连接OE，OA，OB，

设∠D＝a，则

∠ECA＝120°－a＝∠EAC

EAOCBD11又因为∠ABO＝2ABD2(601802a)120a

所以 △ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1

例17、面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD=DC，DE⊥AB于E，

则DE=_________。

D

.

AEOBC

.

如图，连结BD，因为AD=DC，∠ACD=45°

∴∠ABD=45° DE=BE

D设⊙O的半径为R，DE=x，

11则1822RR2ABBC

AEOBC∵ABBC4R

∴2222(AB+BC)=4R+2·AB·BC=4R+2(36-2R)=72

AB+BC=62，又

11(BCx)x(ABx)x18

22222 .

.

1(ABBC)x18,DEx32∴2

法2： 旋转变换

DFAEOBC例18、如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB的中点，1AC=2OB，若点

.

P是⊙O上的一个动点，当AB=23时，POMA求△APC的面积的最大值.

CBN

.

解：连结OA，∵C是OB1的中点，AC=2OB，

P可证得∠OAB=90°，∠AOB=60°，

FOA=AC=2.

过点O作OE⊥AC于E，

O且延长EO交圆于点F，

则P（F）E是△APC的AC

MA边上的最大的高，

ECBN在△OAE中，OA=2，∠AOE=30°，OE=3

∴PE=2+3，SAPC

1ACPE23.

2例19、如图，已知这是从正方形材料上剪裁下一个最大的圆形后剩下的边角废料中的一块，其中

AAO⊥OB，并且AO=BO，当AO=1时

求在此图形中可裁剪出

的最大的圆的半径.

.

BO

.

解：由题意，过点A、B作AO、BO的垂线交于点C，

则可证四边形CBOA是正方形且是原大正方形的四分之一，

∴点C是AB的圆心，

连结CO，设点D是CO上一点，以点D为圆心作圆切AO、BO于E、F，切AB于N点，则⊙D是最大的圆，

作DM⊥CA于M，连结DE、DF，

MAC则四边形MDEA是矩形，

设⊙D的半径为x，

在Rt△CDM中，

(AOx)(A0x)(AOx)

.

222NDBFEO

.

x322，x322（舍去）

答：最大圆的半径为x322.

例20、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，PC满足ABPBACPCABPCACPB，P且AP⊥PC，∠PAB=2∠BPC，

求∠ACB的度数.

C

B

A

O分析：由ABPBACPCABPCACPB

得 PC=PB∴A、B、C在以P为圆心，

PA长为半径的圆上

.

P

.

设∠BPC=x，∠1=∠PAB=2x，

∠3=90x， ∠3=1804x，

90x=1804x，

x=30°, ∠3=60°,∠2=30°

例21、如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M(3，1)

与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MAMB，

则△ABO的内切圆⊙O1的半径r1 ；

若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，

⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，

按此规律，则⊙O2008的半径r2008 ．

.

y

l

B

O2

M

O1

x

O

.

BO2DCO1A分析：由点M的坐标可求得OA=2∠BAO=30°，∠ABO=60°，

3，AB=4，OB=2，∴∠O1O2D=30°，O1O2=r1r2，DO1=r1r2

11111r1r2=(r1r2)，r2r1，r3r2r1，

33332abcrnn1r1，

r131

231

.

r2008(31)200731

.

例22、如图，边长为6的正方形ABCD中，分别以A、D为圆心，以6为半径画弧，两弧相交于G，⊙O分别与AC弧、BD弧及AB边相切，

求：⊙O的半径.

DA

.

OBGC

.

设⊙O的半径为x

∵⊙O与BD弧内切，

∴OA=6-x，

∵⊙O与AC弧外切，

∴OD=6+x，

(6x)x(6x)(6x)2222AxM6-xD6-x6+xNOFCx1

EB例23、如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线 .

.

l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．

连接DE，因为ADBAEB90，

取AB中点M，连接DM、EM，

所以MB=MD=ME=MA

.

解法1：结论是DFEG．下面给出证明．

.

A，B，D，E四点共圆，

故CEDABC．

又l是⊙O的过点C的切线，所以ACGABC．

所以，CEDACG，

于是DE∥FG，故DF＝EG．

例24、

设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，

I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，

BC＝4，求I1I2.

.

BFDEI1ACI2

.

解 作I1E⊥AB于E，

I2F⊥AB于F.

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB=5.

又CD⊥AB，ABCDAD2212ACBC，∴CD5.

169ACCD，故BD=ABAD5，

5因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，

13∴I1E＝2(ADCDAC)5.

连接DI1、DI2，则DI1、DI2，

分别是∠ADC和∠BDC的平分线，

∴∠I1DC＝∠I1DA＝∠I2DC＝∠I2DB＝45°，3故∠I1DI＝90°，∴I1D⊥I2D，DI12I1E52.

2 .

.

442同理，可求得I2F5，DI25.

∴I1I2＝DIDI2.

2122

例25、已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F

A求证：EF∥AB.

.

HNFQPECMB

.

解 ∵BN是∠ABC的平分线，

∴ABNCBN. 又CH⊥AB，

∴CQNBQH90ABN90CBNCNB，

因此CQNC.又F是QN的中点，

所以CF⊥QN，∴CFB90CHB，

取BC中点D，连接FD、HD

∴FD=HD=CD=DB

因此C、F、H、B四点共圆.

∴弧FC＝弧FH，∴FC=FH，

故点F在CH的中垂线上.

同理可证，点E在CH的中垂线上.

因此EF⊥CH.，又AB⊥CH，∴EF∥AB.

A

.

HNFQP

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例、一种胸花图案的制作过程如图1—图3，图1中每个圆的半径均为1. 将图1绕点O逆时针旋转60得到图2，再将图2绕点O逆时针旋转30得到图3，则图3中实线的长为( )

.

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A． B．2 C．3 D．4

111法1、AB弧长=60，实线长=124

18033

图1 图2 图3

法2、12607202360，实线长=2214

.