2024年1月4日发(作者：)
竞赛讲座01－奇数和偶数
整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.
关于奇数和偶数，有下面的性质：
（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；
（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；
（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；
（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；
（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.
以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.
1.代数式中的奇偶问题
例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？
□+□=□， □-□=□，
□×□＝□ □÷□＝□.
解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.
例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组
n
是整数，那么
（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.
（C）p是偶数，q是奇数 （D）p是奇数，q是偶数
分析 由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）
例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.
分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992=偶数 于是题设的代数和应为偶数.
2.与整除有关的问题
=996×1993为例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？
解 设70个数依次为a1,a2,a3据题意有
a1=0, 偶
a2=1 奇
a3=3a2-a1, 奇
a4=3a3-a2, 偶
a5=3a4-a3, 奇
a6=3a5-a4, 奇
………………
由此可知：
当n被3除余1时，an是偶数；
当n被3除余0时，或余2时，an是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则
a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.
解 设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.
要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.
故所求的十位数是9876524130.
例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式
123456789=（11111+a）（11111-b）， ①
证明a-b是4的倍数.
证明 由①式可知
11111（a-b）=ab+4×617 ②
∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0
首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾
其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.
3.图表中奇与偶
例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.
解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：
在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.
表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.
显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.
例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）
解 由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.
例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.
证明 不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.
分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；
不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数.
4.有趣的应用题
例 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.
（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.
解 （1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.
（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.
例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？
分析 设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有
10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)
即 2a+3b+5c+8d=20k
显然b、c有相同的奇偶性.
若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；
若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.
例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.
证明 给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.
一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.
例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中ai(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，an+2是an+an+1(n=1,2…,)的个位数，证明A是有理数.
证明 为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.
而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：
A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……
又a是奇数可取1，3，5，7，9；
b是偶数可取0，2，4，6，8.
所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.
练 习
1.填空题
（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.
（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的偶数之和是____.
（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？
答____.
2.选择题
（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（ ）
多18，这五个
①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；
②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；
③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；
④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）若n是大于1的整数，则的值（ ）.
（A）一定是偶数 （B）必然是非零偶数
（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数
（3）已知关于x的二次三项式ax+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（ ）
（A）不能确定奇数还是偶数 （B）必然是非零偶数
（C）必然是奇数 （D）必然是零
3.（1986年宿州竞赛题）试证明119862+91986+81986+61986是一个偶数.
4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.
5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除
6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.
7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.
8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3+1能被2或2整除，而不能被2的更高次幂整除.
9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？
n2
练习参考答案
１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）
（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．
（３）不能．
２．Ｂ．Ｂ．Ａ
３．１是奇数１，９故最后为偶数．
１９８６１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，４．仿例５ １２０３４６５８７９．
５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０ ①
ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ ②。假如ｎ为奇数，由②，所有ａｉ皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时①不成立，可见ｎ只能为偶数．由于ｎ为偶数，由②知ａｉ中必有一个偶数，由①知ａｉ中必有另一个偶数．于是ａｉ中必有两个偶数，因而由②知ｎ必能被４整除．
６．设小三角形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边及重复计算的边数扣共有（３ｋ＋ｎ）条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶性时，（３ｋ－ｎ）才是整数．
７．设这个四位数是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇数所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶数，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此该数为１９８３．
８．当ｎ为奇数时，考虑（４－１）＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２＋１）ｎ＋１的展开式．
９．除９９５外，可将１，２，…，１９８９所有数分为９９４对：（１，１９８９）（２，１９８８）…（９９４，９９６）每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置“＋”，“－”号，运算结果只能是偶数．而９９５为奇数，所以数１，２，…，１９８９的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于１，数１可用下列方式求得：
ｎ
１＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７－８＋９）＋…＋（１９８６－１９８７－１９８８＋１９８９）．
第二章 二次函数与命题
一、基础知识
1．二次函数：当a0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-bb，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2a2a2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。
3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0={x|xb,不等式②和不等式③的解集分别是2ab}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。 2a3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。 当a<0时，请读者自己分析。 4acb2b4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，则当x=x0=4a2a4acb2时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当4ax0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0 定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。 定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。 注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。 二、方法与例题 1．待定系数法。 例1 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x). 【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程x2-x+1=0中△0， 所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0. 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因为f(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2. 又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β, 所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1, 所以f(x)=x2-2x+2. 2．方程的思想。 例2 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a≤4. 85f(2)-f(1), 338585所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4, 3333又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=所以-1≤f(3)≤20. 3．利用二次函数的性质。 例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。 【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。 所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。 注：请读者思考例3的逆命题是否正确。 4．利用二次函数表达式解题。 例4 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0 （Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0<1, ax1. 2【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x. 其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+1]<0，所以f(x) a综上，x （Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, a(x1x2)1x1x21, 2a22axx111x20， 所以x012222a2a所以x0=所以x0x1. 25．构造二次函数解题。 例5 已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。 【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0， 所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比1小，负根比-1大。 6．定义在区间上的二次函数的最值。 x4x25例6 当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。 22(x1)1512【解】 y=1-2,令u,则0 x1(x1)2x2111919y=5u2-u+1=5u, 102020119且当u即x=3时，ymin=. 1020例7 设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1). 21，求b的值。 2b2b21b2,，ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2时，x+bx的最小值为-所以b2=2，所以b24422（舍去）。 b>-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数， 213所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-. 223综上，b=-. 2ⅱ) -7.一元二次不等式问题的解法。 x2xaa20例8 已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。 x2a1【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 若a≤0，则x1 因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。 若a>0，ⅰ）当0 2因为0 1时，a=1-a，①无解。 21ⅲ）当a>时，a>1-a，由②得x>1-2a， 2ⅱ）当a=所以不等式组的解集为1-a 又不等式组的整数解恰有2个， 所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3， 所以1 综上，a的取值范围是1 8．充分性与必要性。 例9 设定数A，B，C使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件） 【解】 充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ② 若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A0，则因为②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。 再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)， 1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 9．常用结论。 定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。 定理2 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥2xy. (证略) 注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。 2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b}; ④ p: QR, q: N=Z. 3. 当|x-2| 4. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1 5. x1且x2是x-1x1的__________条件，而-2 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________. 7.若S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是_________. 8. R为全集，A={x|3-x≥4}, B=x51, 则(CRA)∩B=_________. x29. 设a, b是整数，集合A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0）A，（3，2）A则a,b的值是_________. 10．设集合A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________. 11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。 2x2kxk4012．对任意x∈[0,1],有 ①②成立，求k的取值范围。 2xkxk30四、高考水平训练题 1．若不等式|x-a| 2．使不等式x2+(x-6)x+9>0当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_________. 3．若不等式-x2+kx-4<0的解集为R，则实数k的取值范围是_________. 4．若集合A={x||x+7|>10}, B={x||x-5| 5．设a1、a2, b1、b2, c1、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分别为M和N，那么“a1b1c1”是“M=N”的_________条件。 a2b2c26．若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_________. 7．已知p, q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_________条件。 8．已知p: |1-x1|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数3m的取值范围是_________. 9．已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，对任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2) 10．已知a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|≤1时，|f(x)|≤1, (1)求证：|c|≤1; (2)求证：当|x|≤1时，|g(x)|≤2; (3)当a>0且|x|≤1时，g(x)最大值为2，求f(x). 11.设实数a,b,c,m满足条件：abc=0，且a≥0,m>0，求证：方程ax2+bx+c=0m2m1m有一根x0满足0 五、联赛一试水平训练题 1．不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是_________. x2y02．如果实数x, y满足：x2y0，那么|x|-|y|的最小值是_________. x24y243．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点（1，1），（3，5），f(0)>0，当函数的最小值取23最大值时，a+b+c=_________. 4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=1x有_________个实根。 2abc的最小值为_________. ba5．若关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一个实根，则m取值范围是_________. 6．若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，则p+q2=_________. 7. 对一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a 9．若a 10．某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。 11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。 六、联赛二试水平训练题 1．设f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, a>100，试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个？ 2．设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。 1n21n3．设x1,x2,…,xn∈[a, a+1]，且设x=xi, y=xj, 求f=y-x2的最大值。 nj1ni14．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。 5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在实数m，使得|f(m)|≤11,|f(m+1)|≤,求△=a2-4b的最大值和44最小值。 6．设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a0)满足下列条件： 1）当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x； x12）当x∈(0, 2)时，f(x)≤; 23）f(x)在R上最小值为0。 求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x. 7.求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。 8．设a,b,A,B∈R+, a 2AB2222(a12a2an)(b12b2bn)ab22(a1b1a2b2anbn)（ⅰ）g=381; abAB .29．设a,b,c为实数，g(x)=ax2+bx+c, |x|≤1，求使下列条件同时满足的a, b, c的值： 12（ⅱ）g(x)max=444; （ⅲ）g(x)min=364. 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。 定义2 单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, xy, 都有f(x)f(y)则称之为单射。 定义3 满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的满射。 定义4 一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A→B。 定义5 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}. 定义6 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=11的反函数是y=1-(x0). 1xx定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(x1) （2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。 （3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。 定义8 如果实数a 定义9 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。 定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=∞,2）上是减函数，y=1, u=2-x在（-2x11在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。 2xu注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1．数形结合法。 1y例1 求方程|x-1|=的正根的个数. 1x【解】 分别画出y=|x-1|和y=1的图象，由图象可知两者有唯x1 一交点，所以方程有一个正根。 例2 求函数f(x)=x3x6x13大值。 222242x x4x21的最22【解】 f(x)=(x2)(x3)(x1)(x0)，记点P(x, x-2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。22 因为|PA|-|PA|≤|AB|=3(21)10,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。 所以f(x)max=10. 2.函数性质的应用。 2(x1)1997(x1)1例3 设x, y∈R，且满足，求x+y. 3(y1)1997(y1)1【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a 由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2. 例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。 【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a) 又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a 例5 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。 【解】 设x∈Ik，则2k-1 所以f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为f(x)是以2为周期的函数， 所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例6 解方程：(3x-1)(9x26x51)+(2x-3)(4x212x13+1)=0. 【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为 m(m24+1)+n(n24+1)=0. ① 若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以m0, n0. ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(t24+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，4. 54ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但与m<0矛盾。 54综上，方程有唯一实数解x=. 5所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=3.配方法。 例7 求函数y=x+2x1的值域。 1[2x+1+22x1+1]-1 2111=(2x1+1)-1≥-1=-. 222111当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。 222【解】 y=x+2x1=4．换元法。 例8 求函数y=(1x+1x+2)(1x2+1),x∈[0,1]的值域。 【解】令1x+1x=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+21x2≤4,所以2≤u≤2,u222u2u22所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u∈[2+2，8]。 2222所以该函数值域为[2+2，8]。 5．判别式法。 x23x4例9 求函数y=2的值域。 x3x4【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y1时，①式是关于x的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得1≤y≤1. 7又当y=1时，存在x=0使解析式成立， 所以函数值域为[1，7]。 76．关于反函数。 例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设x1 ∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1 即y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。 4x1，解方程：f(x)=f-1(x). 3x221【解】 首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且345(x2x1)24x214x11x1 33x223x12(3x22)(3x12)21所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。 341在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，4例11 设函数f(x)=4+∞）. 若xy，设x 同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y. 即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1. 三、基础训练题 1．已知X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。 2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。 4．函数y=f(x)的值域为[,5．已知f(x)=34]，则函数g(x)=f(x)+12f(x)的值域为_______。 891，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。 x11，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。 26．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。 7．设y=f(x)在定义域（8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。 111x1=1-2，则f()=_______。 xxxx10. 函数y=x1x1, x∈(1, +∞)的反函数是_______。 9．函数f(x)满足f 11．求下列函数的值域：（1）y=x2(3)y=x+2x1; (4) y=x1; (2)y=x1xx11; xx1. 2x212. 已知yf(x)定义在R上，对任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。 四、高考水平训练题 1．已知a∈1,0, f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 22．设0≤a<1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。 3．映射f: {a, b, c, d}→{1，2，3}满足10 4．设函数y=f(x)(x∈R)的值域为R，且为增函数，若方程f(x)=x解集为P，f[f(x)]=x解集为Q，则P，Q的关系为：P_______Q（填=、、）。 5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)1x；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) 1x（4）y=x1x1. (x)=x211x2；6. 设函数y=f(x)(x∈R且x0)，对任意非零实数x1, x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函数，则不等式f(x)+f(x-1)≤0的解集为_______。 2x7．函数f(x)=xxPxM，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x), x∈P}, f(M)={y|y=f(x), x∈M}，给出如下判断：①若P∩M=，则f(P) ∩f(M)=；②若P∩M，则f(P) ∩f(M)；③若P∪M=R, 则f(P) ∪f(M)=R；④若P∪MR，则f(P) ∪f(M)R. 其中正确的判断是_______。 8．函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，则f(1998)= _______。 9．已知y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f(6)=2，当x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。 10．设a>0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=12 f(x)[f(x)]2，求证：f(x)为周期函数。11．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α<β），已知函数f(x)=4xt（,1）求f(α)、2x1f(β)；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1, x2，求证：x1x2fxx21x1x2fxx<2|α-β|. 21 五、联赛一试水平训练题 1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________. 11是________（奇偶性）. x2a11x1x3．若F则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= F=x，；1x1x2．若a>0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x. 4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=________. 5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= ________. 6. 函数f(x)=12x2x3xx7. 函数f(x)=的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。 12x28. 函数y=x+x23x2的值域为________. 9．设f(x)=的单调递增区间是________. 1x1x[1,2]x2,3, 对任意的a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)的最小值。 1x2y210．解方程组：1yz. （在实数范围内） 1z2x11．设k∈N+, f: N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+, 有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈N+, 都有2kk1n≤f(n)≤n. k121；x六、联赛二试水平训练题 1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=x·f（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0, f(x)ff(x)1=1，试求f(1). x3. f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x, y, x+y∈[0, 1]时，f(x)+f(y)≤f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx. 4. 试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。 5．对给定的正数p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p2+q2，试求f(x)=(1-x)在[1-q,p]上的最大值。 p2x2+xq2(1x)2x6．已知f: (0,1)→R且f(x)=p1q当x∈xQ. px,(p,q)1,0pqq78,时，试求f(x)的最大值。 89n37．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=f[f(n5)](n1000)(n1000)8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：2方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。 9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f: Q+→Q+，满足这样的条件：f(xf(y))=y∈Q+. ，求f(100)的值。 f(x),x, y 第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0 2．分数指数幂：a1nna,aa,amnnmn1n,anam1nam。 3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0 4．对数的性质（M>0, N>0）； 1）ax=Mx=logaM(a>0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； M）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；， Nlogcb15）loga nM=loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1). nlogcaa5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是,a和a,，单调递减区间为a,0x和0,a。（请读者自己用定义证明） 3）loga（6．连续函数的性质：若a 二、方法与例题 1．构造函数解题。 例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1 因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0. 例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，则（≥(ai1n2i）·（bi1n2i）abii1nni)2，等号当且仅当存在R，使ai=bi, i=1, 2, …, n时成立。 【证明】 令f(x)= （因为ai1nn2i）x-2(2abii1ni)x+b=(a2ii1i1nnixbi)2, ai12i>0，且对任意x∈R, f(x)≥0， 所以△=4(展开得（abii1n2ini)-4（ai12i）(nbi1iin2i)≤0. ai1）(bi1n2i)≥(abi1)2。 等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=bi, i=1, 2, …, n。 例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=x【解】u=x=xy+11的最小值。 yxyxy1111xy=xy+≥xy++2· yyxxyxyyxxy1+2. xy(xy)2c2c21. 令xy=t，则0 4c2c24c24所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2. 44c24c2c24c当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为+2+2. 4c22．指数和对数的运算技巧。 例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求q的值。 p【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 44所以9 t +12 t =16 t，即1+. 3315q12t4. 记x=t，则1+x=x2，解得x2p93qq15. 又>0，所以=2pp例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且证：a+b=c. 【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70. tt2t1111，求xyzw111111lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70， yxzwww11111111， 相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设xyzwwxyz所以所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70. 所以abc=70=2×5×7. 若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c. 例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab. 【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得 logax2logax， logaclogab因为ac>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab. logax 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。 例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 125【解】 方程可化为=1。设f(x)= 236xxx125, 则f(x)在(-236xxx∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3. xyy12x例8 解方程组：（其中x, y∈R+）. xyx3y(xy)lgx12lgy【解】 两边取对数，则原方程组可化为. ①② (xy)lgy3glx把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6， 代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0. 又y>0，所以y=2, x=4. x11x24;所以方程组的解为 . y11y22例9 已知a>0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。 (xak)2x2a2【解】由对数性质知，原方程的解x应满足xak0.①②③ x2a20若①、②同时成立，则③必成立， (xak)2x2a2故只需解. xak0由①可得2kx=a(1+k2)， ④ a(1k2)1k2当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得>k. 2k2k若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以0 综上，当k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。 三、基础训练题 1．命题p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。 2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________. 3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。 1a24．若log2a<0，则a 取值范围是_________。 1aa5．命题p: 函数y=log2x3在[2，+∞）上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)x的值域为R，则p是q的_________条件。 6．若0 7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。 8．若x=11log13211log135，则与x最接近的整数是_________。 9．函数ylog110．函数f(x)=11的单调递增区间是_________。 1x1x2x13x,2的值域为_________。 2x22x5lg2x=2有一解，二解，无解？ lg(xa)11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。 12．当a为何值时，方程四、高考水平训练题 1．函数f(x)=81+lg(x2-1)的定义域是_________. x122．已知不等式x2-logmx<0在x∈0,时恒成立，则m的取值范围是_________. 3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是_________. 4. 若f(x)=ln 5. 命题p: 函数y=log2x1xab，则使f(a)+f(b)=f_________. 1ab1xa3在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)x的值域为R，则p是q的_________条件. 6．若0 7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________. 8．若x=11log13211log135，则与x最接近的整数是_________. 9．函数y=log110．函数f(x)=11的单调递增区间是_________. 1x1x2x13的值域为_________. x,222x2x5lg2x=2有一解，二解，无解？ lg(xa)11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。 12．当a为何值时，方程四、高考水平训练题 1．函数f(x)=81+lg(x2-1)的定义域是__________. x122．已知不等式x2-logmx<0在x∈0,时恒成立，则m的取值范围是 ________. 3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是________. 1xab，则使f(a)+f(b)=f成立的a, b的取值范围是________. 1ab1x10231q，其中p, q为整数，且(p ,q)=1，则p·q的值5．已知an=logn(n+1)，设pn2logan1004．若f(x)=ln为_________. 6．已知x>10, y>10, xy=1000，则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是________. |lg|x1||8．函数f(x)=0x1x1的定义域为R，若关于x的方程f-2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b, c应满足的充要条件是________. （1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。 11x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）. x2211xabab10．已知f(x)=lg，若f=1，f=2，其中|a|<1, |b|<1，则1x1ab1ab9．已知f(x)=f(a)+f(b)=________. 11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。 12．设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0 13．设a>0且a1, f(x)=loga(x+x21)(x≥1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n)<ab，求证： 23n3n(n∈N+)，求a的取值范围。 2五、联赛一试水平训练题 1．如果log2[log1(log2x)]= log3[log1(log3x)]= log5[log1(log5z)]=0，那么将x, y, z从小到大排235列为___________. 2．设对任意实数x0> x1> x2> x3>0，都有logx1993+ logx1993+ logx1993> klogx1993恒01020x1x2x3x3成立，则k的最大值为___________. 3．实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则1Smax1Smin的值为___________. 4．已知0 logbsina, z=(sinα) logbsina从小到大排列为___________. 5．用[x]表示不超过x的最大整数，则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________. 6．设a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记a, b, c中的最大数为M，则M的最小值为___________. 7．若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x由小到大排列为___________. 8．不等式log2x111998，则f98101104，f,f1917151log1x2+2>0的解集为___________. 229．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1). lg(6x)lg(x2)log1(x2)10．（1）试画出由方程（2）若函数y=ax+10lg2y1所确定的函数y=f(x)图象。 21与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。 211．对于任意n∈N+(n>1)，试证明：[n]+[3n]+…+[nn]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。 六、联赛二试水平训练题 1．设x, y, z∈R+且3x2x3y2y3z2zx+y+z=1，求u=的最小值。 1x21y21z22n2．当a为何值时，不等式log1(xax51)·log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一个解（a>1且a1）。 3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立，试确定所有这样的函数f(x). 4. 求所有函数f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5．设m≥14是一个整数，函数f：N→N定义如下： 14u14vnm14f(n)=f(f(nm13))nm2nm2, 求出所有的m,使得f(1995)=1995. 6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7．是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。 8．设p, q是任意自然数，求证：存在这样的f(x) ∈Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为1p1的开区间中的每一个数x, 有f(x)2. qqqx29．设α，β为实数，求所有f: R+→R，使得对任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·fxff2成立。 第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)na1d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn. 定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有比。 an1q，则{an}称为等比数列，q叫做公ana1(1qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当1qq=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）n-1若m+n=p+q，则aman=apaq。 定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作limanA. n定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为a1（由极限的定义可得）。 1q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n. 例2 已知数列{an}满足a1=【解】 因为a1=1,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an. 21,又a1+a2=22·a2, 2aa111所以a2=，a3=22,猜想an(n≥1). 34n(n1)31321证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。 21当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,， 111=k(k+2)ak+1, 2132k(k1)11111即1=k(k+2)ak+1, 223kk11k. 所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=(k1)(k2)k1所以 1. n(n1)1例3 设0 an由数学归纳法可得猜想成立，所以an【证明】 证明更强的结论：1 1)当n=1时，1 2)假设n=k时，①式成立，即1 1aak1111aa21aaa1. 1a1a1aak由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。 2．迭代法。 数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。 例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得22nan1pan1·an+qancq0. 2222【证明】an1pan1·an+1+qan1an2(pan+1+an+2)+qan1=an+2·(-qan)+qan1= 2222q(an1anan2)q[an1+an(pqn+1+qan)]=q(an1pan1anqan). 222若a2pa2a1qa12=0，则对任意n, an1pan1an+qan=0，取c=0即可. 22222若a2pa2a1qa120，则{an1pan1an+qan}是首项为a2pa2a1qa1，公式为q的等比数列。 2222所以an1pan1an+qan=(a2pa2a1qa1)·qn. 取c(a2pa1a2qa1)·综上，结论成立。 221即可. q2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1，求证：an都是整数，n∈N+. 【证明】 因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1>an. 又由an+1=5an+24an1移项、平方得 22an110anan1an10. ① 22当n≥2时，把①式中的n换成n-1得an10anan1an110，即 22an110anan1an10. ② 2因为an-1 再由a1=0, a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。 3．数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 21(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99. n1004211221004n4100n1【解】 因为an+a100-n=n+=， 421004100n2100410022100(4n4100n)21所以S99=(ana100n)100101. 2n1222例6 已知an= 111. +…+n(n1)(n2)1232341k2k【解】 一般地， k(k1)(k2)2k(k1)(k2)例7 求和：Sn111， 2k(k1)(k1)(k2)n1所以Sn= k1k(k1)(k2)1111111 212232334n(n1)(n1)(n2) 111 22(n1)(n2)11. 42(n1)(n2)an例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列n的前n项和，求证：Sn<2。 2【证明】 由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3，5，8，13。 因为Sn所以a112358， ① 23456n2222222na11235。 ② Sn2345nn2222221111Sn222211an2ann1， n222222ann。 21由①-②得111SnSn2224a又因为Sn-2 1211111所以SnSn, 所以Sn， 22442所以所以Sn<2，得证。 4．特征方程法。 例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an. 【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2. 故设an=(α+βn)·2n-1，其中3， 6(2)2所以α=3，β=0， 所以an=3·2n-1. 例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an. 【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1, 所以an=α·3n+β·(-1)n，其中33， 69 33，β， 441n1n1所以an[3(1)·3]。 4解得α=5．构造等差或等比数列。 例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2an1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。 【解】 由anan2an1an22an1得ana2n1=1， an1an2aann1即121. an2an1令bn=ana1+1，则{bn}是首项为+1=2，公比为2的等比数列， an1a0ana+1=2n，所以n=（2n-1）2， an1an1所以bn=nanan1a2a1k2所以an=·…··a0=(21). a1a0an1an2k1注：Ci1niC1·C2·…·Cn. 2xn2例12 已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。 2xnx22x22【解】 考虑函数f(x)=的不动点，由=x得x=2. 2x2x2xn2因为x1=2, xn+1=,可知{xn}的每项均为正数。 2xn又xn+2≥22xn，所以xn+1≥2(n≥1)。又 2(xn2)2xn2Xn+1-2=, ① 2=2xn2xn2(xn2)2xn2Xn+1+2=, ② 2=2xn2xn2xn12xn2由①÷②得。 ③ xn12xn2x12又2x12>0， xn12xn2由③可知对任意n∈N+，>0且lg2lg, xn2xn12xn2xn222所以lg是首项为lg，公比为2的等比数列。 22xn2xn2 所以lgxn2xn22n122xn222·lg，所以22x222n2n12n12n1， 解得xn2·(22)(22)(22)(22)2n12n1。 注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 三、基础训练题 1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________. 2xn1，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________. 23xn213. 数列{xn}满足x1=1，xn=xn1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________. 22. 数列{xn}满足x1=4. 等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________. 5. 等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________. 6. 数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________. 7. 数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________. 8. 若x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________. x11x23x35xn2n1aSn2n，则limn=_________. nb3n1Tnn9. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若2007nn2n110. 若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________. n!n111．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求1的通项。 ann12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。 四、高考水平训练题 1x21．已知函数f(x)=2x1x11x271x1，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N+)，32(x1)则a2006=_____________. 2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项1an=(n1)(n2). 3. 若an=n2+n, 且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________. 4. 设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________. 1, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则2 3n15. 已知limn1，则a的取值范围是______________. nn33(a1)6．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。 7．已知ann401n402(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________. 8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________. 9. 设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________. 10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数. 11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是 11111（n≥2）①恒成立。 a1a2a2a3a3a4anan1a1an112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=121an1an；（3）求数列limbn. nan1时，（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=n(n1)2(an+bn+c) 12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。 4xn12，则通项xn=__________. 2xn17253. 设数列{an}满足a1=3, an>0，且3anan1，则通项an=__________. 2．设数列{xn}满足x1=1, xn=4. 已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则1=__________. ai0i5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项. 7. 数列{an}满足a1=2, a2=6, 且nan2an=2，则 an11lima1a2ann2n________. 8. 数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项. an9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=2ahnan为偶数an为奇数。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？ 10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。 11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=anan23anan2111. 六、联赛二试水平训练题 1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,…. 2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1; ②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。 试问f(2007)能否被3整除？ 3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且 an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证：an (n=0,1,2,…)是完全平方数。 4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1 22x0xnx12（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使1≥3.999x1x2xn均成立； 22x0xnx12（2）寻求这样的一个数列使不等式1<4对任一n均成立。 x1x2xn5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？ 2(12an2)an116．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 2232an14an2an1an212是整数的平方。 (ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。 8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥1. mk9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0 bk11<(k=1,2,…,n)； bkq1q（3）b1+b2+…+bn<(a0+a1+…+an). 1q（2）q< 第六章 三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=L,r其中r是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正xyxy,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secyrrxrrα=,余割函数cscα=. yx111定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；cotcscsecsincos商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cos,cotcossin弦函数sinα=α；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sincos=cosα, 2=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。 22定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间32k,2k2k,2k上为减函数，最小正周期上为增函数，在区间2222为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+取最小值-1。对称性：直线x=k+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y22均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为2[-1，1]。这里k∈Z. 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点k,0均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y2取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z. )在开区间(kπ-, kπ+)上为增222函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。 2定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinα(tantan). cosβcosαsinβ; tan(αβ)=(1tantan)定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+ 定理7 和差化积与积化和差公式: cos,sinα-sinβ=2sincos, 2222cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin, 222211sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)], 2211cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 22sinα+sinβ=2sin定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=2tan. 2(1tan)(1cos)(1cos),cos=, =2222sin(1cos)(1cos). tan==sin(1cos)(1cos)2定理9 半角公式:sin2tan1tan22, cos2, 定理10 万能公式: sin1tan21tan2222tan2. tan1tan22定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, bab)的一个角为β，则sinβ=ab22,cosβ=ab22，对任意的角α. asinα+bcosα=(a2b2)sin(α+β). 定理12 正弦定理：在任意△ABC中有abc2R，其中a, b, c分别是sinAsinBsinC角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。 定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。 定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, 个单位得到y=Asinx的图象。 >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移 定义4 函数y=sinxx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函,22数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanxx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, ,22π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=定理16 若x0,；arctana+arccota=. 22，则sinx 2二、方法与例题 1．结合图象解题。 例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若x,，则cosx≤1且cosx>-1，所以cosx,0， 22所以sin(cosx) ≤0,又0 所以cos(sinx)>sin(cosx). 若x0,，则因为2222(sinxcos+sincosx)=2sin(x+)≤sinxcosxsinx+cosx=2224442<， 2-cosx<， 22所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx). 2所以0 coscos例3 已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：sinsin2. 2【证明】 若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosα 222coscos所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1， sin2sincoscoscoscos所以sinsinsinsin2. xx00xx ，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0, 2222coscos所以>1。又0 sin2sin若α+β<coscoscoscos所以2，得证。 sinsinsinsin注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+xx00时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）, 2所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。 4．三角最值问题。 例5 已知函数y=sinx+1cos2x，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=2cos,1cosx则有y=2cos因为232sin0, 442sin2sin(4). 30，所以， 4424所以0sin(所以当 4)≤1， 3，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0， 42(k∈Z)时，ymax=2. 42222【解法二】 因为y=sinx+1cosx2(sinx1cosx), 当，即x=2kπ+=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)）， 且|sinx|≤1≤1cos2x，所以0≤sinx+1cos2x≤2， 所以当1cos2x=sinx，即x=2kπ+当1cos2x=-sinx，即x=2kπ-例6 设0<<π，求sin(k∈Z)时, ymax=2， 2(k∈Z)时, ymin=0。 22(1cos)的最大值。 【解】因为0<<π，所以0所以sin22，所以sincoscos2 ≤（1+cos）=2sin·cos2=22sin222222>0, cos>0. 2222 2cos2cos22sin222=1643. 22793 当且仅当2sin2322=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值22222243。 9例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 【解】 因为sinA+sinB=2sinABABABcos, ① 2sin222sinC+sin3C2sin23cosC2C232sinC23, ② 32sin又因为sin4由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin, 3333所以sinA+sinB+sinC≤3sin=, 2333当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=. 23ABsin2ABC3cosABC432sin，③ 3注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。 sinxcosx的值域。 1sinxcosx222sin(x). sinxcosx【解】 设t=sinx+cosx=2224例8 求y因为1sin(x4所以2t2. )1, 又因为t2=1+2sinxcosx, x21t21t1所以sinxcosx=，所以y2， 21t22121y. 所以22t11，所以y-1. 因为t-1，所以2 所以函数值域为y21211,,1. 22(n∈N+)，求证：an> 例9 已知a0=1, an=1an121an12n2. 【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈0,，则 2an=1tan2an11tanan1secan111cosan1atann1tanan. 2tanan1sinan1na11因为n1，an∈0,，所以an=an1，所以an=a0. 22221又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以an·。 442又因为当0 222注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当x∈0,n时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证2明是很容易的。 6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0). 由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来1，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。 例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点3M,0对称，且在区间0,上是单调函数，求和的值。 42【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，的对任意x∈R成立。 又0≤≤π，解得=因为f(x)图象关于M33,0对称，所以f(x)f(x)=0。 444330. 取x=0，得f()=0，所以sin24432k(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z). 所以423又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+， 23)在[0，]上是减函数； 22 )在[0，]上是减函数； 2210取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数， 3222综上，=或2。 3取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+7．三角公式的应用。 例11 已知sin(α-β)=的值。 553,2，，sin(α+β)=- ，且α-β∈,，α+β∈求sin2α,cos2β22131312,，所以cos(α-β)=-1sin2(). 132123,2，所以cos(α+β)=1sin2(). 又因为α+β∈132120所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=, 169【解】 因为α-β∈cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且112，试求cosAcosCcosBcosAC的值。 2AC=cos(600-C)， 21111cos(1200C)cosC又由于 00cosAcosCcos(120C)cosCcosCcos(120C)【解】 因为A=1200-C，所以cos22， 11[cos1200cos(12002C)]cos(12002C)22AC2AC所以42cos2cos32=0。 22AC2AC32解得cos或cos。 2228AC2AC又cos>0，所以cos。 222=例13 求证：tan20+4cos70. 2cos600cos(600C)2cos(600C)sin20【解】 tan20+4cos70=+4sin20 cos20sin204sin20cos20sin202sin40 cos20cos20sin20sin40sin402sin30cos10sin40 cos20cos20 sin80sin402sin60cos203. cos20cos20 三、基础训练题 1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。 1cosx1cosx-2cscx的角的集合为___________。 1cosx1cosx3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα>0，2．适合则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。 1(x∈(0, π))，则cotx=___________。 55．简谐振动x1=Asint和x2=Bsint叠加后得到的合振动是x=___________。 364．已知sinx+cosx=6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是第________象限角。 7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。 8．已知9．31111x2，则cosx=___________。 22222cos40sin50(13tan10)sin701cos40=___________。 10．cot15cos25cot35cot85=___________。 15, sin(α+β)=，求cosβ的值。 2213m2sinx12．已知函数f(x)=在区间0,上单调递减，试求实数m的取值范围。 cosx211．已知α,β∈(0, π), tan四、高考水平训练题 1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________. 2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________. 2sinx的值域为__________. 2cosx4. 方程2sin2xlgx=0的实根个数为__________. 65. 若sina+cosa=tana, a0,，则__________a（填大小关系）. 323. 函数y6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________. 7. 若0 2sin7cos15sin88. =__________. cos7sin15sin82345·cos·cos·cos=__________. 9. cos·cos0. cos271+cos71cos49+cos249=__________. 11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x. 13. 已知f(x)=12kAsinx53(kA0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题（一） 1．若x, y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________. 2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=3sinxk的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________. 3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________. 4．方程sinx+3cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________. 5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. 6．设sina>0>cosa, 且sinaaa>cos，则的取值范围是____________. 3337．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解. 8．若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. 9．若0<<, m∈N+, 比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1. 210．cot70+4cos70=____________. sinxsinya11. 在方程组cosxcosyb中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。 cotxcotyc12．已知α，β，γ0,，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。 2xsin3ysina13．关于x, y的方程组xsin3ysina有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，xsin3ysina求sinα+sinβ+sinγ的值。 14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y0,. 2联赛一试水平训练题（二） 1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=a21的图象所围成的封闭图形的面积是__________. 2．若x__________. 25,，则y=tanx-tanx+cosx的最大值是366123cotC=__________. cotAcotB15154．设f(x)=x2-πx, α=arcsin, β=arctan, γ=arccos, δ=arccot, 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)34343．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，则从小到大排列为__________. 5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为__________. 6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则tanα·tanβ·tanγ=__________. 7．已知矩形的两边长分别为tan和1+cos(0<<π)，且对任何x∈R, 2f(x)=sin·x2+43·x+cos≥0，则此矩形面积的取值范围是__________. 8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________. 9．已知当x∈[0, 1]，不等式x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin>0恒成立，则的取值范围是__________. 10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+ cos2y+ cos2z=__________. 11．已知a1, a2, …,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)++1cos(a2+x) +…212n1cos(an+x)。求证：若实数x1, x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ. sinAsinBsinC 3，求证：此三角形中有一个内角为。cosAcosBcosC38n13．求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>. 512．在△ABC中，已知 六、联赛二试水平训练题 1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）. 111n2112. 已知a为锐角，n≥2, n∈N+，求证：≥2-2+1. nnsinacosayn23. 设x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足x1=y1=3, xn+1=xn+1xn, yn+1=，求211ynn证：2 3π<α+β+γ<π. 45．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意0,，恒有21(x+3+2sincos)2+(x+asin+asin)2≥. 86. 设n, m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x0,都有2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|. 24．已知α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证；7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。 8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项均为负数。 9．已知i0,，tan1tan2…tann=22, n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的 2n1，2，…，n都有cos1+cos2+…+cosn≤λ，求λ的最小值。 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各 边长，pabc为半周长。 2abc1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。 sinAsinBsinC111推论1：△ABC的面积为S△ABC=absinCbcsinAcasinB. 222推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足ab，则a=A. sinasin(a)正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=1再证推论2，因为B+C=-A，absinC；2所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证sinasin(a)ab，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，sinAsin(A)sinAsinB11等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于22cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，所以a=A，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，推论3，由正弦定理得证。 222bca2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAcosA，下面用余弦定理证明几个2bc常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=b2pc2qpq. （1） pq【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB， 所以c2=AD2+p2-2AD·pcosADB. ① 同理b2=AD2+q2-2AD·qcosADC， ② 因为ADB+ADC=， 所以cosADB+cosADC=0， 所以q×①+p×②得 b2pc2qpq. qc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=pq22222b22c2a2. 注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式AD2122212212222（2）海伦公式：因为SABCbcsinA=bc (1-cosA)= bc 444(b2c2a2)2122 22[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c). 1224bc16abc. 2所以S△ABC=p(pa)(pb)(pc). 这里p二、方法与例题 1．面积法。 例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，POQ,QOR，则P，Q，R的共线的充要条件是 sinsinsin(). uvw【证明】P，Q，R共线SΔPQR0SOPRSOPQSORQ 111uvsin(α+β)=uwsinα+vwsinβ 222sin()sinsin，得证。 wuv2．正弦定理的应用。 例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。 所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。 所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。 所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证： 例3 如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。 【证明】 延长PA交GD于M， GMO1AAF. MDAO2AEAPAFPAAE,由正弦定理， sin(1)sinsin(2)sinAEsin1sin所以. AFsin2sinGMPMMDPM,另一方面，， sinsin1sinsin2GMsin2sin所以， MDsin1sinGMAF所以，所以PA//O1G， MDAE即PABC，得证。 因为O1GBC，O2DBC，所以只需证3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x) 8xyyzzx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。 例5 设a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，试求P【解】 由题设b223的最大值。 a21b21c21ac，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1ac210110则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤， 3sin33322110,b2,c当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax=. 243231例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc<. 2【证明】 设a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β0,. 21因为a, b, c为三边长，所以c<, c>|a-b|， 2从而0,，所以sin2β>|cos2α·cos2β|. 4因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β 1[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β] 411=+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β) 44111>+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=. 4441所以a2+b2+c2+4abc<. 2=三、基础训练题 1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=23，则cosAcosB的最大值为4__________. 2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则C的取值范围是__________. 3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+33tanCtanB，则△ABC的面积为__________. 4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则C=__________. 5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________. 35，cosB=，则cosC=__________. 513AC18．在△ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tantan”的__________条件. 2237．在△ABC中，sinA=9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________. 10．在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为__________角三角形. 11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。 12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。 13．已知△ABC中，sinC=四、高考水平训练题 1．在△ABC中，若tanA=sinAsinB，试判断其形状。 cosAcosB11, tanB=，且最长边长为1，则最短边长为__________. 322．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个. 3．已知p, q∈R+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 为__________角三角形. 5．若A为△ABC 的内角，比较大小：cotAcotA__________3. 86．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________. 7．满足A=600，a=6, b=4的三角形有__________个. 8．设为三角形最小内角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，则a的取值范围是2222__________. 9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。 10．求方程xy1yx1xy的实数解。 11．求证：17sin200. 320五、联赛一试水平训练题 1．在△ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________. sinBcosA2cosC，则△ABC 的形状为____________. sinCcosA2cosBABC3．对任意的△ABC，Tcotcotcot-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为2222．在△ABC中，若____________. 4．在△ABC中，sinAsinBsinC的最大值为____________. 25．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=3，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，则S2+T2的取值范围是____________. 6．在△ABC中，AC=BC，ACB80，O为△ABC的一点，OAB10，ABO=300，则ACO=____________. 7．在△ABC中，A≥B≥C≥最小值为__________. 8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则sin00ABC，则乘积cossincos的最大值为____________，2226CAACcos=____________. 229．如图所示，M，N分别是△ABC外接圆的弧AB，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。 10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。 11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。 六、联赛二试水平训练题 1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：PQEF，此处=B。 2sin2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2MN。 3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：1(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。 24．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=900，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。 AMP(Pa)，此处P5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证：AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。 6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。 7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？ 8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则cosAcosCcosB. APCRBQ9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。 第八章 平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=b.f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos 定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c， 3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=x1x2y1y2xyxy21212222(a, b0), 4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0. 定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使P1PPP2，OP1OP2。由此可得若1x1x2xxx1yy11P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则.. xxyy22yy1y21λ叫P分P1P2所成的比，若O为平面内任意一点，则OP定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=h2k2个单位得到图形F'，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到F'上对应的点为p'(x',y')，则x'xh称为平移公式。 y'yk2222定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=(x1y1)(x2y2)-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，222222同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1x2xn)(y1y2yn) (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：2222(x12x2xn)(y12y2yn)(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。 2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。 二、方向与例题 1．向量定义和运算法则的运用。 例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：OA1OA2OAnO. 【证明】 记SOA1OA2OAn，若SO，则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合，所以S不变，这不可能，所以SO. 例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是GAGBGCO. 【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则AG2GDGP. 又因为BC与GP互相平分， 所以BPCG为平行四边形，所以BG//PC，所以GBCP. 所以GAGBGCGCCPPGO. 充分性。若GAGBGCO，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则GAPG.2n 因为GCPGPCO，则GBPC，所以GB//CP，所以AG平分BC。 同理BG平分CA。 所以G为重心。 例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示，结结BQ，QD。 因为BPPQBQ,DPPQDQ， 所以BQDQ(BPPQ)(DPPQ) =BPDP2PQ2BP·PQ2DPPQ =BPDP2PQ2(BPDP)PQBPDP2PQ. ① 又因为BQQCBC,BQQABA,QAQCO, 同理 BABCQAQC2BQ， ② 22222222222222222222222CDDAQAQC2QD， ③ 由①，②，③可得BABCCD4QA2(BQQD) 222222AC2(2BP2PQ)ACBD4PQ。得证。 2．证利用定理2证明共线。 例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。 【证明】 首先OGOAAGOA=OA2222222AM 311(ABAC)OA(2AOOBOC) 331(OAOBOC). 3其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CEBC. 又AHBC，所以AH//CE。 又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。 所以AHEC, 所以OHOAAHOAECOAEOOCOAOBOC， 所以OH3OG， 所以OG与OH共线，所以O，G，H共线。 所以OG：GH=1：2。 3．利用数量积证明垂直。 例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab. 【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab. 例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。 【证明】 设OAa,OBb,OCc， 则OD1(ab)， 211111OEac(ab)cab. 32263