2023年12月8日发(作者：)
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五年级奥数集训专题讲座（一） ----有趣的平均数问题
主讲：谭发佳
我们研究平均数问题，首先要掌握以下基本数量关系： ①总数量÷总份数=平均数 ②平均数×总份数=总数量 ③总数量÷平均数=总份数。在总数量不变情况下‚移多补少‛，得到平均数是解决这类题的重要思想和解题思路，找准总数量与对应的总份数是难点。
1. 修路队修两条公路，第一条路长900米，用10天修完，第二条路的长比第一条的2倍多100米，用的时间是第一条的1.8倍，这个修路队，修完这两条公路平均每天修多少米？
分析：要想求出结果，就要先求出两条路的总长（总数量），再求出修完这条公路共需要的天数（总份数）和平均数。
解:(900＋900×2＋100)÷(10＋10×1.8)
＝2800÷28
＝100(米)
答：修完这两条公路平均每天修100米。
例2. 一个水果店三种水果的单价平均是1.6元，已知香蕉比苹果贵0.2元，比柚子便宜0.5元，请你算一算每种水果的单价多少元。
分析：这是一道平均数问题逆向思考题，根据已知条件给出平均价钱是1.6元，这样就可以求出三种水果单价和的钱数，即1.6×=4.8（元），在此基础上再根据三种水果单价的数量之间的关系，运用假设思想求出问题的答案，可以用下面的线段图表示上述关系。
解：(1.6×3＋0.2－0.5)÷3
＝4.5÷3
＝15(元)
1.5－0.2＝1.3(元)
1.5＋0.5＝2(元)
答：香蕉单价是1.5元，苹果单价是1.3元，柚子的单价是2元。
想一想，如果假设和苹果单价一样多，该怎样列式？
例3.五名裁判给一名运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分9.58分；如果只去掉一个最高分，均分为9.46分；如果只去掉一个最低分，均分为9.66分。求这名运动员的最高得分和最低得分分别是多少？
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分析:该题实质上是已知部分数的平均数,求个别数.依题意:去掉最高分和最低分后,该运动员的总得分为:9.58×3(分);去掉最高分后,该运动员的总得分为:9.46×4(分);去掉最低分后,该运动员的总得分为:9.66×4(分);因此,该运动员的最高分为:9.66×4-9.58×3=9.1(分)
例4．一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地,到达乙地后,又以每小时60千米的速度从乙地返回甲地,求这辆汽车往返一次的平均速度.
分析:往返一次的平均速度=往返一次的总路程÷往返一次的总时间.这一数量关系是正确解答这道题的关键.
由于往返一次的总路程题目没有告诉我们,我们不妨假设甲地到乙地的路程为S千米.所以:
S×2÷( S÷100+S÷60) （请根据提示试着思考并解答）
我也能行
1．甲、乙两数的平均数是1.58，再加上丙则平均数是3.52，丙数是多少？
2．在爬山活动中，李林同学上山的速度为每小时0.24千米，6小时到达山顶，然后又以每小时0.4千米的速度沿原路下到山底，请算一算他上、下山的平均速度是多少
3．甲乙两数和是194，如果再加上丙数，这时平均数比甲乙两数平均数多2，丙数应是多少？
4．玲玲和明明的平均年龄是12岁，明明和林林的平均年龄是14岁，玲玲和林林的平均年龄是15岁，三人中年龄最大的是谁？最小的是谁？
5.甲、乙两数的平均数是3.21，丙数是2.64，若再加进丁，则四个数的平均数是3.6，丁是多少？
6.五个裁判给一个选手打分，如果去掉最低分，平均分是96.5分，如果去掉最高分，则该选手平均分是91.5分，请你算一算最高分与最低分相差几分？
7．小丁上学期数学测验前4次的平均成绩是88分，第五次测验后，平均成绩提高到90分，第五次他考了多少分？
8.有四个数，用其中三个数的平均数，再加上另外的一个数，按这样的方法计算，分别得到：28、36、42、46，那么原来四个数的平均数是多少？
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四面年级奥数集训专题讲座（二）———盈亏问题
主讲：谭发佳
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一袋饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块，；如果每人分4块，少8块，小朋友有多少人？饼干有多少块？
这种一盈一亏的情况，就是这们通常说的标准的盈亏问题。
标准盈亏问题的基本数量关系式：（盈+亏）÷两次分配之差＝参与分配对象总数； 每次分得的数量×份数＋盈＝总数量； 每次分得的数量×份数－亏＝总数量
还有一些非标准盈亏问题，如：
1、两盈：两次分配都有余。数量关系式为：（大盈－小盈）÷两次分配差＝参与分配对象总数
2、两亏：两次分配都不够。数量关系式为：（大亏－小亏）÷两次分配差＝参与分配对象总数
例1：（一盈一亏问题）一个植树小组，如果每人植5棵，还剩14棵；如果每人植7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？
分析：由题意可知，植树的人数和棵数是不会变化的，只是两次分配的方案不一样，结果就差了18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵，这是因为两种分配方案每人植树棵数相差7-5＝2（棵），所以根据一盈一亏解答此题就非常简单了。
人数：（14＋4）÷（7－5）＝2（人） 棵数：5×9＋14＝59（棵）
答：这个植树小组一共有9人，一共有59棵树。
【巩固练习1】：幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？
例2：（两亏问题）学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？
分析：这是两亏问题，由题意可知，三好学生人数和铅笔支数是不变的。根据两亏关系可知
人数：（45－7）÷（9－7）＝19（人） 铅笔：9×19－45＝126（支）
答：三好学生有19人，铅笔有126支。
【巩固练习2】：将月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵，求花瓶的只数和月季花的朵数？
例3：（两盈问题）有一些少先队员到山上种一批树。如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种19棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员？有多少棵树？（根据两盈问题请自己分析解答）
例4：（盈亏转化）学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
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分析：‚把每个房间住14人，则空出4个房间‛转化为‚每个房间住14人，则少14×4=56（人）后，就得到标准盈亏问题，这样就好解答了。
房间数：（34＋14×4）÷（14－12）=45（间） 人数：12×45＋34=574（人）
答：学生宿舍有45间，学生有574人。
我也能行
1、某班安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。问有宿舍多少间？学生多少人？
2、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？
3、小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45发还多260发；另一个说每人背50发还多200发。求有多少敌人？有多少发子弹？
4、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支；如果每个人分8支还多3支。请问每人分多少支刚好把彩色笔分完？
5、某校有若干个学生寄宿学校，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍。问宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
6、学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个房间住9人，则空出2个房间。问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
7、小强从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。小强从家到学校的路程是 米（选自北京市第四届‚迎春杯‛刊赛）
8、买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友。如果每人分5个苹果，那么还剩
余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果。这批苹果的个数是_____。选自小学数学奥林匹克预赛A卷
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五年级奥数集训专题讲座（三）———倍数问题
主讲：谭发佳
倍数问题是整个小学阶段很重要的一个问题，我们研究倍数问题主要从‚和倍、差倍、和差‛这三个方面来研究。解答倍数问题我们要理解以下数量关系式：
①和÷（倍数＋1）=小数 小数×倍数=大数（和—小数=大数）
②差÷（倍数—1）=小数 小数×倍数=大数（小数＋差=大数）
③（和－差）÷2=小数 小数＋差=大数（和—小数=大数）
④（和+差）÷2=大数 大数－差=小数（和—大数=小数）
例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？
分析：把乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍，所以用和倍问题来解答就很容易了。
乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米）甲队：400×2=800（米 丙队：400－160=240（米）
答：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。
【巩固练习】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？
例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。这时徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍，师傅要加工多少个零件？
分析：徒弟比师傅少加工了102－40=62（个），相当于师傅剩下的3－1=2倍。
（102－40）÷（3－1）=31（个） 31+102=133（个）
答：师傅要加工133个零件。
【巩固练习】：两筐重量相等的梨，甲筐取出18千克，乙筐取出6千克，这时乙筐是甲筐重量的3倍，两筐梨原来各重多少千克？
例3：甲、乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋，求两个仓库原来各有多少袋大米？
分析：“从甲仓库取出25袋放入乙仓库，则甲仓库比乙仓库还多8袋”从这句话可得知，甲仓库比乙仓库实际要多25×2＋8=58（袋）
甲： [800+（25×2＋8）]÷2=429（袋） 乙：800－429=371（袋）
答：甲仓库原有429袋，乙仓库原有371袋。
【巩固练习】：两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只，乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼鸡蛋还多1只，求甲、乙两笼原来各有多少只鸡蛋？
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例4：小东的图书中有58本不是故事书，有42本不是科技书，小东故事书和科技书共有60本，小东科技书有多少书？
分析：这是一个和差问题，知道科技书和故事书的和，关键是求出它们的差，从题中“58本不是故事书”，就应该是科技书与其它书的和；“42本不是科技书”，就应该是故事书与其它书的和，所以科技书与故事书的差是：58－42=16（本）
[60+（58－42）]÷2=38（本） 答：小东的科技书有38本。
我也能行
1、三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40，三个数各是多少？
2、三个小朋友折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍，求三个人各折纸飞机多少架？
3、赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动时，共跑了1080米，问游泳池的长和宽各是多少米？
4、一片松树林里有很多种树，有1500棵树不是松树，1200棵树不是杨树，松树、杨树共700棵，杨树有多少棵？
5、爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？
6、妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁，问妈妈、女儿今年各是多少岁？
7、两个数相除，商4余1，被除数、除数、商和余数的和是156，被除数、除数各是多少？
8、两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31，求这两个数。
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9、甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数各是多少？
五年级奥数集训专题讲座（四）——分解质因数
主讲：谭发佳
把一个合数，用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。我们课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。
例1：把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个，一共有多少种不同的分法？
分析：18的约数有1、2、3、6、9、18。除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。
例2：写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。
分析：先把15120分解质因数，进而组合因数，使几个因数成为连续的自然数。
15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7
=5×（2×3）×（2×2×2）×（3×3）
=5×6×7×8×9
【巩固练习】：有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？
例3：将2、5、14、24、27、55、56、99八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
分析：14=2×7 24=2×2×2×3 27=3×3×3 55=5×11
56=2×2×2×7 99=3×3×11 2 5
可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11，如果要把这八个数分成两组且积相等，那么，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7，一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）
【巩固练习】：把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的积相等。
例4：下面的算式里，□里数字各不相同，求这个四个数字的和。
□□×□□=1995
分析：要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和195有相同的质因数。所以，先分解1995。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995，因为要满足‚数字各不相同‛的条件，所以取21×95=1995。这四个数字的和就是2+1+9+5=17。
【巩固练习】：下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。
□□×□□=1288
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例5：有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是143，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少 ？
分析：长方体的正面面积=长×高，上面面积=长×宽，这两个面积之和是 -
长×高+长×宽=长×（宽+高）=143。因为长、宽、高都是质数，而143=11×13，所以：
长=13，宽+高=11，或者：长=11，宽+高=13。
13=2+11，而11=2+9（不合题意）
所以，长方体的体积应该为：11×11×2=242
注意：长、宽、高都为质数，宽+高只能是一个偶质数+一个奇质数，想一想，为什么？
我也能行
1、95个同学排成长方形做操，行数与列数都大于1，共有几种排法？
2、
写出若干个连续自然数，使它们的和是1680。
3、60个同学分组排队去游览，每组人数要一样多，每组不少于6人，不多于15人，有几种分法？怎样分？
4、有一个长方形，它的长、宽、高是三个连续的自然数，体积是3360立方厘米，求它的表面积？
5、把30、33、42、52、65、66、67、78、105九个数平均分成三组，每组的数相乘积相等，写出这三组数。
6、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙数分别是多少？
7、四个连续奇数的积是19305，这四个奇数各是多少？
8、有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3204，问这四个孩子中最大的几岁？
9、有三个自然数a、b、c，已知a×b＝30，b×c＝35，c×a＝42，求a×b×c的积是多少？
10、两个两位整数的积是6232，这两个数中较大的数是多少？
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11、小明问小强：你射击三枪，共中几环？小强：一二枪的环数乘积时48；二三枪的环数乘积时72；一三枪的环数乘积时54。小强三枪共射中多少环？
12、翻开数学书，看见两页，页码的积是1806，求这两页的页码是多少？
五年级奥数集训专题讲座（五）——最大公约数
主讲：谭发佳
回忆：什么叫公约数及最大公约数？
自然数a、b最大公约数可以记作（a，b）如果（a，b）=1，则a、b是（ ）。求几个数的最大公约数可以用（ ）和（ ）方法。
例１：一张长方形的纸，长７分米５厘米、宽６分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果说要使裁得的正方形面积最大，可以裁成多少块？
分析：７分米５厘米＝75厘米，６分米＝60厘米，因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75厘米和60厘米，所以边长是75和60的公约数，它们的公约数有１、３、５、15，所以有４种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也要最大，最大为15。所以可以裁：
（75÷15）×（60÷15）＝15（块）或 (75×60)÷(15×15)=20(块)
答:有4种裁法,可以裁20块.
【巩固练习】：将一块长80厘米,宽60厘米的长方形土地分成面积相等的小正方形。问：小正方形的面积最大是多少?
例2:一个数除200余4,除300余6,除500余10.求这个数最大是多少?
分析:一个数除200余4可以转化为196(200-4)能被这个数整除,另两个条件可以转化为294和490都能被这个数整除,求这个数最大是多少,也就是求196,294,490的最大公约数是多少。
(196,294,490)=98
答:这个数最大是98。
【巩固练习】：如果把110块糖平均分给五（1）班，则多5块，如果把210块平均分给这个班，则正好分完，如果把240块糖平均分给这个班，则少5块，五（1）放最多有多少名同学？
例3：把长132厘米，宽60厘米，高36厘米的木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求正方体的棱长和锯成的块数。
分析：锯成的正方体的棱长是长方体长、宽、高的最大公约数。
（132，60，36）=12 所以正方体的棱长是12厘米。
正方体的块数为：（132÷12）×（60÷12）×（36÷12）=165（块） 请思考用其它方法
【巩固练习】：一个长方体木块的长是4分米5厘米，宽3分米6厘米，高2分米4厘米，要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切的正方体的棱长最长是多少？可以切成多少块？
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例4：一条道路由甲村经乙村到丙村。甲、乙两村相距450米，乙、丙两村相距630米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且甲、乙两村的中点和乙两两村的中间都要栽上树，那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
分析：由于甲、乙两村的中点和乙丙两村的中点都要种上树，也就是相当于要把450÷2=225米处和630÷2=315米处要种上树，也就是把225米和315平均分成若干段，而且距离最大，即求225和315的最大公约数。
（225，315）=45
答：相邻两棵树之间的距离是45米。
我也能行
1、有三根钢管，它们的长度分别是240厘米，200厘米，480厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？
2、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？
3、有一个自然数a，它符合下面的条件，a能整除112，a除38余2，102减去2也能被a整除，求a最大是多少？
4、有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？每份礼物中3种水果各有多少个？
5、在长60米，宽54米的长方形的花圃的各边上以最大且相等的距离种桃树，每两棵桃树之间5棵月季花，共种月季花多少棵？
6、36支铅笔，40个本子，平均奖给几位优秀学生，结果多出1支铅笔，差2个作业本，问有几位优秀学生？
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7、一条公路由A地经B地到C地，已知AB两地之间相距600米，BC两地之间相距780米，现在路边种树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且在B地以及AB、BC的中点上都要种一棵，那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
思考：甲、乙两个数的乘积是3072，它们的最大公约数是16，求甲、乙两数。
提示：甲、乙两数是16的倍数，设甲数÷16=a，乙数÷16=b。可知，a与b是互质的„„甲×乙=16a×16b
五年级奥数集训专题讲座（六）——最小公倍数
主讲：谭发佳
回忆：1、什么叫公倍数及最小公倍数？
2、自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]=a×b。
3、两个数的最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
例1：一块砖长20厘米，宽12厘米，高6厘米，要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？
分析：把若干个长方体堆成正方体，它的棱长是长方体长、宽、高的公倍数，现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长方体长、宽、高的最小公倍数。要多少块砖，即用正方休的体积除以长方体的体积。
[20，12，6]=60 60×60×60÷（20×12×6）=150（块）
答：至少需要这样的砖头150块。
【巩固练习】：用长9厘米，宽6厘米，高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？
例2：甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？
分析：甲跑一圈需要600÷3=200（秒） 乙跑一圈需要600÷4=150（秒）丙跑一圈需要
600÷2=300（秒）。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一不定期是200、150、300的最小公倍数，[200、150、300]=600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。
【巩固练习】：一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米，至少经过几分钟后三人再次从原出发点同时出发？
例3：有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？
分析：条件转化一下：把这个数增加3，就恰好可以被10、7、4整除，即10、7、4的最.. -
小公倍数，然后减去3就能得到这个所求的数了！
[10、7、4]=140 140－3=137 答：这个数最小是137。
【巩固练习】：学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人，六年级最少有多少人？
例4：从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？
分析：从学校到少年宫的这一段路长50×（37－1）=1800（米）从路的一端开始，是50和60的公倍数处的电线杆不必移动。它们的最小公倍数是300，所以从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800÷300=6（根）去除最后一根，就有5根。
[50、60]=300 50×（37-1）×300-1=5（根） 答：中途有5根不必移动。
我也能行
1、有200块长6厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？
2、有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇，已知甲比乙快，求二人的速度。
3、有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果第32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？
4、食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。如果甲桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？
.. -
5、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗数在150—200之间，求共有多少棵树苗？
6、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米，原为每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？
7、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少 ？
五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除
主讲：谭发佳
包含与排除问题其实也叫容斥问题。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-AB
A AB B （韦恩图）
例1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：‚谁做完语文作业？请举手！‛有 37 人举手。又问：‘谁做完数学作业？请举手！‛有 42 人举手。最后问：‚谁语文、数学作业没有做完？‛没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37 + 42 =
79 （人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数学作业都完成的有： 79－48 = 31（人）
37 + 42－48=31（人）
答：语文、数学作业都完成的有 31 人。
想一想：下面算式有何道理？
( l ) 37－（48 －42 ) = 31 （人）
( 2 ) 42 －（ 48 － 37 ）= 31 （人）
【疯狂操练】：(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？
( 2）四年级一班有 54 人，订阅 《 小学生优秀作文 》 和 《 数学大世界 》 两种读物的有 13
人，订 《 小学生优秀作文 》 的有 45 人，每人至少订一种读物，订 《 数学大世界 》 的有多少人？
( 3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，.. -
其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？
例2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的人有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对？
【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 25－15＝ 10 （人）。又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10 + 23 = 33（人）。所以，两题都答得不对的有 36－33 = 3 （人）。
36－［( 25 －15 ) + 23］=3（人）
想一想：下面算式有何道理。
(l) 36－［( 23－15 ) + 25］ = 3 （人）
(2) 36 －［( 25－ 15 ) + ( 23 － 15 ) + 15 ］＝ 3 （人）
【疯狂操练】：( l）五（ 1 ）班有 40 个学生，其中有 25 人参加数学小组， 23 人参加科技小组，有 19 人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
( 2）一个班有 55 名学生，订阅 《 小学生数学报 》 的有 32 人，订阅 《 中国少年报 》 的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
( 3 ）某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有 27 人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？
例3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【思路导航】：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数56－25 =31（人），再求两科竞赛同时参加的人数：28 + 27 －31 = 24 （人）。
28 + 27－（ 56－ 25 ) = 24 （人） 答：同时参加语文、数学两科竞赛的有 24 人。
想一想：下面算式有何道理
( l ) 28－（56 －25－27 ）= 24（人） ( 2 ) 27 －（56－25－28 ）= 24 （人）
【疯狂操练】： ( 1）一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？
( 2）一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。问这两种棋都会下的有多少人？
( 3）三年级一班参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人。这两队都没有参加的有 10 人。请算一算，这个班共有多少人？
例4：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有 24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法共有多少幅？
【思路导航】由题意知， 24 幅作品是一、二、三、四、五、六年级参展作品的总数； 22 幅.. -
作品是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24 + 22 =46〔幅），这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六年级的共参展的 10 幅即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数．再除以2，即可求出其它年级参展的作品。
(24+22－10)÷2=18（幅）
答：其他年级参展的作品共有 18 幅。
( l ）科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32 件。其他年级参展的作品共有多少件？
( 2 ）六（ 1 ）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25 幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四年级参展的画共有 8 幅，其他年级参展的画共有多少幅？
( 3 ）实验小学举办学生书法展。学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有 28 幅不是五年级的，有 24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
五年级奥数集训专题讲座（八）——逻辑推理
主讲：谭发佳
解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑： 1 、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断。 2、 根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论。 3、对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的。4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。
例1：有三个小朋友在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多”静静说：“兰兰做的比冬冬少 。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？准做的好事最少？
【思路导航】 我们用‚ > ‛来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。
兰兰＞静静 冬冬＞静静 冬冬＞兰兰 所以，冬冬＞兰兰＞静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少 答：冬冬做的最多，静静做的最少。
【疯狂操练】
( l ）卢刚，丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道：
卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小；陈瑜比飞行员年龄大。请问，谁是工程师，谁是医生，谁是飞行员？
“ 2 ）小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师，数学家和工程师。小张年龄比工程师大；小李和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。想一想，谁是教师，谁是数学家，谁是工程师。
( 3 ）江波、刘晓、吴萌三位老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：三位老师分别教什么科目？
例2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。问这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？
.. -
【思路导航】想想某个汉字的对面不是什么字。从图（ l ）中可知，‚奥‛的对面不是‚林‛、‚匹‛，从图（ 2 ) 中可知：‚奥‛的对面不是‘数’、‚学‛，所以，‚奥‛的对面一定是‚克‛。从图（ 2 ）中可知：‚数‛的对面不是‚奥‛、‚学‛，从图（ 3 ) 中可知，‚数‛的对面不是‚克‛、‚林‛，所以‚数‛的对面一定是‚匹‛。剩下的‚学‛的对面一定是？‚林‛。答：‚奥‛的对面是‚克‛ , ‚数‛的对面是‚匹‛, ‚学‛的对面是‚林‛。
【疯狂操练】
( l ）下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红黄蓝绿白黑六种色。请判断黄色的对面是什么颜色？白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？
( 2 ）一个正方体，六个面分别写上ABCDEF 、你能根据这个正方体不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么？
例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃窗，甲说：‚是丙打碎的‛。乙说：‚我没有打碎玻璃窗‛，丙说：‚是乙打碎的。‛他们当中只有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃窗？
【思路导航】由题意推出结论，必须符合他们中只有一个说了谎，推理时可以先假设，看结论和条件是否矛盾。
如果是甲打碎的，那么是甲说谎话，乙说的是实话，丙说的是谎话，这样两人说的是谎话，与他们中只有一个说谎相矛盾．所以不是甲打碎的。
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是实话，也与他们中只有一个说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。
如果是丙打碎的，那么甲说的是实话，乙说的是实话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是实话，符合条件他们中只有一个说的是谎话，所以玻璃窗是丙打碎的。
【疯狂操练】
( l ）已知甲、乙、丙三个中，只有一个人会开汽车。甲说：‚我会开汽车‛。乙说：‚我不会开‛。丙说：‚甲不会开汽车。‛如果三个人中有一个讲的是真话，那么谁会开汽车？
( 2 ）某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了 A 、 B 、 C 三个学生。 A 说：‚是 B
做的‛。 B 说：‚不是我做的‛。 C 说：‚不是我做的‛。这三个中只有一个人说了实话，这件好事是谁做的？
.. -
( 3 ) ABCD 四个孩子踢球打碎了玻璃。 A 说：‚是 C 或 D 打碎的‛。 B 说：‚是 D 打碎的‛。
C 说：‚我没有打碎玻璃窗‛。 D 说：‚不是我打碎的。‛他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃窗？
【请思考】：
甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛，赛后，
甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁是第四名”。丙说：“丁是第二名，我是第三名”。丁没有说话，成绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半，你能说出他们的名次吗？
提示：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提，为了帮助分析，可以借助图表分析：
五年级奥数集训专题讲座（九）——行程问题[一]
主讲：谭发佳
行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。
例1：甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48 千米。两车在距中点 32 千米处相遇。东、西两地相距多少千米？
【思路导航】两车在距中点 32 千米处相遇，由于甲车的速度大于乙车的速度，所以相遇时，甲车应行了全程的一半多 32 千米，乙车行了全程的一半少 32 千米，因此，两车相遇时，甲车比乙车共多行了 32 × 2= 64
（千米）。两车同时出发，又相遇了，两车所行的时同是一样的，为什么甲车会比乙车多行 64 千米？因为甲车每小时比乙车多行 56－48 = 8 （千米）。 64 ÷8 =8 所以两车各行了 8 小时，求东、西的路程只要用（ 56 +
48 ）× 8 即可。
32× 2 ÷（56－48 )= 8 （小时） ( 56 + 48 ) ×8 = 832 （千米）
答：东、西两地相距 832 千米。
【疯狂操练】
1、小玲每分行 100 米，小平每分行 80 米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中点 120
米处相遇，学校到少年宫有多少米？
2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每；小时行 40 千米，摩托车每小时行 65 千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距 75 千米，甲、乙两地相距多少千米？
.. -
3 ．小轿车每小时行 60 千米，比客车每小时多行 5 千米，两车同时从A、 B 两地相向而行，在距中点 20 千米处相遇，求A、 B 两地的路程。
例2：快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行 40 千米，经过 3 小时，快车已驶过中点 25 千米，这时快车与慢车还相距 7 千米。慢车每小时行多少千米？
【 思路导航 】
快车 3 小时行驶 40×3 = 120 （千米），这时快车已驶过中点 25 千米，说明甲、乙两地间路程的一半是 120－25 = 95（千米）。此时，慢车行了 95－25－7 = 63（千米），因此慢车每小时行 63 ÷3 = 21
（千米）。
(40×3－25×2－7)÷3 = 2l (千米）
答：慢车每小时行 21 千米。
【疯狂操练】
1、兄、弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行 120米， 5 分钟后哥哥已超过中点 50 米，这时兄弟二人还相距 30 米。弟弟每分钟行多少米。
2、汽车从甲地开往乙地，每小时行 32 千米， 4 小时后，剩下的路比全程的一半少 8 千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地？
例3：甲、乙二人上午 8 时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快 6 千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村 15 千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米？
【思路导航】二人相遇时，甲比乙多行 1 5 ×2 = 30 （千米），说明二人已行 30 ÷6 = 5 （小时），上午 8
时至中午12 时是 4 小时，所以，甲的速度是 15÷（5－ 4）= 15 （千米）。因此，东、西两村的距离是 15×( 5
－ l ）=60 （千米）。
上午 8 时至中午 l2时是 4 小时。
15×2 ÷ 6 =5 （小时） 15÷（5－4 ) = 15 （千米） 15× ( 5－1) = 60 （千米）
答：东、西村相距 60 千米。
【疯狂操练】
1、甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250 米，乙每分钟走 90 米。甲到达 B 地后立即返回 A 地，在离 B 地 32千米处与乙相遇。 A 、 B 两地间的距离是多少千米？
2、小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走 20 米。 30 分钟后小平到家，到家后立即原路返回，在离家350 米处遇到小红。小红每分钟走多少千米？
3 ，甲、乙二人上午 7 时同时从A地去 B 地，甲每小时比乙快8千米。上午 11 时甲到达 B 地后立即返回．在距 B 地 24 千米处与乙相遇。求A、 B 两地相距多少千米？
例4：甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行，一个同学骑自行车以每小时14千米的速度行驶，在两队之间不停地往返联络，甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。两队.. -
相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
【 思路导航 】
要求骑自行车的同学一共行多少千米，就要知道他的速度和所行时间。骑自行车同学的速度是每小时 14 千米，而他行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。因此，用18÷（4+5）=2（小时），用这个时间乘以他的速度就是他行的路程。
18 ÷( 4 + 5 ) = 2 （小时） 14× 2 =28 （千米） 答：骑自行车的同学共行 28 千米
【疯狂操练】
1、两支队伍从相距 55 千米的两地相向而行 。通讯员骑马以每小时 16 千米的速度在两支队伍之间不断往返联络。已知一支队伍每小时行 5 千米，另一支队伍每小时行 6 千米，两队相遇时，通讯员共行多少千米。
2、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 100千米。时行 6 千米，乙每小时行 4 千米。甲带着一只狗，狗每小时10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇时。这只狗一共走了多少千米？
3 ．两队同学同时从相距 30 千米的甲、乙两地相向出发，一只鸽子以每小时 20 千米的速度在两队同学之间不断往返送信如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了 30 千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4 千米，求两队同学的行走速度.
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