量子力学专题讲座-1

2023年12月8日发(作者：)

-

波函数的广义统计解释

将体系的状态波函数用某一个算苻F的本征函数展开

（Fnnn,

F）

ccd

nnn则在态中测量力学量F得到结果为n的几率是c范围内的几率是cd

对处于态的一个粒子，其x的期待值（平均值）是

22n，得到结果在d



xx(x,t)2dx. 这个式子到底意味着什么？它明显不是意味着如果你一次又一次的重复测量这个粒子的位置，

xdx是你所得到结果的平均值。而是相反：第一次测量(其结果是不确定的)将使波函数坍塌至位于实际获得的测量值处的一个尖峰，以后的测量(如果它们立即进行)将得到同样的结果。而x是所有测量都是对处在态的粒子所进行的平均值，这意味着你要么发现某种方法使测量后粒子的状态回到态，要么你准备一个系综,其中每个粒子都处在态，然后测量每个粒子的位置,

x是所有结果的平均值。(我喜欢想象在一个书架上放一行瓶子,每个瓶子中放一个处在态(相对瓶子的中心)的粒子，每一个学生被分配拿一把尺子测量一个瓶子中粒子的位置，一声令下他们同时开始测量自己瓶子中粒子的位置。我们用所得结果画一个直方图，它应该符合，计算平均值,它应该符合x。(当然,由于仅用了有限个样本,我们不能指望完美的符合,但是当用的瓶子越多,结果就符合的越好。) 简短而言，期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量2 .

2的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。 测量引起波函数的坍塌

如果紧接着第一次测量进行第二次测量，能测量到什么结果？粒子还是在C？还是每次都测量到一个完全的不同的新结果？事实是第一次测量完全改变了波函数，所以它现在是尖锐的在C点耸起。我们称之为由于测量产生的波函数的坍塌,在C点生成针状波形(由于波函数遵从薛定鄂方程,这个波将很快弥散开来,所以第二次测量要立即进行)。所以存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。

体系状态波函数随时间的演化满足薛定鄂方程：

H

it 哈密顿算苻（能量算苻）

pV

H2m2

如果势能函数不显含时间，得到定态薛定鄂方程（能量本征值方程）

HE

定态解

薛定鄂方程的一般解为

n(r,t)(r)nexp(iEnt/)

(r,t)cnn(r)exp(iEnt/)

n叠加系数由初始条件定。 几率流密度

i**J

2m

例题1：证明波函数的归一化性质不随时间改变。（这一点非常关键，如果波函数在t0时刻是归一化的，而随时间的演化(波函数按薛定鄂方程演化)，它不再是归一化的，整个量子力学体系将崩溃）

证明：

d22(x,t)dx(x,t)dx.

dtt2***.

tttt薛定鄂方程可以写作

i2iV,

2t2mx及其共轭式 *i2*i*V,

2t2mx

所以

i*22*i**2.

22t2mxxxxx2mdi*2(x,t)dx.

dt2mxx*但是当x趋于()无限大时(x,t)必须趋于零否则波函数是不可归一化的（物理上的波函数必须是可归一化的）这样有

d2(x,t)dx0,

dt因此积分是一个常数(不依赖时间)；如果在t0时是归一化的，它在以后所有时刻保持归一化。证毕

例题2：由坐标的期待值出发，证明动量的期待值为

pm证：

dxi*dx.

dtxx 利用薛定鄂方程

x(x,t)dx.

2dx2i**xdxxdx

dtt2mxxx利用x/x1,并丢掉了边界项,因为在()无限大处趋于零

dxi**dx

dt2mxx对第二项再进行一次分部积分,有 dxi*dx

dtmxvdxdt.

（注意这里我们讨论的是x期待值的“速度”，它同粒子的速度不是一回事。在量子力学中速度意味着什么都不是很清楚的：如果粒子没有一个确定的位置(在测量之前)，那么它也不会有一个明确定义的速度。对我们目前的目的假设速度的期待值等于位置期待值对时间的导数就足够了）

*pmidx.

dtxpi） 所以动量算苻是pix （三维情况：dx

p*pdx

更一般的一个力学量Q(p,x)的期待值为

*Q(x,p)Qx,dx.



ix

例题3：一个处于一维无限深势阱粒子的初始波函数为

(x,0)Ax(ax),求(x,t)。

解：首先需要归一化(x,0)求出A：

(0xa),

1(x,0)dxA0a22a0a5x(ax)dxA，

30222所以

A=30.5

a一维无限深势阱的定态解为

222ni(n22mat(x,t)sin(x)e.)

naa所以含时薛定谔方程的最一般的解是定态解的线性迭加：

(x,t)cnn12ni(n222ma2)tsin(x)e.

aa2nxsin

aat0时，

(x,0)cnn

所以第n项的系数（2.37式）是

2an30cnsin(x)x(ax)dx

50aaaa215ann2a3axsin(x)dxxsin(x)dx

00aaa215a2naxna()sin(x)cos(x)



3anana0a2n(nxa)2n2()xsin(x)cos(x)

3a(na)a0n2215a323(n)233cos(n)acos(n)acos(0)

33an(n)(n)2a415cos(0)cos(n)

3(n)如果n为偶数,0，

3815/(n)，如果n为奇数.这样（2.36式）： 30231nin22t2ma2（）3sin(x)e.

(x,t)an1,3,5,na

例题4： 设Pab(t)是发现粒子处于区间axb内的几率，证明

dPab(t)J(a,t)J(b,t)

dtb证：

Pab(t)(x,t)dx

a2bdPabbi**2(x,t)dxdxdttx2mxxaa

i*J(a,t)J(b,t)2mxxa*b

区间内几率的变化率等于从a端流入的几率流（单位时间流入的几率）减去从b端流出的几率流。

例题5 V(x) is an arbitrary repulsive potential localized at a position along the x-axis as

shown below.

V(x)

x

-a a

The solution of the Schroedinger equation must be of the form

AeikxBeikx for x  -aψ(x)ikx.

ikxCeDe for x  a

Write

CS11S12A

B

SSD2122and assume A and B are arbitrary complex numbers. Use conservation of flux to show that

|S11|2 + |S21|2 = |S12|2 + |S22|2 = 1, and that

S11S12* + S21S22* = 0.

Show that S is a unitary matrix.

解: 粒子流密度定义是

一维情况

左边区域为

右边区域是

Ji2**

Ji2d*dx*ddx

JklA2B2

JrkC2D2

由流守恒JlJr

所以我们有

CBAD

2222 由

C2B2C*所以有

即

这样我们有

C*B*A*DS*11S**21S*12S*

22B*CA**S*S*BD1121S11S12S*S*AA*D*1222S21S22D

S*11S*

21S11S12S*S*1001I

1222S21S22

S†SI

|S11|2 + |S21|2 = |S12|2 + |S22|2 = 1,

S11S12* + S21S22* = 0.

由此有

SS†SSISSS†I

所以S†S1为么正矩阵. 例题6

在一维无限深势阱中一个粒子的初始波函数由前两个定态迭加而成：

(x,0)A1(x)2(x).

（a） 归一化(x,0)

（b） 求(x,t)和(x,t)。

（c） 计算x的值。注意它是随时间的震荡。角频率是多少？振幅是多少？

（d） 计算p的值。

（e）

如果你测量粒子的能量，可能得到什么值？得到各个值的几率是多少？求出H的期望值。并与E1和E2比较。

解：

222（a）

1(x,0)AdxA21221dx2A

2*1*2212

iE1t/

(x,t)（b）

121(x)e122(x)eiEt/

211122(x,t)1(x)2(x)1(x)2(x)ei(E2E1)t/ei(E2E1)t/222

1

1221(x)2(x)1(x)2(x)cosE2E1t/222（c）设

2nxsin

0xa

n(x)aa

1122xx(x,t)dxx1(x)dxx2(x)dxcos(E2E1)t/x1(x)2(x)dx2020002aaaa

利用公式

1

sinsincos()cos()

2111116acos(E2E1)t/

xaa222229x以势阱中心a/2为中心振荡， 振荡幅度16a/92a/2

E2E132振荡频率为



2ma2

（d）

p(x,t)(i)(x,t)dxx0*a12x2xiE2t/xiE1t/22xiE2t/isineiE1t/sinecosecosdxe2a0aaaaaa1xx22x2x

isincossincosdxa0aaaaaa12xxi(E2E1)t/2x2xi(E2E1)t/isincosesindxcosea0aaaaaa

利用公式

aaa

1

sincossin()sin()

2积分得出

4it8iteesint

pi3a3a验证

dx16a8m2sintsint

pmdt3a9（e）

(x,t)121(x)eiE1t/122(x)eiE2t/

测量得到E1的几率是1/2, 测量得到E2的几率是1/2

哈密顿的期待值

1*H(x,t)H(x,t)dx1eiE1t/2eiE2t/E11eiE1t/E22eiE2t/dx200aa

11522/2E1E2222ma2

E1HE2

-