贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 03第三讲 充满活力的韦

2023年12月7日发(作者：)

-

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要表达在：

运用韦达定理，求方程中参数的值；

运用韦达定理，求代数式的值；

利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；

利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的根本思路．

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．

【例题求解】

【例1】

、是方程x2x10的两个实数根，那么代数式2(22)的值为 ．

思路点拨 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例

【例2】如果a、b都是质数，且a213am0，b213bm0，那么 A．3 B．或2 C． D．或2

22222222ba的值为( )

ab

思路点拨 可将两个等式相减，得到a、由于两个等式结构相同，可视a、b的关系，b为方程x213xm0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1、x2的对称式，这类问题可通过变形用x1+x2、x1x2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：

(1)恰当组合； (2)根据根的定义降次；

(3)构造对称式．

m2【例3】 关于x的方程：x(m2)x0

42 (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．

(2)假设这个方程的两个实根x1、x2满足x2x12，求m的值及相应的x1、x2．

思路点拨 对于(2)，先判定x1、x2的符号特征，并从分类讨论入手．

【例4】 设x1、x2是方程2x24mx2m23m20的两个实数根，当m为何值时，x12x22有最小值?并求出这个最小值．

思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．

注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．

【例5】 ：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x22mx(m)2(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由．

(2)假设M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB

思路点拨 对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、1270的两个根．

4AB的另一隐含关系式．

注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形〞向“数〞(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．

学历训练

1．(1)x1和x2为一元二次方程2x22x3m10的两个实根，并x1和x2满足不等式么实数m取值范围是 ．

(2)关于x的一元二次方程8x2(m1)xm70有两个负数根，那么实数m的取值范围是 ．

2．、是方程的两个实数根，那么代数式3222的值为 ．

x1x21，那x1x243．CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x26x40的两根，那么△ABC的面积是 ．

4．设x1、x2是关于x的方程x2pxq0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2qxp0的两根，那么p、q的值分别等于( )

A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x

的方程x27xc70的两根，那么AB边上的中线长是( )

A．35 B． C．5 D．2

226．方程x2px19970恰有两个正整数根x1、x2，那么 A．1 B．-l C．11 D．

22p的值是( )

(x11)(x21)7．假设关于x的一元二次方程的两个实数根满足关系式：x1(x11)x2(x21)(x11)(x21)，判断(ab)24是否正确?

8．关于x的方程x2(2k3)xk210．

(1) 当k是为何值时，此方程有实数根；

(2)假设此方程的两个实数根x1、x2满足：x2x13，求k的值．

9．方程x2pxq0的两根均为正整数，且pq28，那么这个方程两根为 ．

10．、是方程x2x10的两个根，那么43的值为 ．

11．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2x212xm0的两根，那么m的取值范围是 ．

12．两个质数a、b恰好是整系数方程的两个根，那么A．9413 B．ba的值是( )

ab941394139413 C． D．

194999713．设方程有一个正根x1，一个负根x2，那么以x1、x2为根的一元二次方程为( )

A．x23xm20 B．x23xm20

C．x214mx20 D．x214mx20

14．如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是( )

A．0≤m≤1 B．m≥333 C．m1 D．≤m≤1

44415．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方程的两个根．

(1)求rn的值；

1〔2〕假设E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理3由．

16．设m是不小于1的实数，使得关于x的方程工x22(m2)xm23m30有两个不相等的实数根x1、x2．

(1) 假设x12x226，求m的值．

mx12mx22(2) 求的最大值．

1x11x217．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC：BC＝2：1；又关于x的方程12x2(n1)xm2120两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值．

42218．设a、b、c为三个不同的实数，使得方程和x2ax10和x2bxc0有一个相同的实数根，并且使方程x2xa0和x2cxb0也有一个相同的实数根，试求abc的值．

参考答案

家 长 易 论 坛 社 区： 更 多 试 卷 上 博 奥 网 校

-