2023年12月7日发(作者：)
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高中数学竞赛专题讲座 数列
高中数学竞赛专题讲座-数列
高中数学竞赛专题试题讲座――数列
一、选择题部分
1．（2021年江苏）已知数列?an?的通项公式an?
aa1
2n?4n?52，则?an?的最大项是（b）
ba2
ca3
da4
32（2021安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,an2an?2?10ann?3?，则lg(a100)?（）?t?a、98b、99c、100d、101
3.（2021吉林预赛）对于一个存有n项的数列p=(p1，p2，?，pn)，p的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2021)的“蔡查罗和”为2021，那么数列(1，p1，p2，?，p2021)的“蔡查罗和”为（a）
a.2021b.2021c.2021d.1004
4．(集训试题)未知数列{an}满足用户3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为sn。则满足用户不等式|sn-n-6|<
1125的最小整数n是（）
b．6
c．7
13a．5d．8
的等比数列，
求解：由关系式式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}就是以8领衔项，公比为-8[1?(?1)]n∴sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)=
1?313=6-6×(- 13)n，∴|sn-n-6|=6×(
13)n<
1125，
得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选c。5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=
3xn?13?xn2021，则?xn=（）
n?1a．1
xn?b．-1
3333xnc．2+3d．-2+3
求解：xn+1=
1?，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+
?6),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+3,
2021x3=-2-3,x4=-1,x5=-2+3,x6=2-3,x7=1，??，∴有?xn?x1?1。故选a。
n?1、{bn}6、（2021陕西赛区预赛）未知数列{an}的前n项和分别为an，bn记
cn?an?bn?bn?an?an?bn(n?1)则数列{cn}的前10项和为(c)
a10?b102a.a10?b10d.a10?b107．（2021年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如说f(123)?12?22?32?14。记f1(n)?f(n)，fk?1(n)?f(fk(n))，k?1,2,3,?，则
f2021(2021)＝
(a)（d）
20(b)4(c)42(d)145.
求解：将f(2021)?40空字2021?40，于是存有
2021?40?16?37?58?89?145?42?20?4?16??
从16已经开始，
fn是周期为8的周期数列。故
f2021(2021)?f2021(16)?f4?250?8(16)?f4(16)?145.恰当答案为d。 二、填空题部分
1.数列
an的各项为正数,其前n项和
n?1___.
sn满足sn?12(an?1an),则
an=___n?2．（2006天津）未知a,b,c,d都就是偶数，且0?a?b?c?d，d?a?90，若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则a?b?c?d的值等同于194．
1112345??10?610?345?111?11111?3.（2021吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，?，记这个数列前n项和为s(n)，则limn3=___________。
12ns(n)4．（2021年江苏）等比数列?an?的首项为a1?2021，公比q??个数列的前n项的积，则当n?12时，f?n?存有最大值．
．设f?n?表示这
5.在x轴的也已方向上，从左向右依次取点列?aj?,j?1,2,?，以及在第一象限内的抛物线y?232x上从左向右依次取点列?bk?,k?1,2,?，并使?ak?1bkak（k?1,2,?）都就是等
边三角形，其中a0是坐标原点，则第2021个等边三角形的边长是2021。
【求解】：设立第n个等边三角形的边长为an。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点bn的座标为（a1?a2an?1?an2，
an?3?。?a1?a2an?1??）
2?2?再从第n个等边三角建构主义，我们只须bn的纵坐标为
12anan2232an。从而有
32an?an12an?3?，即为存有。a?a?aa?a?aa??1?2n?1n12n?12?2?22an2122由此只须a1?a2an?a1?a2an?1?an?12?122?an（1）,以及
an?1（2）12(an?an?1)?12(an?an?1)(an?an?1).
（1）－（2）即为得an?变形可以得(an?an?1?1)(an?an?1)?0.
由于an?an?1?0，所以an?an?1?1。在（1）式中取n＝1，可得故a1?1。
因此第2021个等边三角形的边长为a2021?2021。 6.(2021年浙江)已知数列xn，满足(n?1)xn?1?xn?n,且x1?2，则x2021=
xn?1n?112a1?12而a1?0，a1，
22021!?12021!。
【求解】：由(n?1)xn?1?xn?n，面世xn?1?1?xn?1?1?1(n?1)!xn?1n?1?xn?1?1(n?1)n?xn?2?1(n?1)n(n?1)。因此存有
x1?1(n?1)n(n?1)?2?1(n?1)!.
即有xn?1??1。从而只须x2021?2021!?12021!a17?a272。
a3737.(2021全国)记集合t?{0,1,2,3,4,5,6},m?{??a474|ai?t,i?1,2,3,4},将m中
的元素按从小至大的顺序排列，则第2021个数就是（）
a．
57?572?673?374b．
57?572?673?274c．
17?172?073?474
d．
17?172?073?374
解：用[a1a2?ak]p表示k位p进制数，将集合m中的每个数乘以74，得
32m??{a1?7?a2?7?a3?7?a4|ai?t,i?1,2,3,4}?{[a1a2a3a4]7|ai?t,i?1,2,3,4}.
m?中的最大数为[6666]7?[2400]10。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列
的第2021个数就是2400-2021=396。而[396]10?[1104]7将此数除以74，便得m中的数
17?172?073?474.故选c。
8．（2021全国）未知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足用户关系式(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，
n则?i?o1ai的值是_________________________。
求解：设bn?1an,n?0,1,2,...,则(3?131bn?1)(6?1bn)?18,1即
3bn?1?6bn?1?0.?bn?1?2bn?,bn?1?13?2(bn?1)故数列{bn?}是公比为2的33等比数列， bn?13n?2(b0?n13)?2(n1a0?13)?13?2n?1?bn?13(2n?1?1)。
aio1innibi03(2i01i1n11n212(21)1)(n1)2n3。
3?2?13?9．（2021四川）设r,s,t为整数，子集{a|a?2?2?2,0?t?s?r}中的数由小到大共同组成数列{an}：7,11,13,14,?，则a36?131。
2解：∵r,s,t为整数且0?t?s?r，∴r最小取2，此时符合条件的数有c2?1
rstr?3，s,t可以在0,1,2中挑，符合条件有的数存有c3?3
2同理，r?4时，符合条件有的数有c4?6
r?5时，符合条件有的数存有c5?10r?6时，符合条件有的数存有c6?15
r?7时，符合条件有的数有c7?21
2因此，a36就是r?7中的最小值，即a36?20?21?27?131
三、解答题部分
1．（2006天津）未知数列{an}满足用户a1?p，a2?p?1，an?2?2an?1?an?n?20，其中p就是取值的实数，n就是正整数，试求n的值，使an的值最轻．
【解】令bn?an?1?an，n?1,2,?由题设an?2?2an?1?an?n?20，有
n?1n?1i?1bn?1?bn?n?20，且b1?15分后于是
(bi1bi)(i20)i1，即
bn?b1?[1?2(n?1)]?2n(n?1)．
∴bn?(n?1)(n?40)2?1．（※）10分
又a1?p，a2?p?1，则a3?2a2?a1?1?20?p?17?a1?a2．∴当an的值最小时，理应n?3，an?an?1，且an?an?1．
即bn?an?1?an?0，bn?1?an?an?1?0．15分由（※）式，得??(n?1)(n?40)?2?(n?2)(n?41)??2*由于n?3，且n?n，解得??n?40?n?40，
∴当n?40时，a40的值最轻．20分后
2．（2021陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2)?3sin?,设tan??x,tan??y,记y?f(x)。
(1)谋f(x)的表达式;f(x)?(2)定义正数数列{an};a1?22n?2x1?2x22 *12,an?1?2an?f(an)(n?n)。试求数列{an}的通项公式。
an?n?1?1.
5
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