2023年12月4日发(作者：)
-
数学竞赛辅导讲座三
数学竞赛辅导讲座三
——方程
1、方程|3x|+|x-2|=4的解的个数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
2、以关于x ，y 的方程组323
39mx y x my +=??-=?
的解为坐标的点（x ，y ）在第三象限，则符合条
件的实数m 的范围是（ ）
A 、m>1
9
B 、m<-2
C 、-2
9
D 、-1
2
3、已知实数a>0，b>0，满足22008,2008a a b b +=+=，则a+b 的值是______．
4、关于x 的方程
2
2211
ax a a x -=+-的解为________． 5、已知p 是质数，且方程24440x px p +-=的两个根都是整数，则p=_____． 6、方程323652x
x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）
A 、0 B 、1
C 、3
D 、无数多个
7、若a ，b 都是整数，方程2
20080ax bx +-=的两相异根都是质数，则3a+b 的值是（ ）
A 、100
B 、400
C 、700
D 、1000
8、对于实数x ，符合[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3.14]=3，[-7.59]=-8，则关于x 的方程3747x +??
=?
的整数解有（ ）个 A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
9、已知a ，b ，c ，d ，e ，f 满足
111
4,9,16,,,4916
bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，则 (a+c+e)-(b+d+f)的值为________．
10、方程||(1)0x x k --=有三个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ）
A 、-1
4
B 、0
4 C 、k>-1
4
D 、k<14
11、若整数m 使得方程2
20060x mx m -++=的根为非零整数，这样的整数m 的个数为________．
12、设x 1，x 2是方程2
40x x +-=的两根，则3212510x x -+=（ ）
A 、-29
B 、-19
C 、-15
D 、-9
13、方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x ，y ）的组数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
14、方程7
[2][3]82
x x x +=-
的所有实数解为_____________． 15、对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v ，若关于x 的方程x*(a*x)=- 1
4 有两
个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是____________．
16、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定的时间发一辆车，那么发车间隔为几分钟？
17、不定方程5x-14y=11的最小正整数解是____________． 18、方程2
2[]30x x --=的解的个数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
19、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2
210x t t -+-=，的两个非负实根，则22
(1)(1)a b --的最小值是________．
20、已知m ，n 是二次方程2
199470x x ++=的两根，那么
22(19936)(19958)m m n n ++++等于（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
21、若实数x ，y ，z 满足方程组122232xy
x y yz
y z zx
z x ?=?+??=?+??=?+?
，则（ ）
A 、x+2y+3z=0
B 、7x+5y+2z=0
C 、9x+6y+3z=0
D 、10x+7y+z=0
22、已知实数a ，b ，c ，d ，且a ≠b ，c ≠d ，若关系式
22222,2,4,4a ac b bc c ac d ad +=+=+=+=同时成立，则6a+2b+3c+2d=__________．
23、方程组332
21 81
x y z x y z +=-??
+=-?的正整数解（x ，y ，z ）为_____________． 24、方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有_______组．
25、把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x 2+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项，使得方程至少有一个整数根的a ，b ，c
有（ ）
A 、不存在
B 、有一组
C 、有两组
D 、多于两组
26、已知a ，b ，c 为正数，关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=有两个相等的实数根，则方程2(1)(2)(1)0a x b x c
+++++=的根的情况是（ ） A 、没有实根
B 、有两个相等的实根
C 、有两个不等实根
D 、根的情况不确定
27、求方程222730x xy y -+=的正整数解． 28、设x ，y ，z 是都不为零的相异实数，且满足等式y z z x x y
y z x
+++==
，试证明：此等式的值不可能是实数．
29、解方程：2
2
2
916(3)x x x +=-
30、满足方程22
21x y -=的所有质数解（即x ，y 都是质数的解）是_______． 31、若2222,x y m n x y m n +=++=+，求证：2000 2x
y m n +=+．
32、已知a>0，且b>a+c ，证明方程2
0ax bx c ++=必有两个不同的实根． 33、解下列方程：
（1）4
3
2
2914920x x x x -+-+=
（2）44
(3)(1)82x x +++=
（3）2
2
2
(231)(251)9x x x x x -+++=
（4）
222211114
325671221
x x x x x x x x +++=+++++++
（5）22
40119x x x x
+= ? ?-+
（6）132
1121
11
1x x x
++
=
++
+
34、设a 为整数，使得关于x 的方程2(5)70ax a x a --++=至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．
35、已知正整数a ，b ，c 满足a 2 443240x mx x m m k -++-+=的根为有理数． 38、当12122()p p q q =+时，试证方程2110x p x q ++=和2220x p x q ++=中至少有一个方程有实根 39、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 40、若关于x 的方程 221 1k x kx x x x x +-=--只有一个解，求k 的值． 41、把最大正整数是31的连续31个正整数分成A ，B 两组，且10在A 组，如果把10从A 组移到B 组中，则A 组中的各数的平均数增加12 ，B 组中各数的平均数也增加1 2 ，问A 组 中原有多少个数？ 42、已知a>2，b>2，试判断关于x 的方程2 ()0x a b x ab -++=与方程2 x abx a b -++=有没有公共根，并说明理由． 43、求所有的实数k ，使得关于x 的方程2 (1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数． 44、设a ，b ，c 为互不相等的非零实数，求证三个方程 22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=不可能有两个相等实根． 45、设△是整系数二次方程2 0ax bx c ++=的判别式， （1）4，5，6，7，8五个数值中，哪几个能作为判别式△的值？分别写出一个相应的二次方程； （2）请你从中导出一般规律——一切整数中怎样的整数值不能作为△的值，并给出理由 -
