2014版高考数学知识点讲座:考点17解三角形(正、余弦定理、三角形面积公

2023年12月2日发(作者：)

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学必求其心得，业必贵于专精

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座:考点17解三角形（正、余弦定理、三角形面积公式及应用举例）(解析版)

加（＊）号的知识点为了解内容,供学有余力的学生学习使用

一.考纲目标

正余弦定理及三角形面积公式；在已知三角形的两边,和其中一边的对角的情况下解的讨论；培养学生的应用意识和实践能力;将实际问题数学化

二。知识梳理

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径

正弦定理:abc2R

sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）

2。余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍余弦定理:

b2c2a2

abc2bccosA,cosA2bc222c2a2b2

bca2cacosB,cosB2ca222a2b2c2cab2abcosC，cosC

2ab222利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题:(1）已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 学必求其心得，业必贵于专精

3.三角形的面积：△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示,内切圆半径用r表示,半周长用p表示则

①S1ah⑤S1bcsinA；

a22③S2R2sinAsinBsinC；④Sabc；

4R；②Sp(pa)(pb)(pc)；⑥Spr(其中pabc)

2abc斜2S4。三角形内切圆的半径：r,特别地，r直

abc25.三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中sin(A+B)=sinCcos(A+B) -cosCtan(A+B) -tanC

sinABCcos22

cosABCsin22

tanABCcot

22tanAtanBtanCtanAtanBtanC

6。在解三角形时，正弦定理可解决两类问题:（1）已知两角及任一边，求其它边或角；(2）已知两边及一边的对角，求其它边或角．用正弦定理有解的可分为以下情况，在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下:

A为钝角

A为锐角

或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA

a≥b

a〉b 学必求其心得，业必贵于专精

解的个数

7.常用术语

（1) 仰角和俯角

一解

两解

一解

一解

在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①）．

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②）

(3）方向角:相对于某一正方向的水平角（如图③)

①北偏东α :指北方向顺时针旋转α到达目标方向

②东北方向:指北偏东45°或东偏北45°

③其他方向角类似．

（4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④,角θ为坡角）

坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比) 学必求其心得，业必贵于专精

三、考点逐个突破

1。正弦定理的应用

例1. 已知ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c若ac则b

A.2 B．4＋23 C．4—23 D．【答案】A

【解析】sinAsin75由ac062且A75，62

sin(300450)sin300cos450sin450cos3001

226

462可知，C750,所以B300，sinBasinBsinA2612，故选2624由正弦定理得b例2。 在A

ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且

310

cos2A,sinB510（I)求AB的值；

（II）若ab21，求a,b,c的值

本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力.

解：（Ⅰ）A、B为锐角，sinB10,cosB1sin2b310

1010学必求其心得，业必贵于专精

又cos2A12sin2A3，

5sinA5，cosA1sin2A25，

55cos(AB)cosAcosBsinAsinBAB2531051025105102

0AB

4

4（Ⅱ)由（Ⅰ）知C3，sinC由正弦定理

abc得

sinAsinBsinC2.

25a10b2c,即a2b，c5b

ab21，

2bb21，b1a2,c5

2。余弦定理的应用

例3. 在⊿ABC中，BC=(I) 求AB的值：

(II) 求sin2A的值

45，AC=3,sinC=2sinA

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差

的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

ABBC（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理,sin

CsinACBC2BC2于是AB=sinsinA5

(Ⅱ)解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=AB2AC2BD225

2AB•AC5学必求其心得，业必贵于专精

于是 sinA=3sin2A=5

1cos2A554 从而sin2A=2sinAcosA=5，cos2A=cos2A—2所以 sin(2A-)=sin2Acos—cos2Asin=

44410b、例4. 在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、已知ac，2c22b，且sinAcosC3cosAsinC, 求b

分析：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手。对已知条件(1)a2c22b左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2）

sinAcosC3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分。

解法一：在ABC中sinAcosC3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2b2c2b2c2a23c,有：a2ab2bc化简并整理得：2(a

2c2)b2.又由已知

a2c22b4bb2。解得b4或b0(舍）.

解法二:由余弦定理得：

a2c2b22bccosA。又a2c22b,b0.

所以b2ccosA2…………………………………①

又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC

sin(AC)4cosAsinC，即sinB4cosAsinC

由正弦定理得sinBbsinC，故b4ccosA………………………②

c由①，②解得b4。

评析:高考考纲中明确提出要加强对正余弦定理的考查。在备考中应注意总结、提高自己

对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了 学必求其心得，业必贵于专精

解就行，不必强化训练。

3。三角形面积公式

例5. 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a,b)，

n(sinB,sinA)，p(b2,a2) 。

(1)若m//n,求证：ΔABC为等腰三角形；

(2）若m⊥p，边长c = 2,角C =

，求ΔABC的面积 .

3证明：（1）即am//n,asinAbsinB,

abb，其中2R2RR是三角形ABC外接圆半径,ab

ABC为等腰三角形

解（2)由题意可知m//p0,即a(b2)b(a2)0

abab

由余弦定理可知，

即(ab)23ab40

ab4(舍去ab1)

S4a2b2ab(ab)23ab

11absinC4sin3

2234．三角形形状的判定

例6。在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为

A直角三角形 B锐角三角形C等腰三角形D等边三角形

答案：C

5.正余弦定理的综合运用

b、例7．在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、已知ac，2c22b,学必求其心得，业必贵于专精

且

sinAcosC3cosAsinC, 求b

分析:此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手。对已知条件(1）a2c22b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好sinAcosC3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正处理,而对已知条件(2)

到突破口而失分。

解法一:在ABC中弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不sinAcosC3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2b2c2b2c2a23c,化简并整理得:2(a2c2)b2。又由已知

有：a2ab2bca2c22b4bb2。解得b4或b0(舍）。

解法二：由余弦定理得：

a2c2b22bccosA。又a2c22b，b0。

所以b2ccosA2…………………………………①

又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC

sin(AC)4cosAsinC，即sinB4cosAsinC

由正弦定理得sinBbsinC,故b4ccosA………………………②

c由①，②解得b4.

6（＊).测量距离问题

例8.如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α,∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝ｓ，试求AB的长 学必求其心得，业必贵于专精

分析:如图所示：对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中,由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC,再利用余弦定理求解而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解

解:在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得

AC＝asinasin

sin180()sin()

在△BCD中,由正弦定理得BC＝asinasin

sin180()sin()在△ABC中,已经求得AC和BC,又因为∠ACB＝α－β，所以用余弦定理,就可以求得

AB＝AC2BC22ACBCcos()

评述：（1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用（2）注意体会例2求解过程在实际当中的应用

7（*）。测量高度问题

例9。 在湖面上高h米处，测得云的仰角为α，而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为hsin()米

sin()分析：因湖而相当于一平面镜，故云C与它在湖中之影D关于湖面对称，设云高为x=CM，则从△ADE，可建立含x的方程，解出x即可 学必求其心得，业必贵于专精

解：如图所示，设湖面上高h米处为A，测得云的仰角为α,而C在湖中的像D的俯角为β，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E，设云高CM=x

则CE=x－h，DE=x+h

AE(xh)cot且AE(xh)cot(xh)cot(xh)cottantan解得xhtantan

sincoscossinsin()coscoshh(米)

sincoscossinsin()coscos8(*）。测量角度问题

例10．在某定点A测得一船初始位置B偏西α1处,十分钟后船在A正北，又过十到达A的北偏东α2处若船的航向与程在A的北分钟后船度都不变,船向为北偏东θ，求θ的大小(α1＞α2）

分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题

解:如图所示,在△ABC中，由正弦定理可得:

BCACBCAC,即

sin1sin[(1)]sin1sin(1) ①

在△ACD中，由正弦定理可得： 学必求其心得，业必贵于专精

sin2CDACCD,即sin2sin(2)ACsin(2) ②

根据题意,有BC=CD

∴由①、②得:即

sin1sin2

sin(1)sin(2)sin1sin(2)sin2sin(1)

sin1(sincos2cossin2)sin2(sincos1cossin1)即sinsin(12)2cossin1sin2则tan2sin1sin2sin(12)2sin1sin2（α1＞α2）

所以arctansin(12)9(＊)综合运用（速度、角度、距离等问题）

例11.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船,奉命以103海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间

解：设辑私船应沿CD方向行驶ｔ小时，才能最快截获(在D点）走私船,

则CD＝103ｔ海里,BD＝10ｔ海里

∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA

＝（3－1）2＋22－2（·2cos120°＝6，

3－1） ∴BC＝6

BCACsinAsinABC

ACsinA2sin1202sinABCBC26∴∠ABC＝45°,∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°

学必求其心得，业必贵于专精

BDCDsinBCDsinCBD

BDsinCBD10tsin1201sinBCD,CD2103t∴∠BCD＝30°，∴∠DCE＝90°－30°＝60°由∠CBD＝120°,∠BCD＝30°∴BD＝BC,即10ｔ＝∴ｔ＝610

得∠D＝30°6

(小时)≈15（分钟）

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