八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念

2023年12月2日发(作者：)

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立身以立学为先，立学以读书为本

八年级数学竞赛讲座

三角形的有关概念

一、知识结构：

1、三角形的定义；2、三角形的角平分线、中线、高；3、三角形的三边之间的关系；4、三角形的内角和定理及其推论；5、同一个三角形中边与角之间的关系；6、三角形的分类；

二、典型例题：

1、△ABC三边长分别为a,b,c,且a2bca(bc),则这个三角形一定是( )

A.三边不相等的三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形

2、△ABC三边长分别为a,b,c,且a2b2c2abbcca,则这个三角形一定是( )

A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形

3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ）

A、17 B、22 C、12或22 D、20

4、下面四个命题中不正确的是（ ）

A．在△ABC中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60°

B．在△ABC中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形；

C．在△ABC中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180°

D．在△ABC的内角中，锐角的个数最多；

5、等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长；

6、如图：AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，

且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数；

7、△ABC中，AB=5，AC=3，则BC边上的中线AD的长l的取值范围是多少？

A

B D F C 立身以立学为先，立学以读书为本

8、已知斜三角形ABC中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H，求∠BHC的度数；

9、已知三角形的一边是另一边的3倍，求证：它的最小边在它的周长的

10、已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有多少个？

11、设△ABC的三边a,b,c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13,则以a,b,c为三边长且彼此不全等的三角形共有多少个？

12、有多少个边长为整数且周长为2000的等腰三角形？

13、三角形的三个内角分别为α，β，γ，且α≥β≥γ，α=2γ，求β的取值范围；

14、已知三角形中两角之和为n°，最大角比最小角大24°，求n的取值范围；

11与之间；

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15、不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k的取值范围是（ ）

A．

16、如图：O为△ABC内的一点，求证：

（1） OA+OB+OC＞ A

O

B C

311k1 B．k1 C．1＜k＜2 D．k1

4321（AB+BC+AC）；

2（2） OB+OC＜AB+AC；

（3） OA+OB+OC＜AB+AC+BC；

作业题：

1、已知三角形两边的长的差是5，若此三角形的周长是偶数，则求第三边的最小值？

2、将三边长为a、b、c的三角形记作（a，b，c），写出周长为20、各边长为正整数的所有不同的三角形；

3、不等边三角形的三条边长都是自然数，其中两条边长是3、4、5中的某两个数，求符合条件的三角形的周长的所有不同数值；

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4、如图，△ABC内有一点D，AD、BD、CD分别平分∠A、∠B、∠C，E为△ABD内一点，AE、BE、DE分别平分△ABD的各内角；F为△BDE内一点，BF、EF、DF分别平分△BDE的各内角。若△BFE的度数为整数，试求∠BFE至少是多少度？

5、如图，将任意△ABC的三边四等分，BC边上分点为A1,A2,A3，AC边上的分点为B1,B2,B3，AB边上的分点为C1,C2,C3，记△ABC的周长为p，A1B1C1的周长为p1，求证：13pp1p；

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6、三条线段能构成三角形的条件是:任意两条线段长度的和大于第三条线段。现有长为144厘米的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度不小于1厘米，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值是多少？

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7、△ABC面积为1，M是AB上任一点，N是BC上任一点，P是MN上任一点。

（1）将SAMP:SABC表示成图中已经给出的线段之比的乘积形式；

（2）求证：△AMP和△CPN的面积中至少有一个不大于

8、不等边△ABC的两条高的长度分别是4和12，若第三条高及三边均为整数，求当第三条高取得最大值时，△ABC周长的最小值；

B

M P N

A C

1；

8

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