锐角三角函数杨
锐角三角函数知识点总结与复习
1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
如以下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，
那么∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：
定 义 | 表达式 | 取值范围 | 关 系 | |
正弦 | (∠A为锐角) | |||
余弦 | (∠A为锐角) | |||
正切 | (∠A为锐角) | (倒数) | ||
余切 | (∠A为锐角) | |||
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
0 | 1 | ||||
1 | 0 | ||||
0 | 1 | 不存在 | |||
不存在 | 1 | 0 | |||
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。
一、知识性专题
专题1：锐角三角函数的定义
例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，那么以下结论正确的选项是 ( )A．sin A＝ B．tan A＝ C．cosB＝ D．tan B＝
分析 sinA＝＝，tan A＝＝，cos B＝＝．应选D.
例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,那么tan A等于 ； 分析 在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，那么BC＝4k，由定义可知tan A＝．
分析 在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴sin A＝．故填．
例3〔12·哈尔滨〕在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，那么sinB的值是 ；
【解析】此题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=.
例4〔内江〕如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，那么sinA的值为 ；
【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD〔如以下图所示〕，恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝＝＝．
例5 ( 宁波)，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=,那么BC的长为 ；
【解析】cosB==，又∵AB=6∴BC=4
例6〔贵州铜仁〕如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan, 即ctan=，根据上述角的余切定义，解以下问题：〔1〕ctan30◦= ；
〔2〕如图，tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA
的值．
【分析】〔1〕可先设最小边长为一个特殊数〔这样做是为了计算方便〕，然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。〔2〕由tanA=，为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．【解析】〔1〕设BC=1, ∵α=30◦
∴AB=2∴由勾股定理得：AC=ctan30◦==(2) ∵tanA=
∴设BC=3 AC=4∴ctanA==
例7〔山东滨州〕把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦函数值〔 〕A．不变B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍D．不能确定
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．【答案】选A．
例8〔湖南〕观察以下等式
①sin30°= cos60°=②sin45°= cos=45°=③sin60°= cos30°=
根据上述规律，计算sin2a+sin2〔90°﹣a〕= ．
解析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2〔90°﹣a〕=1，继而可得出答案．
答案：解：由题意得，sin230°+sin2〔90°﹣30°〕=1；sin245°+sin2〔90°﹣45°〕=1；
sin260°+sin2〔90°﹣60°〕=1；故可得sin2a+sin2〔90°﹣a〕=1．故答案为：1．
点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2〔90°﹣a〕=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．
例9 (山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如以下图形，其中，，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有哪 组
F
【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB的长为x，那么BC=，BD=，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，那么，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．
例10〔江苏泰州18〕如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，那么tan∠APD的值是 ．
【解析】 要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．
【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，那么BM=DM=，易得：DN=，设PM=x，那么PD=-x，由△DNP∽△BMP，得：，即，∴PN=x，由DN2+PN2=PD2，得：+x2=(-x)2，解得：x1=，x2=〔舍去〕，∴tan∠APD==2．
例11. 〔江苏苏州〕如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，假设EF=2，BC=5，CD=3，那么tanC等于 ．
分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．
解答：解：连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC=
例12〔山东日照〕在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．那么以下关系式中不成立的是〔 〕
A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosA C．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=1
解答：解：根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA•cotA==1，关系式成立；B、sinA=，tanA•cosA=，关系式成立；
C、cosA=，cotA•sinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=〔〕2+〔〕2≠1，关系式不成立．应选D．点评：此题考查了同角三角函数的关系．〔1〕平方关系：sin2A+cos2A=1 〔2〕正余弦与正切之间的关系〔积的关系〕：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA．〔3〕正切之间的关系：tanA•tanB=1．
例13〔•贵港〕如下图，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，那么tan∠CAD的值是 ．
解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC===2，∴tan∠CAD===2．应选A．
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