数学上数的分类 实数可以分为哪三大类
足责-红楼梦的人物关系
2023年3月4日发(作者：教师十不准内容)6．2实数
第1课时实数的概念及分类
1．理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数；
2．理解实数的概念，会把实数进行分类．(重点、难点)
一、情境导入
在上节课中，我们学习了这个问题：
为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长
应取多少？你能计算出来吗？
如果把“225”改为其他数字，如“200”，这时怎样确定边长？
二、合作探究
探究点一：无理数
【类型一】无理数的识别
在下列实数中：
15
7
，3.14，0，9，π，3…，无理数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，3，….故选C.
方法总结：无限不循环小数叫无理数，常见无理数的三种形式：第一类是开方开不尽的
数，第二类是化简后含有π的数，第三类是有规律不循环的小数．
【类型二】无理数的应用
设n为正整数，且n＜65＜n＋1，则n的值为()
A．5B．6C．7D．8
解析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．∵64＜65＜81，
∴8＜65＜9.∵n＜65＜n＋1，∴nD.
方法总结：开不尽的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪
两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范
围．
探究点二：实数
把下列各数分别填到相应的集合内：
－3.6，27，4，5，
3
－7，0，
π
2
，－
3
125，
22
7
….
(1)有理数集合{…}；
(2)无理数集合{…}；
(3)整数集合{…}；
(4)负实数集合{…}．
解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数
分为整数和分数．
解：，4，5，0，－
3
125，
22
7
，3.14，…}；
(2)无理数集合{27，
3
－7，
π
2
…，…}；
(3)整数集合{4，5，0，－
3
125，…}；
，
3
－7，－
3
125，…}．
方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复．
三、板书设计
1．无理数
无理数包含的三类数：(1)开方开不尽而得到的数；(2)圆周率π以及含有π的数；(3)看
似循环，但不循环的无限小数．
2．实数
有理数和无理数统称为实数．
本节课学习了无理数、实数的有关概念及实数的分类，把我
们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数．在学习中，要
求学生结合有理数理解实数的有关概念．本节课要注意的地
方有两个：一是所有的分数都是有理数，如
22
7
；二是形如
π
2
，
π
3
等之类的含有π的数不是分数，而是无理数
第3课时分式的混合运算
1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算；(重点)
2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点)
一、情境导入
提出问题：
1.说出有理数混合运算的顺序．
，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？
今天我们共同探究分式的混合运算．
二、合作探究
探究点：分式的混合运算
【类型一】分式的混合运算
计算：
(1)(
3a
a－3
－
a
a＋3
)·
a2－9
a
；
(2)(x＋
x
x2－1
)÷(2＋
1
x－1
－
1
x＋1
)．
解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分
即可得到结果．
解：(1)原式＝
3a2＋9a－a2＋3a
（a＋3）（a－3）
·
（a＋3）（a－3）
a
＝2a＋12；
(2)原式＝
x3
（x＋1）（x－1）
÷
2x2－2＋x＋1－x＋1
（x＋1）（x－1）
＝
x3
（x＋1）（x－1）
·
（x＋1）（x－1）
2x2
＝
x
2
.
方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的
先算括号里面的．
【类型二】分式的化简求值
先化简代数式
x2－2x＋1
x2－1
÷(1－
3
x＋1
)，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整
数x代入求值．
解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后
从x的取值范围内选取一数值代入即可．
解：原式＝
（x－1）2
（x＋1）（x－1）
÷(
x＋1
x＋1
－
3
x＋1
)＝
（x－1）2
（x＋1）（x－1）
×
x＋1
x－2
＝
x－1
x－2
，令x
＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝
1
2
.
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注
意选数时，要求分母不能为0.
【类型三】利用公式变形对分式进行化简
已知a＋
1
a
＝5，求
a2
a4＋a2＋1
的值．
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显然现在解不出a的值，如果将
a2
a4＋a2＋1
的
分子、分母颠倒过来，即求
a4＋a2＋1
a2
＝a2＋1＋
1
a2
的值，再利用公式变形求值就简单多了．
解：因为a＋
1
a
＝5，所以(a＋
1
a
)2＝25，即a2＋
1
a2
＝23，所以
a4＋a2＋1
a2
＝a2＋1＋
1
a2
a2
a4＋a2＋1
＝
1
24
.
方法总结：利用x和
1
x
互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以
使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
变式【类型四】分式混合运算的应用
甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，
乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克(a、b为正整数且
a≠b)．
(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？
(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．
解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均
价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．
解：(1)甲的平均价格为
20a＋20b
20＋20
＝
a＋b
2
；乙的平均价格为
20＋20
20
a
＋
20
b
＝
2ab
a＋b
；
(2)甲的平均价格与乙的平均价格的差为
a＋b
2
－
2ab
a＋b
＝
（a＋b）2
2（a＋b）
－
4ab
2（a＋b）
＝
（a－b）2
2（a＋b）
，∵a≠b，∴
（a－b）2
2（a＋b）
＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式
更合算．
方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．
三、板书设计
1．分式的混合运算
先乘方，再乘除，后加减．如果有括号，先进行括号里面的运算．
2．分式混合运算的应用
在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分
式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化
复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上
增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误
率